第15講銳角三角函數(shù)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：導(dǎo)串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握第二步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練考點(diǎn)強(qiáng)知識：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識導(dǎo)圖梳理學(xué)習(xí)目標(biāo)明確1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及正切函數(shù)的概念以及求法，并能夠熟練的求出已知銳角的三角函數(shù)值或者根據(jù)銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)的邊長.2.掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值,能夠自行推導(dǎo)并記住特殊角的銳角三角函數(shù)值，并在解決問題時(shí)靈活運(yùn)用.知識點(diǎn)1正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，則1．（24-25九年級上·重慶·期中）如圖，在中，，，，下列三角函數(shù)表示正確的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，熟記在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算，再利用排除法求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴∴故選：D．2．（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）在中，，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，由勾股定理求出斜邊的長，再根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可求解，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，∴，故選：．3．（24-25九年級上·廣西南寧·期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，的頂點(diǎn)都在正方形頂點(diǎn)上，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，以及三角函數(shù)的余弦求值，取格點(diǎn)，連接，得到，利用勾股定理求出，再根據(jù)余弦定義求解，即可解題．【詳解】解：取格點(diǎn)，連接，由圖知，，，，，，故選：A．4．（24-25九年級上·山東濟(jì)南·期中）已知在中，，，，則等于（

）A．6 B．16 C．3 D．12【答案】D【分析】本題主要考查了正切的定義，根據(jù)正切的定義解答即可，掌握正切是直角三角形中對邊比鄰邊成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選D．5．（24-25九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根據(jù)同角的余角相等得出，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系即可求出的值．得出是解題關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，，，，，故選：B．知識點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα1.1．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的是（

）A． B．3.14 C． D．【答案】D【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，無理數(shù)分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．A，C，D先化簡，再判斷．【詳解】解：A、，是有理數(shù)，故不符合題意；B、3.14是有理數(shù)，故不符合題意；C、，是有理數(shù)，故不符合題意；D、，是無理數(shù)，故符合題意；故選：D．2．（2024·安徽宿州·模擬預(yù)測）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、相反數(shù)等知識點(diǎn)，掌握特殊角的三角函數(shù)值成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得，然后再求其相反數(shù)即可．【詳解】解：由，則的相反數(shù)是．故選C．3．（24-25九年級上·吉林四平·期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得解．【詳解】解：，故選：D．4．（22-23九年級上·山東濰坊·階段練習(xí)）在中，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了絕對值非負(fù)性，特殊角的三角函數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．由絕對值的非負(fù)性及完全平方式的非負(fù)性可得，，進(jìn)而可得，，由特殊角的三角函數(shù)可得，，由三角形的內(nèi)角和定理可得，由此即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：．5．（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（1）；（2）解：．知識點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的關(guān)系在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：①平方關(guān)系：sin2②商數(shù)關(guān)系：tanA=2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：①互余關(guān)系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒數(shù)關(guān)系：tanA.1．（24-25九年級上·安徽亳州·期末）若是銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍，根據(jù)一個(gè)銳角的正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，且，∴；故選A．2．（23-24九年級上·四川廣元·階段練習(xí)）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設(shè)，根據(jù)正切的定義，即可得答案．【詳解】解：由題意，得，故設(shè)則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及勾股定理，設(shè)是解題關(guān)鍵．3．（23-24九年級下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）比較，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個(gè)角之間的關(guān)系即可作出判斷．【詳解】，，，，，，，故選：D．4．（24-25九年級上·山東濟(jì)南·期中）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)C是一點(diǎn)，若，則．【答案】3【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，掌握銳角正切三家函數(shù)的定義是關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，得到和的長度，根據(jù)角相等得到正切值相等，再得到長度即可．【詳解】解：由題意可知，，，，，，，故答案為：3．5．（17-18九年級下·全國·課后作業(yè)）如果是銳角，且，那么度【答案】48【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系：，即可求解．【詳解】∵是銳角，，又∵，∴48°．故答案是48．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握，是解題的關(guān)鍵．【題型1理解正弦、余弦、正切的概念】1．（24-25九年級上·山東淄博·期中）在中，分別是的對邊，若，則不正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義表示出、、、，問題即可解答．【詳解】解：∵，∴是直角三角形，且，由銳角三角函數(shù)的定義可知，，，∴，，，，∴選項(xiàng)B的結(jié)論不正確，符合題意．故選：B．2．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在中，，下列選項(xiàng)中的關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角函數(shù)的定義即可作出判斷．【詳解】解：在中，，∴，，，，故A、B、C錯(cuò)誤，，故D正確，故選：D．3．（23-24九年級上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）把三邊的長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角的正弦值（

）A．不變 B．縮小為原來的C．?dāng)U大為原來的2倍 D．不能確定【答案】A【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，由于三邊的長度都擴(kuò)大為原來的倍所得的三角形與原三角形相似，得到銳角的大小沒改變，根據(jù)正弦的定義得到銳角的正弦值也不變．【詳解】因?yàn)槿叺拈L度都擴(kuò)大為原來的倍，所得的三角形與原三角形相似，所以銳角的大小沒改變，所以銳角的正弦值也不變．故選A．4．（24-25九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義，余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比．根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案．【詳解】解：∵小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，∴且米∵∴∴米故選：B．【題型2求角的正弦、余弦、正切值】1．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可．【詳解】解：，設(shè)，，由勾股定理得：，．故選：B．2．（2024·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定義．由銳角的三角函數(shù)定義，即可判斷．【詳解】解：，，、，故不符合題意；、結(jié)論正確，故符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意．故選：B．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查解直角三角形，銳角三角函數(shù)，熟練掌握解直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，求得的長度，進(jìn)而求解即可；【詳解】解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，；故選：A4．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期中）如圖所示，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、正弦，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．如圖（見解析），先求出，再利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)正弦的定義求解即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，取格點(diǎn)，連接，由格點(diǎn)可知，，，，∴，∴在中，，故選：D．5．（24-25九年級上·河北滄州·期中）如圖，將放置在的正方形網(wǎng)格中，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由勾股定理求得，然后在以的為頂點(diǎn)的直角三角形里求的值．【詳解】解：由勾股定理得：，由圖可得，故選：C．6．（24-25九年級上·山東青島·期末）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)．則的值是（）

A．0.5 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，正方形的性質(zhì)等知識，連接，先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)題意可得，從而可得，即可解答，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，

設(shè)小正方形的邊長為，由題意得：∴是直角三角形，∴，在中，，，由題意得：，∴，故選：B．7．（24-25九年級上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中的正切值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查格點(diǎn)三角形，勾股定理，正切函數(shù)的定義．根據(jù)各點(diǎn)的位置求出的長，判斷是否是直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，∴，，，∴，即，∴是直角三角形，且，，，∴的正切值是，故選：A．【題型3由正弦、余弦、正切值求邊長】1．（24-25九年級上·重慶·期中）如圖，在中，，，則的長為（

）A． B．3 C．8 D．10【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根據(jù)正弦的定義求出的長，再利用勾股定理即可求出的長．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵，∴，∴，故選：C．2．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，滑雪道的長為，則滑雪道的豎直高度的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義解答即可．本題考查了正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，的長為，故，故選：B．3．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)值的利用，解答本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的知識；本題已知了直角三角形的銳角的度數(shù)、斜邊的長，求的鄰邊的長，利用的余弦即可得到答案；【詳解】解：在中，，即，所以，故選：．4．（24-25九年級上·吉林長春·期末）如圖，某小區(qū)的一塊草坪離邊有一條直角小路，社區(qū)為了方便群眾通過，沿修了一條小路，已知米，新修小路與的夾角，則小路的長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意利用余弦的定義即可得解．掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意知：，，，∴（米），∴小路的長為米．故選：D．5．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，把一個(gè)長方形卡片放在每格寬度為1的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上，若，則邊的長為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【分析】本題主要考查了矩形對邊相等的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)值的計(jì)算等知識點(diǎn)．通過作輔助線構(gòu)造直角三角形、構(gòu)造直角三角形成為解題的關(guān)鍵．如圖：分別過作垂線垂直于l，通過構(gòu)造直角三角形，根據(jù)和的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在橫格線且每個(gè)橫格寬1等條件求出的長，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖：分別過作，垂足為∵長方形卡片，∴，∴，，∴．根據(jù)題意，得，∴，解得：，∴，∴．故選：B．6．（2021·浙江寧波·二模）如圖為一節(jié)樓梯的示意圖，，，米，現(xiàn)要在樓梯上鋪一塊地毯，樓梯寬度為1米．則地毯的面積至少需要（

）平方米A． B． C． D．【答案】A【分析】先解直角三角形求出的長，從而可得地毯的長度，再根據(jù)矩形的面積公式即可得．本題考查了解直角三角形，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，在中，，故地毯的長度為，故地毯的面積至少需要（平方米），故選：A．【題型4含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】1．（24-25九年級上·湖南常德·期末）式子的值是（

）A． B．0 C． D．2【答案】B【分析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，把特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：故選：B．2．（24-25九年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：B．3．（23-24九年級上·河北唐山·期中）的結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：B．4．（24-25九年級上·山東煙臺·期末）化簡．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，特殊角的三角函數(shù)值，利用，計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．5．（2025·山東·二模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先代入特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對值，計(jì)算零次冪，再計(jì)算乘法，最后合并即可．【詳解】解：；6．（2024·湖北恩施·二模）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的乘法，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪，求一個(gè)數(shù)的絕對值等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運(yùn)算法則．利用二次根式的乘法，零指數(shù)次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪，求一個(gè)數(shù)的絕對值等法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【題型5由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀】1．（23-24九年級下·福建龍巖·階段練習(xí)）在中，若，則么一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為零，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得A、B的值，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．本題考查了特殊角三角函數(shù)值，直角三角形的判定，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴．∴一定是等腰直角三角形，故選：D．2．（23-24九年級下·湖南衡陽·期中）在中，，那么是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出的大小，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，是等腰三角形故選：A．3．（2024·江蘇淮安·一模）在中，若，，都是銳角，則是三角形．【答案】等腰直角【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性可得，，求得，即可求解．【詳解】解：由可得，即，解得：，則，∴為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角．4．（22-23九年級上·江蘇鹽城·期末）在中，、都是銳角，且，則的形狀是三角形（填“等腰”、“等邊”或“直角”）．【答案】直角【分析】根據(jù)絕對值和偶次冪的非負(fù)性，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求得、的度數(shù)，從而作出判斷．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴、，∴在中，，∴是直角三角形，故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，理解絕對值和偶次冪的非負(fù)性，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【題型6比較三角函數(shù)值的大小】1．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，梯子（長度不變）與地面所成的銳角為，關(guān)于的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列說法中，正確的是（）A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡 D．陡緩程度與的函數(shù)值無關(guān)【答案】A【分析】掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律．銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：正弦值和正切值都是隨著角的增大而增大，余弦值是隨著角的增大而減?。驹斀狻拷猓篈、的值越大，則越大，則梯子越陡，原說法正確，符合題意；B、的值越大越小，梯子越平緩，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、的值越小越小，梯子越平緩，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、陡緩程度與的函數(shù)值有關(guān)，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．2．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知在中，，，設(shè)，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了余弦的增減性與特殊角的余弦值，熟練掌握余弦的增減性是解題關(guān)鍵．先求出特殊角的余弦值，再根據(jù)余弦的增減性求解即可得．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選：B．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查比較三角函數(shù)值的大小，根據(jù)三個(gè)三角函數(shù)的取值范圍和增減性，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴；故選D．4．（23-24九年級上·北京·單元測試）下列結(jié)論（其中是銳角）：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．其中正確的有．【答案】③④【分析】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵，，∴不一定小于等于1，故①錯(cuò)誤；②若，則，，∴∴，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，∴越大，對邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當(dāng)時(shí)，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：③④．5．（22-23九年級下·全國·單元測試）（1）試比較，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大?。?）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大?。海?，，．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)的增減性的規(guī)律即可得答案；（2）注意正余弦的轉(zhuǎn)換方法，轉(zhuǎn)換為同一種銳角三角函數(shù)后，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律進(jìn)行比較．【詳解】解：（1）∵銳角的正弦值隨角度的增大而增大，銳角的余弦值隨角度的增大而減?。?；．（2），．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的增減性的規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型7由三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（23-24九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查了特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性的應(yīng)用，注意∶當(dāng)角是銳角時(shí)，其正弦和正切隨角度的增大而增大，余弦隨角度的增大而減??；根據(jù)三角函數(shù)的增減性求解即可；【詳解】解：是銳角，，，，，，故選：A；2．（23-24九年級上·廣東梅州·期末）若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查銳角三角函數(shù)，首先明確，，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行分析．【詳解】解：，正弦值隨著角的增大而增大，，，故選C．3（21-22九年級下·全國·單元測試）若是銳角，，則應(yīng)滿足．【答案】【分析】首先明確，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小即可得出答案．【詳解】解：∵，余弦函數(shù)隨角增大而減小，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．4．（22-23九年級上·河北邯鄲·期中）若，則．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性判斷出與的大小、與的大小，然后化簡計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴．∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性判斷出與的大小、與的大小是解題的關(guān)鍵．【題型8求特殊角的三角函數(shù)值】1．（22-23九年級上·山東濟(jì)南·期末）定義一種運(yùn)算：，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)和新定義，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，能準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式的計(jì)算．2．（24-25九年級上·山東聊城·期中）定義一種運(yùn)算：．例如：當(dāng)時(shí)，，則的值為．【答案】【分析】本題考查三角函數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)，結(jié)合計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．3（2023·湖南婁底·一模）定義一種運(yùn)算：，例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計(jì)算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．【題型9銳角的三角函數(shù)中的新定義問題】1．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，定義：斜邊與的對邊的比叫做的余割，用“”表示．若該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，那么下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了銳角三角三角函數(shù)，根據(jù)余割，正弦，余弦的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原說法正確，符合題意；D、，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．2．（24-25九年級下·全國·期末）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則．【答案】/【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)D．設(shè)，．由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，再解直角三角形求出，，再求出，由勾股定理得出，即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)D．∵，∴設(shè)，．∵，互為半余角，∴．在中，，．∵，∴，∴．在中，，故答案為：．3．（24-25九年級上·湖南岳陽·階段練習(xí)）若定義等腰三角形底邊與底邊上高的比值為等腰三角形頂角的值，即，若等腰，，且，則．【答案】/【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作于，設(shè)，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得，即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于，，設(shè)，則，，，，根據(jù)勾股定理得，，．故答案為：．4．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測）規(guī)定：，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，理解題中公式．【詳解】解：A．，故此結(jié)論不正確；B．，故此結(jié)論不正確；C．，故此結(jié)論正確；D．，故此結(jié)論不正確；故選：C．【題型10同角(互余)兩角的三角函數(shù)關(guān)系】1．（24-25九年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知中，，，則的值為．【答案】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握：，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵為銳角，∴，∴．故答案為：．2．（23-24九年級上·湖南邵陽·階段練習(xí)）如果是銳角，且，那么的值（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握同角的三角函數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得，利用求出答案．【詳解】解：，．故選：．3．（2025·四川瀘州·三模）以下各數(shù)中，與的值相等的是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握是解題關(guān)鍵．根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵∴．故選：B．4．（24-25九年級上·廣西梧州·期末）已知，都是銳角，且，那么與之間滿足的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握互為余角的正余弦關(guān)系：一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)銳角的余角的余弦值．利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，得出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選：B．5．（2025九年級下·云南楚雄·學(xué)業(yè)考試）在中，，，則．【答案】【分析】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確判斷的前提．利用銳角三角函數(shù)的定義得出互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：在直角中，，，所以，故答案為：．1．（2024·廣東梅州·三模）在中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了求角的正切值等知識點(diǎn)，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．由已知條件可知為的一個(gè)銳角，、為直角邊，為斜邊，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：，為的一個(gè)銳角，、為直角邊，為斜邊，如圖所示，，，故選：D．2．（24-25九年級上·黑龍江大慶·期中）在中，各邊的長度都擴(kuò)大2倍，那么銳角的余弦值（

）A．?dāng)U大3倍 B．保持不變 C．?dāng)U大9倍 D．縮小3倍【答案】B【分析】本題考查銳角三角函數(shù)．理解一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可知大小不變，即得出銳角A的余弦值保持不變．【詳解】解：∵在中，各邊的長度都擴(kuò)大2倍，∴各角的大小不變，即大小不變．∵一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，∴銳角A的余弦值保持不變．故選B．3．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，，，，則的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理和解直角三角形，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選：A．4．（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知，且為銳角，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，且為銳角，∴，故選：．5．（24-25九年級上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了特殊三角函數(shù)值、實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)特殊三角函數(shù)值進(jìn)行求解【詳解】解：∵，∴，∴；故選：B．6．（24-25九年級上·寧夏銀川·期中）在中，，是斜邊上的中線．已知，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，繼而，那么等角的三角函數(shù)值相等．【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，∴，∴，∴，故選：B．7．（24-25九年級上·陜西西安·期中）在中，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題主要考查了余弦和正弦的定義，根據(jù)正弦的定義得到，再由余弦的定義即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，故選：A．8．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）在銳角中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：，，，，，，，．故選：C．9．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，三角函數(shù)，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，易得，即得，又根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得，最后由正切函數(shù)的定義即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：．10．（19-20九年級上·北京昌平·期末）若是銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?，正確理解銳角正弦值的增減性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?，及、、的正弦值可求解．【詳解】解：是銳角，且，，故選：A．11．（2024·廣東茂名·一模）物理中，我們學(xué)習(xí)過“杠桿原理”，即阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂．如圖，小偉用撬棍撬動(dòng)某個(gè)物體，動(dòng)力臂，阻力臂，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力越來越