專題01相交線與平行線內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破【知識(shí)點(diǎn)1兩條直線相交】【鄰補(bǔ)角的概念與性質(zhì)】1.相交線：有一個(gè)公共點(diǎn)的兩直線是相交線.2.定義：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.3.性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).【對(duì)頂角的概念與性質(zhì)】1.定義：兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且兩邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.2.性質(zhì)：對(duì)頂角相等.【典例1】如圖直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O，是∠AOC的鄰補(bǔ)角是，∠DOA的對(duì)頂角是，若∠AOC=50°，則∠BOD=度，∠COB=度．【分析】由題意得，∠AOC的鄰補(bǔ)角是∠AOD或∠BOC；∠DOA的對(duì)頂角是∠BOC，∵∠AOC=50°，∴∠BOD=∠AOC=50°，∠COB=180°?∠AOC=130°；故答案為：∠AOD、∠BOC；∠BOC；50；130．【知識(shí)點(diǎn)2兩條直線垂直】【垂直的定義】1.定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語(yǔ)言記作：AB⊥CD，垂足為O.【垂線的畫法及性質(zhì)】1.垂線的畫法：有一個(gè)公共點(diǎn)的兩直線是相交線.一“落”：讓直角三角板的一條直角邊落在已知直線上，即與已知直線重合二“移”：沿已知直線移動(dòng)三角板，使其另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)三“畫”：沿與已知直線不重合的直角邊畫直線，這條直線就是已知直線的垂線.2.垂線的基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.【典例2】已知三角形ABC，用直角三角板過(guò)點(diǎn)A作直線BC的垂線，下列三角板的位置擺放正確的是（

）A． B．C． D．【分析】選項(xiàng)A中三角板過(guò)點(diǎn)A，但不垂直BC，故不符合題意；選項(xiàng)B中三角板過(guò)點(diǎn)A，且垂直BC，故符合題意；選項(xiàng)C中三角板不過(guò)點(diǎn)A，故不符合題意；選項(xiàng)D中三角板過(guò)點(diǎn)A，但不垂直BC，故不符合題意，故選：B．【垂線段最短】1.垂線段：過(guò)直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的線段，叫作垂線段.2.垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成垂線段最短.【典例3】如圖，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是（

）A．4.5 B．4.8 C．5 D．6【分析】∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，∴當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，在Rt△ABC∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∴12AB?PC=1∴PC=4.8，故選：B．【點(diǎn)到直線的距離】定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【典例4】在下列圖形中，線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線OB的距離的是（）A． B．C． D．【分析】因?yàn)锳選項(xiàng)中PQ垂直于OB，所以線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線OB的距離的是A選項(xiàng)．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)3兩條直線被第三條直線所截】1.同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．2.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．【典例5】如圖所示的八個(gè)角中，同位角有對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有對(duì)，同旁內(nèi)角有對(duì)．【分析】同位角有∠1與∠7，∠2與∠8，∠4與∠6，共3對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角：∠3與∠4，∠1與∠5，∠2與∠6，∠4與∠8，共4對(duì)；同旁內(nèi)角：∠1與∠6，∠2與∠5，∠2與∠4，∠4與∠5，共4對(duì)；故答案為：3；4；4．【知識(shí)點(diǎn)4平行線的概念】【平行線的定義及平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系的判定】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線．（2）同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對(duì)于這一知識(shí)的理解過(guò)程中要注意：①前提是在同一平面內(nèi)；②對(duì)于線段或射線來(lái)說(shuō)，指的是它們所在的直線．【平行線的基本事實(shí)及其推論】（1）平行線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【典例6】已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)判斷：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥c，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a【分析】①如果a∥b，a⊥c，那么②如果b∥c，c∥a，那么③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，錯(cuò)誤，應(yīng)該是b∥④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥故答案為：①②④．【知識(shí)點(diǎn)5平行線的判定】定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行．定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．注意：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．【典例7】如圖，下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠1+∠ACE=180°；⑤∠5=∠D．其中，能判定AD∥BE的條件有（A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】①∵∠1=∠2，∴AD∥BE，故①符合題意；②∵∠3=∠4③∵∠B=∠5，∴AB∥CD，故③不符合題意；④∵∠1+∠ACE=180°，∴AD∥BE，故④符合題意；⑤∵∠5=∠D，∴AD∥BE，故⑤符合題意；綜上所述，正確的有①④⑤，共3個(gè)，故選：C．【知識(shí)點(diǎn)6平行線的性質(zhì)】定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【典例8】如圖，OP∥QR∥ST，若∠2=100°，∠3=120°，則∠1=．【分析】∵OP∥QR∥ST，∴∠SRQ=∠3=120°，∠PRQ=180°?∠2=180°?100°=80°，∴∠1=∠SRQ?∠PRQ=120°?80°=40°．故答案為：40°【知識(shí)點(diǎn)7定義、命題、定理】命題的定義：可以判斷為正確（或真）或錯(cuò)誤（或假）的陳述語(yǔ)句，叫作命題．命題的真假：被判斷為正確（或真）的命題叫作真命題，被判斷為錯(cuò)誤（或假）的命題叫作假命題．命題的組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?“如果”后面的部分是題設(shè)，“那么”后面的部分是結(jié)論.舉反例：要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)符合命題的題設(shè)，但不滿足命題的結(jié)論的例子就可以了.像這樣的例子叫作反例.【命題與證明綜合應(yīng)用】（1）定理：有些真命題，它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣的真命題叫作定理.如“對(duì)頂角相等”“平行于同一直線的兩條直線平行”都可以看作定理.（2）證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明，如本章我們做過(guò)的一些證明題，其過(guò)程就是在證明.（3）證明的一般步驟是：1.根據(jù)題意畫:出圖形；2.個(gè)依據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證；3.個(gè)經(jīng)過(guò)分析，由已知條件推出結(jié)論，或依據(jù)結(jié)論探尋所需要的條件，再由題設(shè)進(jìn)行挖掘，尋求證明的途徑，然后書寫證明過(guò)程.證明的過(guò)程就是用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)有理有據(jù)地推出結(jié)論.證明同一個(gè)命題可能會(huì)有多種方法.【典例9】命題：互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角．(1)將該命題改寫成“如果……，那么……”的形式；(2)該命題是真命題還是假命題？如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例．【分析】（1）解：由題意得：如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角；（2）解：該命題是假命題，反例為兩個(gè)直角相加也為180度．【知識(shí)點(diǎn)8平移】【平移定義】1.定義：一般地，在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形按某一方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作平移．2.平移的條件：決定平移的條件是平移的方向和平移的距離.【平移的性質(zhì)】（1）平移后的圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.（2）平移后，新圖形和原圖形對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等；對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行(或共線)且相等.【平移作圖】（1）定：確定平移的方向和距離；（2）找：找出原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行或在同一條直線上且相等的線段得到關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（4）連：按原圖形順序依次連接各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的圖形即為平移后的圖形.【典例10】如圖，兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊在一起，將其中的一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，若平移距離為7，則陰影部分面積為．【分析】由平移的性質(zhì)知，BE=7，DE=AB=10，∴OE=DE?DO=10?4=6，∵平移，∴S∴S故答案為：56．考點(diǎn)一：相交線中的角度計(jì)算例1．如圖所示，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，已知∠AOC:∠EOC=1:4．(1)若OF平分∠BOE，求∠COF的度數(shù)；(2)若∠AOF的度數(shù)比∠EOF的度數(shù)的3倍多54°，試判斷OC與OF垂直嗎，并說(shuō)明理由．【分析】本題主要考查垂直判定和性質(zhì)，角平分線的定義，幾何中角度的計(jì)算，一元一次方程解角度問(wèn)題，理解圖示，掌握角度的和差計(jì)算是關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直及角的比例關(guān)系得到∠AOC=90°×11+4=18°,∠EOC=41+4（2）設(shè)∠EOF=x，則∠AOF=3x+54°，則3x+54°=90°+x，由此得到x=18°，則∠COE+∠EOF=90°由此即可求解．【詳解】（1）解：∵EO⊥AB，∴∠AOC+∠EOC=∠AOE=∠BOE=90°，∵∠AOC:∠EOC=1:4，∴∠AOC=90°×1若OF平分∠BOE，則∠EOF=∠BOF=1∴∠COF=∠COE+∠EOF=78°+45°=123°；（2）解：OC⊥OF，理由如下，設(shè)∠EOF=x，則∠AOF=3x+54°，∵∠AOF=∠AOE+∠EOF=90°+x，∴3x+54°=90°+x，解得，x=18°，∴∠EOF=18°，∵∠COE+∠EOF=72°+18°=90°，∴OC⊥OF．【變式1-1】如圖，直線AB、DF相交于點(diǎn)O，OC⊥DF，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC=40°，求∠DOE的度數(shù)；(2)若∠AOC=α．①用含α的代數(shù)式分別表示∠AOF和∠DOE；②求∠DOE+1【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，垂線的定義，角平分線的定義，熟知垂線的定義和角平分線的定義是條件的關(guān)鍵．（1）先由平角的定義求出∠BOC的度數(shù)，再由角平分線的定義求出∠COE的度數(shù)，最后根據(jù)垂線的定義得到∠COD的度數(shù)即可得到答案；（2）①由垂線的定義得到∠COF的度數(shù)，則可求出∠AOF的度數(shù)，則由對(duì)頂角相等得到∠BOD的度數(shù)，同理求出∠BOE的度數(shù)即可得到答案；②根據(jù)①所求即可得到答案．【詳解】（1）解：∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°?∠AOC=140°，

∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵OC⊥DF，∴∠COD=90°，

∴∠DOE=∠COD?∠COE=20°；（2）解：①∵OC⊥DF，∴∠COF=90°，∴∠AOF=90°?∠AOC=90°?α，

∴∠BOD=∠AOF=90°?α，

∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°?∠AOC=180°?α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠DOE=∠BOE?∠BOD=90°?12②由①得：∠DOE+1【變式1-2】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OP是∠AOC的平分線，OE⊥AB，OF⊥CD．(1)如果∠BOC=42°，求(2)設(shè)∠BOC=α，求證：∠EOP=1【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，互余的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練利用這兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由對(duì)頂角相等得∠AOD=∠BOC，再利用互余關(guān)系即可求解；（2）由對(duì)頂角的性質(zhì)及互余的性質(zhì)得∠EOC=∠FOA，再由OP是∠AOC的平分線，得∠POC=∠POA，從而得∠POE=∠POF，利用互余的性質(zhì)得∠EOF=∠BOC=α，從而得證．【詳解】（1）解：∵∠BOC=42∴∠AOD=∠BOC=42°；∵OF⊥CD，∴∠AOF+∠AOD=90°，∴∠AOF=90°?∠AOD=48°；（2）解：∵OF⊥CD，∴∠AOF+∠AOD=90°，∠BOC+∠COE=90°，∵∠AOD=∠BOC，∴∠EOC=∠FOA，∵OP是∠AOC的平分線，∴∠POC=∠POA，即∠POE+∠COE=∠POF+∠AOF，∴∠POE=∠POF=1∵∠FOC=∠EOB=90°，∴∠FOE+∠EOC=∠EOC+∠BOC=90°，∴∠EOF=∠BOC=α，∴∠EOP=1【變式1-3】若直線AB和直線ED相交于點(diǎn)O，OC為∠BOE內(nèi)部的射線，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．(1)若∠BOD=58°，求∠AOF和∠EOF的度數(shù)？(2)若∠BOD是任意角α(0°<α<90°)，求∠EOF的度數(shù)？(3)請(qǐng)猜想，∠EOF度數(shù)會(huì)改變嗎？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不改變，則∠EOF度數(shù)是多少？【分析】本題考查角的計(jì)算，角平分線的定義，對(duì)頂角，熟練計(jì)算角度是解題的關(guān)鍵．（1）由對(duì)頂角的性質(zhì)，得到∠AOE=58°，再由角平分線的定義即可求解；（2）由角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)得到，∠COE=α，∠COF=90°?α，從而求出∠EOF的度數(shù)；（3）由角平分線的定義推出∠EOF=1【詳解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC∴∠COE+∠COF=1∴∠EOF=1∵∠AOE=∠BOD=58°，∴∠AOF=∠AOE+∠EOF=58°+90°=148°，（2）解：∵OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOE，∵∠AOE=∠BOD=α，∴∠AOC=2α，∴∠BOC=180°?2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=1∴∠EOF=∠EOC+∠COF=α+90°?α=90°；（3）解：∠EOF的度數(shù)不變，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC∴∠COE+∠COF=1∴∠EOF=1考點(diǎn)二：填寫推理依據(jù)，完善證明過(guò)程例2.完成下面的推理填空：如圖，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4證明：∵AB∥CD，∴∠2=∠BAE（_________）．∵∠BAE=∠3+_________，∴∠2=∠3+_________，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4+∠CAE=∠CAD，又∵∠1=∠2，∴∠CAD=_________，∴AD∥_________（_________）．∴∠D=∠DCE．（_________）．【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)與判定方法并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠2=∠3+∠CAE，得出∠2=∠CAD，即可證明AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得答案．【詳解】證明：∵AB∥CD，∴∠2=∠BAE（兩直線平行，同位角相等），∵∠BAE=∠3+∠CAE，∴∠2=∠3+∠CAE，∵∠3=∠4，∴∠2=∠4+∠CAE=∠CAD，又∵∠1=∠2，∴∠CAD=∠1，∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠D=∠DCE．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【變式1-1】如圖，∠1+∠2=180°,∠DEF=∠A,∠BED=60°，求∠ACB的度數(shù)．解：∵∠1+∠2=180°（已知）∠2+∠BDC=180°（）∴∠1=∠BDC（）∴AB∥（∴∠DEF+∠ADE=180°（）又∵∠DEF=∠A（已知）∴∠A+_____=180°（等量代換）∴AC∥DE（∴∠ACB=∠BED=60°（）【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是正確解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定補(bǔ)充證明過(guò)程即可得答案．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°（已知）∠2+∠BDC=180°（鄰補(bǔ)角互補(bǔ)）∴∠1=∠BDC（同角的補(bǔ)角相等）∴AB∥EF（同位角相等，兩直線平行）∴∠DEF+∠ADE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵∠DEF=∠A（已知）∴∠A+∠ADE=180°（等量代換）∴AC∥DE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠ACB=∠BED=60°（兩直線平行，同位角相等）【變式1-2】將下面的說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整．已知：如圖，∠1=∠C,EF⊥BC，垂足為F,∠2+∠3=180°．（1）試說(shuō)明∠2=∠4；（2）試求出∠ADC的度數(shù)．解：（1）∵∠1=∠C（已知），∴DP∥∴∠2=∠4（______________）．（2）∵EF⊥BC（已知），∴∠EFC=90°（垂直的定義）．∵∠2=∠4（已證），∠2+∠3=180°（已知），∴∠3+∠4=180°（______________）．∴AD∥∴∠ADC=∠______________．∴∠ADC的度數(shù)為______________．【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，垂線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）證明DP∥AC可得（2）由垂直的定義得∠EFC=90°，由等量代換得∠3+∠4=180°，從而AD∥【詳解】解：（1）∵∠1=∠C（已知），∴DP∥∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故答案為：AC；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）∵EF⊥BC（已知），∴∠EFC=90°（垂直的定義），∵∠2=∠4（已證），∠2+∠3=180°（已知），∴∠3+∠4=180°（等量代換），∴AD∥∴∠ADC=∠EFC，∴∠ADC的度數(shù)為90°，故答案為：等量代換；EF；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；EFC；90°．【變式1-3】把下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，已知MN⊥BC交BC于點(diǎn)M，AD⊥BC交BC于點(diǎn)E，∠1=∠C，∠2=∠3，求證：AB∥證明：∵M(jìn)N⊥BC，AD⊥BC，∴∠CMN=90°，∠CED=90°（①）．∴∠CMN=∠CED（等量代換）．∴MN∥ED（②）．∴∠3=③（兩直線平行，同位角相等）．∵∠2=∠3，∴∠2=∠CDE（等量代換）．∴EF∥④∵∠1=∠C，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴AB∥EF（⑤）．【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義，平行線的判定方法，平行線的性質(zhì)進(jìn)行作答即可，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵M(jìn)N⊥BC，AD⊥BC，∴∠CMN=90°，∠CED=90°（垂直的定義）．∴∠CMN=∠CED（等量代換）．∴MN∥ED（同位角相等，兩直線平行）．∴∠3=∠CDE（兩直線平行，同位角相等）．∵∠2=∠3，∴∠2=∠CDE（等量代換）．∴EF∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∵∠1=∠C，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴AB∥EF（平行于同一條直線的兩直線平行）．考點(diǎn)三：平行線的判定與性質(zhì)證明例3.如圖，在三角形ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AC邊上，連接DE，DF，GE，已知∠AFD=∠DEB，∠DFC+∠C=180°．(1)求證：DE∥(2)若∠C=38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度數(shù)．【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠DFC+∠C=180°，∴DF∥∴∠DEB=∠EDF，∵∠AFD=∠DEB，∴∠EDF=∠AFD，∴DE∥（2）解：∵DE∥∴∠C+∠DEC=180°，∵∠C=38°，∴∠DEC=180°?38°=142°，∵EG平分∠DEC，∴∠DEG=1∵DE∥∴∠EGC=∠DEG=71°．【變式1-1】如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D,F在邊BC上，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AC上，EF與GD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°．(1)判斷EH與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若∠DGC=58°，且∠H=∠4+10°，求∠H的度數(shù)．【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）先由∠1=∠B，得到AB∥GH，則∠3+∠H=180°，進(jìn)而得到∠2=∠H，由此即可證明；（2）先由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠BAD，∠BAG=∠DGC=58°，再證明∠BAG=∠BAD+∠4=2∠4+10°，結(jié)合∠H=∠4+10°進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：EH∥∵∠1=∠B，∴DG∥BA∵∠2+∠3=180°，∴∠BAD+∠3=180°∴EH∥（2）解：∵EH∥AD，∵DG∥BA，∴∠2=∠BAD∴∠BAD=∠H，∴∠DGC=∠BAG=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°∵∠H=∠4+10°，∴∠4+10°+∠4=58°，∴∠4=24°，∴∠H=24°+10°=34°．【變式1-2】已知：如圖，點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D、F，點(diǎn)M、G在AB上，∠AMD=∠AGF，∠1=∠2．求證：【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，垂直的定義，先證明BD∥EF，再證明∠CBD=∠1，再證明GF∥【詳解】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D、∴∠BDC=90°，∴∠BDC=∠EFC（等量代換）．∴BD∥∴∠CBD=∠2（兩直線平行，同位角相等）．∵∠1=∠2（已知）．∴∠CBD=∠1（等量代換）．∴GF∥∵∠AMD=∠AGF（已知）．∴GF∥∴BC∥∴∠DMB+∠ABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．【變式1-3】如圖，已知∠1+∠BDE=180°，∠2+∠4=180°．

(1)證明：AD∥(2)若∠3=90°，①∠4=140°，求∠BAC的度數(shù)；②求證：∠FED?∠BAC=90°【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，證明AD∥（1）先根據(jù)平行線的判定可得AC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠ADE，從而可得∠ADE+∠4=180°，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）①先根據(jù)角的和差可得∠2=40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=∠3=90°，然后根據(jù)角的和差即可得．②證明∠2=∠BAD?∠BAC=90°?∠BAC，由∠2+∠4=180°，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠1+∠BDE=180°，∴AC∥DE，∴∠2=∠ADE，∵∠2+∠4=180°，∴∠ADE+∠4=180°，∴AD∥EF．（2）①解：∵∠2+∠4=180°，∠4=140°，∴∠2=180°?140°=40°，由（1）已證：AD∥EF，∴∠BAD=∠3=90°，∴∠BAC=∠BAD?∠2=90°?40°=50°．②∵AD∥EF，∴∠BAD=∠3=90°，∴∠2=∠BAD?∠BAC=90°?∠BAC，∵∠2+∠4=180°．∵90°?∠BAC+∠FED=180°．∴∠FED?∠BAC=90°考點(diǎn)四：平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題例4.如圖，AB∥CD，∠CDP=120°，∠P=3∠A，則∠P=【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)、內(nèi)錯(cuò)角相等成為解題的關(guān)鍵．如圖：過(guò)P作PM∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠MPD=60°，再根據(jù)條件【詳解】解：如圖：過(guò)P作PM∥∵AB∥∴AB∴∠D+∠MPD=180°，∵∠CDP=120°，∴∠MPD=180°?120°=60°，設(shè)∠A=x°，則∠APD=3x°，∴3x?x=60，解得：x=30，∴∠APD=90°．故答案為：90°．【變式1-1】如圖，已知：AB∥CD，∠A=x°，∠C=y°，∠E=z°．則x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系是（A．x+y+z=180 B．x+y?z=180C．x+z=y D．x+y+z=360【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF，由平行線的性質(zhì)可得∠AEF=∠A=x°，【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEF=∠A=x°，∠CEF=180°?∠C=180°?y°，∴∠AEC=∠AEF?∠CEF=x°?180°?y°∴z°=x°+y°?180°，∴x+y?z=180，故選：B．【變式1-2】如圖①為北斗七星的位置圖，如圖②將北斗七星分別標(biāo)為A，B，G，C，D，E，F(xiàn)，將A，B，G，C，D，E，F(xiàn)順次首尾連接．若B，G，C三點(diǎn)共線，AF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，且AF∥DE，∠B=∠BCD+10°，∠D=105°，則∠B?∠CGF為（

）A．115° B．95° C．90° D．85°【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理的推論，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)C作CH∥AF，則AF∥DE∥CH，得到∠CGF=∠GCH，∠D=∠DCH，進(jìn)而得出∠BCD=105°+∠CGF，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AF，∵AF∥DE，∴AF∥DE∥CH，∴∠CGF=∠GCH，∠D=∠DCH，∴∠BCD=∠DCH+∠GCH=∠D+∠CGF=105°+∠CGF，∵∠B=∠BCD+10°，∴∠B?∠CGF=∠BCD+10°?∠CGF=105故選：A．【變式1-3】【問(wèn)題初探】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出如下問(wèn)題：如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E在AB，CD之間且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，求證：【類比探究】（2）李明對(duì)王老師給出的問(wèn)題進(jìn)行了改編：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E在AB，CD之間且點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，直接寫出∠AEC，∠BAE，【學(xué)以致用】（3）如圖3是超市購(gòu)物車，圖4是其側(cè)面示意圖，已知AB∥CD，F(xiàn)D⊥CD，測(cè)量得知∠ABE=75°，∠DFE=115°，求【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得∠BAE=∠AEF，EF∥（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得∠BAE+∠AEF=180°，EF∥（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥CD，可得∠BEM=∠ABE=75°，∠NFD+∠FDC=180°，即得∠NFD=90°，即得到∠EFN=∠DFE?∠NFD=25°，又由平行公理的推論得本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∵AB∥∴EF∥∴∠DCE=∠CEF，∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，∴∠AEC=∠BAE+∠DCE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∵AB∥∴EF∥∴∠CEF+∠DCE=180°，∴∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE=180°+180°，即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作∴∠BEM=∠ABE=75°，∠NFD+∠FDC=180°，∵FD⊥CD，∴∠FDC=90°，∴∠NFD=180°?∠FDC=90°，∵∠DFE=115°，∴∠EFN=∠DFE?∠NFD=115?90°=25°，∵AB∥∴EM∥∴∠FEM=∠EFN=25°，∴∠BEF=∠BEM+∠FEM=75°+25°=100°．考點(diǎn)五：平行線中多結(jié)論問(wèn)題例5.如圖，在四邊形ABDC中，AB∥CD，點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，連接DE交AB于點(diǎn)F,∠EFA=55°，點(diǎn)P,Q在CD上，連接FP，F(xiàn)Q，已知∠PFD=10°，∠FQP=∠QFP,∠BDE=∠AEF；下列結(jié)論：①∠FEA與∠ECD互為同位角；②CE∥BD；③FQ平分∠AFP；④∠FQD=50°．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為【分析】本題考查同旁內(nèi)角，對(duì)頂角相等，角平分的定義，平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)同旁內(nèi)角的定義判斷①，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判斷②，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)以及已知條件判斷③，根據(jù)已知條件結(jié)合角平分線的定義得出∠FQD=∠AFQ=57.5°，即可判斷④，即可求解．【詳解】解：∠FEA與∠ECD位于ED,CD之間，CE的右側(cè)，∠FEA與∠ECD互為同旁內(nèi)角，故①錯(cuò)誤；∵∠BDE=∠AEF，∴CE∥BD，故②正確；∵AB∥CD，∴∠AFQ=∠FQP，∵∠FQP=∠QFP，∴∠AFQ=∠QFP，∴FQ平分∠AFP；故③正確；∵∠EFA=55°∴∠BFD=∠EFA=55°∵∠PFD=10°，∴∠BFP=∠BFD+∠PFD=55°+10°=65°，∴AFP=180°?65°=115°∵FQ平分∠AFP∴∠AFQ=∵AB∥CD∴∠FQD=∠AFQ=57.5°，故④錯(cuò)誤故答案為：②③．【變式1-1】如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB上（F在E的右側(cè)），點(diǎn)Q在直線CD上，EH⊥HQ，I為線段EH上的一點(diǎn)，連接FQ，IQ，∠AFQ與∠HQF的角平分線交于點(diǎn)G，且點(diǎn)G在直線AB，CD之間，下列結(jié)論：①∠AEH+∠CQH=90°；②∠AEH+2∠FGQ=270°；③若∠IQH=2∠CQH，則

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線求得∠AEH+∠CQH=90°，是解此題的關(guān)鍵．①過(guò)點(diǎn)H作HT∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CQH+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠IQC=3∠CQH，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)H作HT∥

∵AB∥CD，∴AB∴∠AEH=∠EHT，∠CQH=∠QHT，∵EH⊥HQ，即∠EHQ=∠EHT+∠QHT=90°，∴∠AEH+∠CQH=90°，故①正確；②∵AB∥CD，F(xiàn)G平分∠AFQ，QG平分

∴∠AFG=∠2，∠HQG=∠1，∴∠3=∠AFG+∠2=2∠2，∠CQH+∠HQG+∠1+∠3=∠CQH+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°?2∠2?∠CQH，∴2∠2+2∠1=180°?∠CQH，∵∠FGQ=180°?(∠2+∠1)，∴2∠FGQ=360°?2(∠2+∠1)=360°?(180°?∠CQH)=180°+∠CQH，∴∠AEH+2∠FGQ=∠AEH+180°+∠CQH=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠IQH=2∠CQH，∴∠IQC=3∠CQH，∴3∠AEH+∠IQC=3∠AEH+3∠CQH=3(∠AEH+∠CQH)=3×90°=270°；3∠AEH+∠IQC=270°，故③正確；④∵∠IQH=n∠CQH，∴∠IQC=(n+1)∠CQH，即∠CQH=1∵∠AEH+∠CQH=90°，∴∠AEH+1綜上，①②③正確，，故答案為：①②③．【變式1-2】如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G，且∠AFG=2∠D，則下列結(jié)論：①∠D=30°；②FH平分∠GFD；③∠HFD=∠DFB；④∠AFE+∠CHE=∠FEH；⑤【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得FG⊥FD，從而可得∠AFG+∠BFD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠D=∠BFD，代入計(jì)算即可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EHC=∠D=30°，由此即可判斷⑤；過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠AFE+∠CHE=∠FEH即可判斷④；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BFD=∠D=30°，∠GFD=90°，但題干未知【詳解】解：∵FD∥EH，∴FG⊥FD，∴∠AFG+∠BFD=180°?90°=90°，∵∠AFG=2∠D，∴2∠D+∠BFD=90°，∵AB∥∴∠D=∠BFD，∴2∠D+∠D=90°，解得：∠D=30°，故結(jié)論①正確；∵FD∥∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，故結(jié)論⑤正確；過(guò)點(diǎn)E作EM∥則∠AFE=∠FEM，∵AB∥∴EM∥∴∠CHE=∠HEM，∴∠FEH=∠FEM+∠HEM=∠AFE+∠CHE，故結(jié)論④正確；∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，但∠HFD不一定等于30°，∴∠HFD=∠DFB不一定成立，故結(jié)論③錯(cuò)誤；∵∠GFH不一定等于45°，∴FH平分∠GFD不一定正確，則結(jié)論②錯(cuò)誤；綜上，正確的是①④⑤，故答案為：①④⑤．【變式1-3】如圖，AB∥CD，E為AB上一點(diǎn)，且EF⊥CD垂足為F，∠CED=90°，CE平分∠AEG，且∠CGE=50°，則下列結(jié)論：①∠AEC=75°；②DE平分∠GEB；③∠CEF=∠GED；④∠FED+∠BEC=180°；其中正確的有【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找到角之間的關(guān)系，根據(jù)角之間的關(guān)系判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵AB∥∴∠BEG=∠CGE=50°，∴∠ACG=180°?∠BEG=130°，∵CE平分∠AEG，∴∠AEC=∠CEG=1故①錯(cuò)誤；∵EF⊥CD，AB∥∴∠AEF=90°，∴∠CEF=90°?∠AEC=25°，∵∠CED=90°∴∠GED=∠CED?∠CEG=90°?65°=25°，∴∠DEB=∠GEB?∠GED=50°?25°=25°，∴∠DEB=∠GED，∴DE平分∠GEB，故②正確；已知∠CEF=25°，∠GED=25°，∴∠CEF=∠GED，故③正確；∵∠CEF=25°，∠CED=90°，∴∠FED=∠CED?∠CEF=90°?25°=65°=∠AEC，∵∠AEC+∠BEC=180°，∴∠FED+∠BEC=180°，故④正確．∴正確的有②③④．故答案為：②③④．考點(diǎn)六：平行線中的判定與性質(zhì)綜合探究題例6.綜合與探究如圖，AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在直線AB，(1)如圖1，E是直線AB，CD之間一點(diǎn)，連接PE，QE．試說(shuō)明∠PEQ=∠APE+∠CQE．(2)如圖2，F(xiàn)是直線AB，CD之間一點(diǎn)，連接PF，QF．若∠APF=11°，∠DQF=72°，求∠PFQ的度數(shù)．(3)如圖3，PF平分∠APE，QF平分∠DQE，試探究∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠PEF，（2）由（1）可得∠PFQ=∠APF+∠CQF，代入數(shù)據(jù)，即可求解．（3）根據(jù)角平分線以及平角的定義可得∠APF=12∠ABE，∠EQF=∠FQD=12【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∴∠APE=∠PEF，∵AB∥CD∴EF∥∴∠FEQ=∠CQE，∴∠PEQ=∠PEF+∠QEF=∠APE+∠CQE，即∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）解：∵∠DQF=72°∴∠CQF=180°?∠DQF=108°∵∠APF=11°，由（1）可得∠PFQ=∠APF+∠CQF=11°+108°=119°（3）解：∠PFQ=1∵PF平分∠APE，QF平分∠DQE，∴∠APF=12由（1）可得∠PEQ=∠APE+∠CQE，∠PFQ=∠APF+∠CQF∴∠PFQ=∠APF+∠CQE+∠EQF=1==即∠PFQ=1【變式1-1】【探究結(jié)論】如圖1，AB∥CD，G為平行線內(nèi)一點(diǎn)，連接BG、DG得到∠BGD，經(jīng)推理證明可得【探究應(yīng)用】利用以上結(jié)論解決下面問(wèn)題：(1)如圖2，∠BEF和∠EFD的平分線交于點(diǎn)G，∠G的度數(shù)是________；(2)如圖3，EI和EK為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)I和K，試說(shuō)明∠FIE+∠K=180°；(3)如圖4，點(diǎn)Q為線段EF（端點(diǎn)除外）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作EF的垂線交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分線相交于P，則∠EPJ=________°．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠FEG，∠EFD=2∠GFE，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到（2）過(guò)點(diǎn)I作IH∥AB，由已知可得∠K=∠1+∠3，∠EIF=∠BEI+∠IFD，得到∠3=∠KFD，由于FK平分∠EFD，求得∠4=∠KFD，由于∠1=∠2，于是得到∠K=∠2+∠4，由于∠EIF=∠BEI+∠IFD，得到（3）根據(jù)∠AEF、∠CJR的平分線相交于P，得到∠AEF=2∠AEP，∠CJR=2∠PJC，由于AB∥CD，得到∠EPJ=∠AEP+∠PIC，且∠AEF=∠JFE；根據(jù)RJ⊥EF，得【詳解】（1）解：∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，∵BE∥∴∠BEF+∠EFD=180°，∴2∠FEG+2∠GFE=180°，∴∠FEG+∠GFE=90°，∵∠EGF+∠FEG+∠GFE=180°，∴∠G=90°,故答案為：90°；（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)I作IH∥∵AB∥∴IH∥由已知可得∠K=∠1+∠3，∠EIF=∠BEI+∠IFD，∴∠3=∠KFD，∵FK平分∠EFD，∴∠4=∠KFD，∵∠1=∠2，∴∠K=∠2+∠4，∵∠EIF=∠BEI+∠IFD，∴∠EIF+∠K=∠2+∠4+∠BEI+∠IFD=∠BEF+∠EFD，∵AB∥∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠EIF+∠K=180°；（3）解：∵AB∥同理∠EPJ=∠AEP+∠PIC，且∠AEF=∠JFE，∵∠AEF、∠CJR的平分線相交于P，∴∠AEF=2∠AEP，∠CJR=2∠PJC，∵RJ⊥EF，∴∠FQJ=90°，∴∠EFJ+∠CJR=90°，∴∠AEF+∠CJR=90°，∴2∠AEP+2∠PJC=90°，∴∠AEP+∠PJC=45°，∴∠EPJ=45°，故答案為：45．【變式1-2】已知直線AB∥CD，將一個(gè)含60°角的直角三板PMN∠P=90°,∠PMN=60°按如圖1所示位置擺放，使N,M分別在AB,CD上，P在AB,CD(1)比較：∠PNB+∠PMD_______∠P（填“>”“<”或“=”）；(2)如圖2，分別畫∠BNM,∠PMD的平分線，交于點(diǎn)Q，求∠NQM的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，若NE平分∠ANP，交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF∥MQ，交CD于點(diǎn)F．請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并判斷【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，通過(guò)平行線構(gòu)造等角是解答本題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)輔助線PQ構(gòu)造等角得出∠PNB=∠NPQ和∠PND=∠MPQ，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠BNM=∠NMC，在平角中求出∠NMC+∠PMD，進(jìn)而求出12∠NMC+∠PMD，再同（1）可求出（3）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，先由平行線的性質(zhì)求出∠ANF=∠DMQ=12∠PMD,然后角平分線的性質(zhì)求出∠ANE=12【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ平行于AB，則PQ∥AB∥CD，∴∠PNB=∠NPQ,∠PMD=∠MPQ，∵∠NPQ+∠MPQ=∠MPN=90°，∴∠PNB+∠PMD=∠MPN，故答案為：=；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BNM=∠NMC，∵∠BNQ=1∴由（1）結(jié)論同理可得：∠NQM=∠BNQ+∠DMQ=1∵∠NMC+∠PMD=180°?∠PMN=120°，∴∠NQM=60°；（3）解：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下：∵AB∥CD，∴∠ANF=∠NFD，∵NF∥MQ，∴∠NFD=∠DMQ，∴∠ANF=∠DMQ，∵M(jìn)Q平分∠PMD，∴∠ANF=∠DMQ=1∵NE平分∠ANP，∴∠ANE=12∠ANP=∴∠FNE=∠ANE?∠ANF=90°?12∠BNP由（1）知，∠BNP+∠PMD=90°,∴∠FNE=90°?45°=45°，故∠FNE的大小為定值，度數(shù)是45°．【變式1-3】已知直線AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是直線AB和CD上的兩點(diǎn)，點(diǎn)G為直線AB和CD之間的一點(diǎn)，連接MG、NG．(1)如圖1，若∠BMG=α，∠DNG=β，試說(shuō)明(2)如圖2，在（1）的結(jié)論下，點(diǎn)P是直線CD下方一點(diǎn)，滿足MG平分∠BMP，ND平分∠GNP．若∠BMG=35°，求∠G+∠P的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)P是直線AB上方一點(diǎn)，連結(jié)PM、PN，若點(diǎn)G為線段NQ上一點(diǎn)，GM的延長(zhǎng)線為∠AMP的三等分線，NP平分∠CNG，∠MGN=100°?2∠P，則∠AMP=_________．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖、熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB，證明AB∥GH∥CD，得∠MGH=∠BMG，∠NGH=∠DNG，則∠MGH+∠NGH=∠BMG+∠DNG，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD，先求出∠BMP=70°，根據(jù)ND平分∠GNP，設(shè)∠DNG=∠PNG=θ，得∠MPE=∠BMP=70°，則∠MPN=70°?θ，由（1）的結(jié)論得∠G=∠BMG+∠DNG=35°+θ，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)K在GM的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，再分以下兩種情況：①當(dāng)∠PMK=13∠AMP時(shí)，設(shè)∠PMK=α，根據(jù)NP平分∠CNG，設(shè)∠CNP=∠GNP=β，則∠DNG=180°?2β，由（1）的結(jié)論得∠MGN，得∠FPN=∠CNP，∠FPN=∠AMP，則∠MPN=β?3α，再根據(jù)∠MGN=100°?2∠MPN即可求解；②當(dāng)∠AMK=13∠AMP時(shí)，設(shè)∠AMK=α，則∠AMP=3α,∠QMG=∠AMK=α，設(shè)∠CNP=∠GNP=β，則∠DNG=180°?2β，由（1）的結(jié)論得∠MGN，同①得【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB（點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)），如圖所示：∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠MGH=∠BMG，∴∠MGH+∠NGH=∠BMG+∠DNG，∴∠MGN=∠MGH+∠NGH，∴∠MGN=α+β；（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD（點(diǎn)E在點(diǎn)P的左側(cè)），如圖所示：∵M(jìn)G平分∠BMP，∴∠BMP=2∠BMG=70°，∵ND平分∠GNP，設(shè)∠DNG=∠PNG=θ，∵AB∥CD∴AB∥CD∥PE，∴∠MPE=∠BMP=70°，∴∠MPN=∠MPE?∠NPE=70°?θ，由（1）的結(jié)論得：∠G=∠BMG+∠DNG=35°+θ，∴∠G+∠MPN=35°+θ+70°?θ=105°；（3）解：設(shè)點(diǎn)K在GM的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB（點(diǎn)F在點(diǎn)P的右側(cè)），∵GM的延長(zhǎng)線為∠AMP的三等分線，有以下兩種情況：①當(dāng)∠PMK=1設(shè)∠PMK=α，則∠AMP=3α，∴∠AMK=∠AMP?∠PMK=2α，∴∠QMG=∠AMK=2α，∵NP平分∠CNG，設(shè)∠CNP=∠GNP=β，∴∠CNG=2β，∴∠DNG=180°?∠CNG=180°?2β，由（1）的結(jié)論得：∠MGN=∠DNG+∠QMG=180°?2β+2α，∵AB∥CD,PF∥AB，∴AB∥CD∥PF，∴∠FPN=∠CNP=β,∠FPN=∠AMP=3α，∴∠MPN=∠FPN?∠FPN=β?3α，∵∠MGN=100°?2∠MPN，∴180°?2β+2α=100°?2(β?3α)，解得：α=20°，∴∠AMP=3α=60°；②當(dāng)∠AMK=1設(shè)∠AMK=α，則∠AMP=3α，∴∠QMG=∠AMK=α，∵NP平分∠CNG，設(shè)∠CNP=∠GNP=β，∴∠CNG=2β，∴∠DNG=180°?∠CNG=180°?2β，由（1）的結(jié)論得：∠MGN=∠DNG+∠QMG=180°?2β+α，同①得：∠MPN=β?3α，∵∠MGN=100°?2∠MPN，∴180°?2β+α=100°?2(β?3α)，解得：α=16°，∴∠AMP=3α=48°．綜上所述：∠AMP=60°或48°．故答案為：60°或48°．考點(diǎn)七：：平行線中的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題例7.如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將一副三角板如圖擺放，其中兩銳角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OD，OE分別在射線OA，OB上，且∠COD=60°，∠EOF=45°．(1)將圖1中的三角板OEF繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，使得OF落在射線OB上，此時(shí)三角板OEF旋轉(zhuǎn)的角度為___________度．(2)繼續(xù)將圖2中的三角板OEF繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3的位置，使得OF在∠AOC的內(nèi)部，試探究∠AOE與∠COF之間滿足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)在上述直角三角板OEF從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過(guò)程中，若三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板OEF的邊所在的直線恰好平行于直角三角板DOC的一邊時(shí)，直接寫出此時(shí)三角板OEF繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tt>0【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論．（1）根據(jù)∠BOE的度數(shù)就是旋轉(zhuǎn)的角度求解即可；（2）由圖3可知，∠COF+∠DOF=60°，∠AOE+∠DOF=45°，則可求解；（3）分情況討論：①當(dāng)EF∥OC時(shí)；②當(dāng)OE∥CD時(shí)；③當(dāng)OF∥CD時(shí)；④當(dāng)EF∥CD時(shí)；分別求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，再除以旋轉(zhuǎn)速度便可得時(shí)間．【詳解】（1）解：∵∠EOF=45°，∴OF落在射線OB上時(shí)，OF旋轉(zhuǎn)的角度是45°，∴三角板OEF旋轉(zhuǎn)的角度為45°，故答案為：45；（2）∠COF?∠AOE=15°，理由如下：由圖3可知，∠COF+∠DOF=60°，∠AOE+∠DOF=45°，∴∠COF+∠DOF?∠AOE+∠DOF即∠COF?∠AOE=15°；（3）①當(dāng)EF∥OC時(shí)，∠BOE=30°或210°，∴t=30°÷6°=5或t=210°÷6°=35；②當(dāng)OE∥CD時(shí)，∠BOE=90°，∴t=90°÷6°=15；③當(dāng)OF∥CD時(shí)，∠BOF=90°，∠BOE=∠BOF+∠EOF=90°+45°=135°，∴t=135°÷6°=22.5；④當(dāng)EF∥CD時(shí)，∠BOE=180°，∴t=180°÷6°=30；綜上所述，t的值為5或15或22.5或30或35．【變式1-1】如圖，直線PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在直線PQ上，點(diǎn)B，C均在直線MN上，且CE平分∠ACN．AI(1)求∠DEQ的度數(shù)．(2)如圖②，若將三角形ABC繞點(diǎn)B以每秒4度的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F，G），當(dāng)BG落在射線BM上時(shí)，立即以原速按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)BG落在射線BN上時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（s）．①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，求t的值．②若在三角形ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角形CDE繞點(diǎn)E以每秒1度的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，K），兩個(gè)三角形同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出當(dāng)∠GBN的角平分線與∠HEK的角平分線平行時(shí)t的值．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用方程思想解決問(wèn)題．（1）利用平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義求解，即可解題．（2）①首先證明∠GBC=∠DCN=30°，由此構(gòu)建方程求解，即可解題．②分兩種情形：當(dāng)當(dāng)BG轉(zhuǎn)到BM之前時(shí)，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．當(dāng)BG落在射線BM上時(shí)返回BN，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖，∵∠ACB=30°，∴∠CAN=180°?∠ACB=150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN=1∵PQ∥∴∠QEC＋∴∠QEC=180°?75°=105°，∴∠DEQ=∠QEC?∠CED=105°?45°=60°；（2）解：①如圖，當(dāng)BG轉(zhuǎn)到BM之前時(shí)∵BG∥∴∠GBC=∠DCN，∵∠DCN=∠ECN?∠ECD=75°?45°=30°，∴∠GBC=30°，∴4t=30°，∴t=7.5s當(dāng)BG落在射線BM上時(shí)，立即以原速按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)BG未落在射線BN上時(shí)∴4t=180°×2?30°∴t=82.5∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，t的值為7.5s②當(dāng)BG轉(zhuǎn)到BM之前時(shí)△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BF平分∠GBN的角平分線，∠GBN=4t，∠FBN=2t；△CDE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，EI平分∠HEK∠QEI=60°+t+1當(dāng)BF∥EI時(shí)∠FBN=∠FIN∵M(jìn)N∥PQ∴∠QEI+∠EIN=180°即2t+82.5°+t=180°解得：t=32.5；

當(dāng)BG落在射線BM上時(shí)，立即以原速按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)BG未落在射線BN上時(shí)如圖∠GBN=360°?4t，∠FBN=180°?2t，∠QEI=60°+t+1∠1=180°?∠QEI=180°?當(dāng)BF∥EI時(shí)∠1=2，∵M(jìn)N∥PQ∴∠2=∠FBN，∵∠1=∠FBN即97.5°?t=180°?2t解得：t=82.5；【變式1-2】如圖，直線PQ∥MN，一副三角板（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如圖1放置，其中點(diǎn)E在直線PQ上，點(diǎn)B，C均在直線MN上，且CE平分(1)求∠DEQ的度數(shù)；(2)如圖2，若將△ABC繞B點(diǎn)以每秒6°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F、G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒0≤t≤60；①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，求②若在△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，△CDE繞E點(diǎn)以每秒3°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為K、T），請(qǐng)直接寫出EK與BG平行時(shí)t的值．【分析】（1）首先求出∠ACN，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECN，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠QEC，繼而可得結(jié)果；（2）①分兩種情況，畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度以及平行線的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解之即可；②表示出∠CEK=3t°，∠CBG=6t°，分三種情況（如解析所示），畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程，再求解即可．【詳解】（1）解：∵∠ACB=30°，∴∠ACN=180°?∠ACB=150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN=1∵PQ∥∴∠QEC+∠ECN=180°，∴∠QEC=180°?75°=105°，∴∠DEQ=∠QEC?∠CED=105°?45°=60°．（2）解：①如圖，當(dāng)BG在MN上方時(shí)，∵BG∥∴∠GBC=∠DCN，∵∠DCN=∠ECN?∠ECD=75°?45°=30°，∴∠GBC=30°，∴6t=30，∴t=5．如圖，當(dāng)BG在MN下方時(shí)，∵BG∥∴∠GBC=∠BCD，∵∠DCN=30°，∴∠GBC=∠BCD=150°，此時(shí)△ABC旋轉(zhuǎn)了360°?150°=210°，∴6t=210，∴t=35．∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，t②如圖，延長(zhǎng)BG，與PQ交于H，由題意得，∠CEK=3t°，∠CBG=6t°，∵BG∥∴∠GHE=∠KEQ，∵PQ∥∴∠CBG+∠GHE=180°，∴∠CBG+∠KEQ=180°，即3t+6t+105=180，解得：t=25如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥∵BG∥∴CH∥∴∠GBM=∠HCM=180°?6t°，∠KEC+∠ECH=180°，∴∠ECH=∠ECM?∠HCM=105°?180°?6t°=6t°?75°，∴3t+6t?75=180，解得：t=85如圖，延長(zhǎng)GB，與PQ交于H，∵PQ∥∴∠CBG=∠BHQ=360°?6t°，∵BG∥∴∠BHQ=∠HEK=360°?6t°，∴∠HEC=∠CEK?∠HEK=75°，即3t?360?6t解得：t=145綜上：t的值為253或853或【變式1-3】如圖，已知AB∥CD,P是直線AB，CD間的一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，PE交AB于點(diǎn)E，∠FPE=120°．(1)∠AEP=．(2)如圖2，射線PN從PF出發(fā)，以每秒45°的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)PN垂直AB時(shí)，立刻按原速返回至PF后停止運(yùn)動(dòng)；射線EM從EA出發(fā)，以每秒20°的速度繞E點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至EB后停止運(yùn)動(dòng)，若射線PN，射線EM同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)∠MEP=10°時(shí)，請(qǐng)求出∠EPN的度數(shù)；②當(dāng)EM∥PN時(shí)，請(qǐng)求出【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，則∠AEP=∠EPG，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)以及垂直的定義可得（2）①當(dāng)∠MEP=10°時(shí)，分兩種情況，當(dāng)ME在AE和EP之間，當(dāng)ME在EP和EB之間，計(jì)算出ME的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算出∠FPN，由已知∠FPE=120°可計(jì)算出∠EPN的度數(shù)；②分四種情況：當(dāng)0≤t≤32、32<t≤4、【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，則∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠GPF=∠PFC=90°，∵∠FPE=120°，∴∠AEP=∠EPG=30°；（2）解：①當(dāng)ME在AE和EP之間時(shí)，如圖2，∵∠AEP=30°，∠MEP=10°，∴∠AEM=20°，∴射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=20∴射線PN旋轉(zhuǎn)的角度∠FPN=1×45°=45°，又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF?∠EPN=120°?45°=75°；當(dāng)ME在EP和EB之間時(shí)，如圖3所示，∵∠AEP=30°，∠MEP=10°，∴∠AEM=40°，∴射線ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=40∴射線PN旋轉(zhuǎn)的角度∠FPN=2×45°=90°，又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF?∠FPN=120°?90°=30°；∴∠EPN的度數(shù)為75°或30°；②當(dāng)0≤t≤3020，即0≤t≤3則∠MEP=∠EPN，即30?20t=120?45t，解得：t=18

當(dāng)32<t≤4時(shí)，若則∠MEP=∠EPN，即20t?30=45t?120，解得：t=3.6；

當(dāng)4<t≤8時(shí)，若EM∥則∠MEP+∠EPN=180°，即20t?30+45t?4解得：t=90

當(dāng)8<t≤9時(shí)，不存在EM,PN互相平行的情況；綜上，當(dāng)EM∥PN時(shí)，t的值是3.6或1．將一定寬度的紙帶與一直角三角尺按如圖所示的方式放置，下列結(jié)論中能判定紙帶邊a∥b的有（

）①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°；⑤∠1+∠4=90°．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定①⑤，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定②，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可判斷④．【詳解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥②∵∠3=∴a∥③∠2+∠4=90④∵∠4+∠5=180°，∴a∥⑤∵∠2+∠4=90°，∠1+∠4=90°，∴∠1=∠2，∴a∥綜上所述，能判定紙帶邊a∥b的有4個(gè)．故選：C．2．下列命題中，①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種；④不相交的兩條直線是平行線；⑤有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為補(bǔ)角是假命題的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系、平行線的定義、鄰補(bǔ)角的定義．根據(jù)解平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系、平行線的定義、鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析，即可得到答案．【詳解】①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，應(yīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)直線外一點(diǎn)，故錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確；③在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系只有相交，平行兩種，故正確；④不相交的兩條直線叫做平行線，沒(méi)有說(shuō)明是否在同一個(gè)平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；⑤有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角，互為補(bǔ)角需兩角之和為180°故錯(cuò)誤；綜上所述正確的有∶②、③共2個(gè)；錯(cuò)誤的有∶①、④、⑤共3個(gè)故選：C．3．小盟利用幾何圖形畫出螳螂簡(jiǎn)筆畫，如圖，CF，BG交于點(diǎn)A，F(xiàn)G∥DE∥BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若設(shè)∠ADE=x°，∠G=y°，則x和y之間的關(guān)系是(

)A．x+2y=180 B．x?2y=60 C．x?y=80 D．x+y=150【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，若兩直線平行，則同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM=∠G，由角平分線的定義得∠BAD=2∠BAC，由∠GAD=∠GAM+∠MAD，得到含有x和【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM∥∵FG∥∴AM∥∵AM∥∴∠MAD+∠ADE=180°，∵∠ADE=x°，∴∠MAD=180°?∠ADE=180°?x°，∵AM∥FG，∴∠GAM=∠G=y°，∵∠FAG=40°，∴∠BAC=∠FAG=40°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAC=80°，∴∠GAD=180°?∠BAD=180°?80°=100°，∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，∴y+(180?x)=100，即x?y=80．故選：C．4．如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH=2∠EHG；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG?∠EFM=180°．其中正確的結(jié)論是（A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③【答案】A【分析】本題主要考查了根據(jù)平行線的判定以及性質(zhì)，角度的相關(guān)計(jì)算，由已知條件可得出AB∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HQ∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出②，設(shè)∠NEB=x,∠HGC=y，則【詳解】解：∵∠FMA=∠FGC，∴AB∥∴①正確；過(guò)點(diǎn)H作HQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠NEB=∠EHQ，∠QHG=∠HGC，∴∠EHQ+∠QHE=∠NEB+∠HGC，即∠EHG=∠NEB+∠HGC，∵∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC，∴∠EHG=1即∠FEN+∠FGH=2∠EHG，∴②正確．設(shè)∠NEB=x,∠HGC=y，則∠FEN=2x，∠FGH=2y，由②知∠EHG=∠NEB+∠HGC=x+y，作FP∥AB，∴∠PFE=∠FEM,∠PFM=180°?∠FME，∠EFM=∠PFM?∠PFE=180°?∠BMF?∠FEM=∠BEF?∠FME=∠BEF?∠AMG=∠BEF?=x+2x?180°?2y?y∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y?180°=4x+4y?180°，無(wú)法判斷是否為90°，∴③錯(cuò)誤；∴3∠EHG?∠EFM=3x+y∴④正確．綜上所述，正確答案為①②④．故選：A．5．如圖，圖①是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖②，再沿BF折疊成圖③，則圖③中的∠CFE的度數(shù)是．【答案】102°/102度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．由四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，利用平行線的性質(zhì)可得出∠BFE和∠CFE，再結(jié)合∠CFG=∠CFE?∠BFE及∠CFE=∠CFG?∠BFE，即可求出∠CFE．【詳解】解：圖①中∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∠DEF=26°，∴AD∥∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠CFE=180°?26°=154°，∴圖②中∠CFG=∠CFE?∠BFE=180°?26°?26°=128°，∴圖③中∠CFE=∠CFG?∠BFE=128°?26°=102°，故答案為：102°．6．直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)O，且CD⊥EF，OG平分∠BOF．(1)如圖1，①∠AOD的余角有_______．（填寫所有符合情況的角）②若∠AOD:∠COG=2:3，求∠AOD的度數(shù)．(2)如圖2，請(qǐng)直接寫出∠AOD與∠COG的數(shù)量關(guān)系為________．【答案】(1)①∠AOE,∠BOF；②45°(2)∠AOD+2∠COG=90°【分析】本題考查的是角平分線的定義，垂直的性質(zhì)，余角的定義，角的和差，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)余角的定義解答即可；②根據(jù)∠AOD=∠BOC，CD⊥EF，得到∠BOC+∠BOF=90°，根據(jù)∠AOD:∠COG=2:3，推出∠BOC:∠COG=2:3，由OG平分∠BOF，得到∠BOG=∠FOG，設(shè)∠BOC=2x,∠COG=3x，則∠BOG=∠FOG=x，利用∠FOG+∠COG=4x=90°，求出x的值，即可求解；（2）根據(jù)題意得到∠AOD=∠BOC，推出∠BOC+∠AOF=90°，由OG平分∠BOF，得到∠BOG=∠FOG，根據(jù)∠AOF+∠FOG+∠BOG=180°，即90°?∠BOC+【詳解】（1）解：①∵CD⊥EF，∴∠COE=∠COF=∠DOE=∠DOF=90°，∴∠AOD+∠AOE=90°，∵∠AOF=∠BOF，∴∠AOD+∠BOF=90°，∴∠AOD的余角有∠AOE,∠BOF，故答案為：∠AOE,∠BOF；②∵∠AOD=∠BOC，CD⊥EF，∴∠BOC+∠BOF=90°，∵∠AOD:∠COG=2:3，∴∠BOC:∠COG=2:3，∵OG平分∠BOF，∴∠BOG=∠FOG，設(shè)∠BOC=2x,∠COG=3x，則∠BOG=∠FOG=x，∴∠FOG+∠COG=4x=90°，∴x=22.5°，∴∠AOD=∠BOC=2×22.5°=45°；（2）解：∠AOD+2∠COG=90°，理由如下：∵∠AOD=∠BOC，CD⊥EF，∴∠AOD+∠AOF=90°，即∠BOC+∠AOF=90°，∵OG平分∠BOF，∴∠BOG=∠FOG，∵∠AOF+∠FOG+∠BOG=180°，即90°?∠BOC+∴∠BOC+2∠COG=90°，∴∠AOD+2∠COG=90°．7．完成下面推理過(guò)程：如圖，AB∥CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°．求解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）∴∠PNB=∠NDC，（等量代換）∴PN∥CD，（∴∠CPN+∠_________=180°，（

）∵∠CPN=150°，（已知）∴∠PCD=180°?∠CPN=180°?150°=30°∵AB∥∴∠ABC=∠____________，（

）∵∠ABC=50°，（已知）∴∠BCD=__________，（等量代換）∴∠BCP=∠BCD?∠PCD=____________°?30°=_________°．【答案】同位角相等，兩直線平行；PCD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；BCD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；50°；50；20【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，先證明PN∥CD，得到∠CPN+∠PCD=180°，得到∠PCD=30°，由AB∥CD得到【詳解】解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）∴∠PNB=∠NDC，（等量代換）∴PN∥∴∠CPN+∠PCD=180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠CPN=150°，（已知）∴∠PCD=180°?∠CPN=180°?150°=30°∵AB∥∴∠ABC=∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠ABC=50°，（已知）∴∠B