試題試題2024北京延慶一中高二3月月考數(shù)學(xué)一、單選題：本題共10小題，每道小題4分，共40分．1．（4分）按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列，，，，…的第10項(xiàng)是（）A． B． C． D．2．（4分）已知等差數(shù)列{an}中，a1＝4，a5＝12，則a6等于（）A．13 B．14 C．15 D．163．（4分）數(shù)列{an}滿足，且a1＝4，則a2023+a2024＝（）A． B．4 C． D．24．（4分）的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．1 B．6 C．15 D．205．（4分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)，則E（X）為（）A．0 B．1 C．2 D．36．（4分）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，記X為“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的均值E（X）＝（）A．2 B．1 C． D．7．（4分）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次又抽到奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．8．（4分）第33屆夏季奧運(yùn)會預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會將新增2個競賽項(xiàng)目和3個表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔(dān)這5個新增項(xiàng)目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種9．（4分）為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉．某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)，若他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為，若他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為．若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為（）A． B． C． D．（多選）10．（4分）身高各不相同的六位同學(xué)A、B、C、D、E、F站成一排照相，則說法正確的是（）A．A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法 B．A與C同學(xué)不相鄰，共有種站法 C．A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法 D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法二、填空：本大題共5道小題，每小題5分，共25分．11．（5分）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是．12．（5分）在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機(jī)摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數(shù)為X．若，則m＝，P（X＝2）＝．13．（5分）變量X的概率分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，若E（X）＝，則D（X）＝．X﹣101Pabc14．（5分）已知展開式中，第三項(xiàng)的系數(shù)與第四項(xiàng)的系數(shù)比為．求n的值，展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）15．（5分）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6道小題，共85分．16．（13分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn＝32n﹣n2+1，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前多少項(xiàng)和最大．17．（13分）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)．（1）求n的值；（2）若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為70，求a的值．18．（15分）某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間（110，150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間（110，130]與（130，150]各抽取多少人？（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的7人中，選出3人參加全市座談交流，設(shè)X表示得分在區(qū)間（130，150]中參加全市座談交流的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．19．（15分）2021年是北京城市軌道交通新線開通的“大年”，開通線路的條、段數(shù)為歷年最多.12月31日首班車起，地鐵19號線一期開通試運(yùn)營．地鐵19號線一期全長約22公里，共設(shè)10座車站，此次開通牡丹園、積水潭、牛街、草橋、新發(fā)地、新宮共6座車站．在試運(yùn)營期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐19號線一期的200名乘客，記錄了他們的乘車情況，得到下表（單位：人）：下車站上車站牡丹園積水潭牛街草橋新發(fā)地新宮合計(jì)牡丹園///5642724積水潭12///20137860牛街57///38124草橋1399///1638新發(fā)地410162///335新宮25543///19合計(jì)363656262125200（Ⅰ）在試運(yùn)營期間，從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概率；（Ⅱ）在試運(yùn)營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）為了研究各站客流量的相關(guān)情況，用ξ1表示所有在積水潭站上下車的乘客的上、下車情況，“ξ1＝1”表示上車，“ξ1＝0”表示下車．相應(yīng)地，用ξ2，ξ3分別表示在牛街，草橋站上、下車情況，直接寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3大小關(guān)系．20．（15分）已知橢圓的焦距和長半軸長都為2．過橢圓C的右焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP，AQ分別與直線x＝4相交于點(diǎn)M，N．求證：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．21．（14分）對于數(shù)列{an}，定義an*＝，設(shè){an*}的前n項(xiàng)和為Sn*．（Ⅰ）設(shè)an＝，寫出a1*，a2*，a3*，a4*；（Ⅱ）證明：“對任意n∈N*，有Sn*＝an+1﹣a1”的充要條件是“對任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1”；（Ⅲ）已知首項(xiàng)為0，項(xiàng)數(shù)為m+1（m≥2）的數(shù)列{an}滿足：①對任意1≤n≤m且n∈N*，有an+1﹣an∈{﹣1，0，1}；②Sm*＝am．求所有滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)．

參考答案一、單選題：本題共10小題，每道小題4分，共40分．1．【答案】D【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列的第1個數(shù)為，有（﹣1）1+1×＝，數(shù)列的第2個數(shù)為﹣，有（﹣1）2+1×＝﹣，數(shù)列的第3個數(shù)為，有（﹣1）3+1×＝，……依此類推，數(shù)列的第10項(xiàng)為（﹣1）10+1×＝﹣，故選：D．2．【答案】B【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1＝4，a5＝12，所以4d＝a5﹣a1＝8，即d＝2，則a6＝a1+5d＝4+5×2＝14．故選：B．3．【答案】A【解答】解：∵，且a1＝4，歸納可得：，∴數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列，∴．故選：A．4．【答案】D【解答】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?x6﹣r?x﹣r＝?x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故常數(shù)項(xiàng)為：＝20，故選：D．5．【答案】B【解答】解：∵從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，∴X的可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列為：X012PX的均值E（X）＝0×+1×+2×＝1．故選：B．6．【答案】A【解答】解：由題意可知，X～B（4，），則X的期望E（X）＝4×＝2．故選：A．7．【答案】C【解答】解：在第1次抽到奇數(shù)的條件下，余下2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，再次抽取時，抽到奇數(shù)的概率為．故選：C．8．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5個新增項(xiàng)目的比賽項(xiàng)目分為3組，有+＝25種分組方法，②將分好的3組安排到A，B，C三個場地，有＝6種安排方法，則有25×6＝150種安排方法．故選：A．9．【答案】B【解答】解：某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)，若他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為，若他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為．若他第1球投進(jìn)的概率為，則他第2球投進(jìn)的概率為：p＝＝．故選：B．10．【答案】ABD【解答】解：對于A，6個人全排列有種方法，A、C、D全排列有種方法，則A、C、D從左到右按高到矮的排列有種方法，A正確；對于B，先排列除A與C外的4個人，有種方法，4個人排列共有5個空，利用插空法將A和C插入5個空，有種方法，則共有種方法，B正確；對于C，A、C、D必須排在一起且A在C、D中間的排法有2種，將這3人捆綁在一起，與其余3人全排列，有種方法，則共有種方法，C錯誤；對于D，6個人全排列有種方法，當(dāng)A在排頭時，有種方法，當(dāng)B在排尾時，有種方法，當(dāng)A在排頭且B在排尾時，有種方法，則A不在排頭，B不在排尾的情況共有種，D正確．故選：ABD．二、填空：本大題共5道小題，每小題5分，共25分．11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，基本事件總數(shù)n＝，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格包含的基本事件個數(shù)m＝＝16，∴他能及格的概率p＝．故答案為：．12．【答案】1；．【解答】解：由題意知．因?yàn)?，所以，解得m＝1，所以．故答案為：1；．13．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a，b，c成等差數(shù)列，若E（X）＝，∴由變量X的概率分布列性質(zhì)，得：，解得a＝，b＝，c＝，∴D（X）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×＝．故答案為：．14．【答案】7；702．【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為：＝，k≤n，k∈N，第三項(xiàng)系數(shù)為，第四項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)與第四項(xiàng)的系數(shù)比為，則，解得n＝7，，當(dāng)k＝0，3，6時，對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，當(dāng)k＝0時，展開式中對應(yīng)的有理項(xiàng)為，當(dāng)k＝3時，展開式中對應(yīng)的有理項(xiàng)為；當(dāng)k＝6時，展開式中對應(yīng)的有理項(xiàng)為，故展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為128+560+14＝702．故答案為：7；702．15．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意，選用3種顏色時：涂色方法C43?A33＝24種4色全用時涂色方法：C21?A44＝48種所以不同的著色方法共有72種．故答案為：72三、解答題：本大題共6道小題，共85分．16．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時；a1＝s1＝32﹣1+1＝32；當(dāng)n≥2時，＝33﹣2n；所以：an＝；（2）＝﹣（n2﹣32n）+1＝﹣（n﹣16）2+162+1；所以，前S16的和最大；17．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題知，二項(xiàng)式系數(shù)和，故n＝8；（2）二項(xiàng)式系數(shù)分別為，根據(jù)其單調(diào)性知其中最大，即為展開式中第5項(xiàng)，∴，即．18．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意知（90，110）之間的頻率為：1﹣20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）＝0.3；0.3+（0.0125+0.0050）×20＝0.65．∴獲得參賽資格的人數(shù)為800×0.65＝520．…（5分）（Ⅱ）在區(qū)間（110，130]與（130，150]，0.0125：0.0050＝5：2；在區(qū)間（110，150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人分在區(qū)間（110，130]與（130，150]各抽取5人，2人．（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為：X012P．…（13分）19．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列為：x0123pE（X）＝1．（Ⅲ）Dξ2＜Dξ1＜Dξ3．【解答】解：（Ⅰ）在試運(yùn)營期間，從在積水潭站上車的乘客60人，對應(yīng)乘客在牛街站下車的20人，∴從在積水潭站上車的乘客中任選一人，估計(jì)該乘客在牛街站下車的概率P＝＝；（Ⅱ）在試運(yùn)營期間，從在積水潭站上車的所有乘客中隨機(jī)選取三人，設(shè)其中在牛街站下車的人數(shù)為X，可得取值為0，1，2，3，X～B（3，）．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××（1﹣）＝，P（X＝3）＝×＝．∴X的分布列為：x0123pE（X）＝3×＝1．（Ⅲ）Dξ2＜Dξ1＜Dξ3．20．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（Ⅰ）由焦距和長半軸長都為2，可得c＝1，a＝2，b＝＝，則橢圓方程為+＝1；（Ⅱ）證明：F（1，0），A（﹣2，0），直線l的方程為y＝k（x﹣1），聯(lián)立橢圓方程可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，直線l過橢圓的焦點(diǎn)，顯然直線l與橢圓相交．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，直線AP的方程為y＝（x+2），可令x＝4，得yM＝，即M（4，），同理可得N（4，），所以＝（3，），＝（3，），又?＝9+＝9+＝9+＝9+＝9+＝9﹣9＝0．所以以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．21．【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）（m﹣1）?2m﹣2．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，，，，，根?jù)題意可得，，，．（Ⅱ）證明：必要性：對n＝1，有，因此．對任意n∈N*且n≥2，有，