第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=2+i1?2i，則|zA.1 B.5 C.15 D.2.已知一組數(shù)據(jù)12，17，15，x，20的平均數(shù)為16，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為(

)A.17 B.16.5 C.16 D.15.53.若m為直線，α，β為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若m/?/α，n?α，則m/?/n B.若m⊥α，m⊥β，則α⊥β

C.若m/?/α，m⊥β，則α⊥β D.若m?α，α⊥β，則m⊥β4.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則(

)A.兩人都中靶的概率為0.12 B.兩人都不中靶的概率為0.42

C.恰有一人中靶的概率為0.46 D.至少一人中靶的概率為0.745.向量a，b均為非零向量，(a?2b)⊥a，(b?2aA.π3 B.π2 C.5π66.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin2A=asinB，且c=2b，則ab等于(

)A.32 B.43 C.27.由斜二測(cè)畫法得到的一個(gè)水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長(zhǎng)為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點(diǎn)B′到x軸的距離是(

)A.1

B.2

C.2

D.8.在高為22的正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1A.4π B.6π C.8π D.10π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的6個(gè)樣本如圖所示，甲繪制折線圖時(shí)忘記標(biāo)注樣本數(shù)據(jù)，則(

)A.樣本A的極差小于樣本B的極差 B.樣本A的中位數(shù)等于樣本B的中位數(shù)

C.樣本A的平均數(shù)小于樣本B的平均數(shù) D.樣本A的方差小于樣本B的方差10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則(

)A.A與B為互斥事件 B.P(B)=12 C.P(A+B)=35 D.11.下列命題正確的是(

)A.在△ABC中，(BC+BA)?AC=|AC|2，則△ABC的形狀一定是直角三角形

B.若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB=CD，則AB=CD

C.平行四邊形ABCD中，若|AB+AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線l的方向向量為s=(?1,1,1)，平面π的法向量為n=(2,x2+x,?x)，若直線l/?/平面π13.底面邊長(zhǎng)為8的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為5的正三棱錐，所得棱臺(tái)的體積為______．14.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=23，以AB為直徑的圓弧AI在平面PAB內(nèi)，點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)圓弧AI上(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐C?ABD的體積最大值是______，異面直線CD與AB所成角的余弦值范圍是______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知bcosC=(2a?c)cosB．

(1)求B；

(2)若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面積．16.(本小題15分)

某校組織全體學(xué)生參加“數(shù)學(xué)以我為傲”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)組成樣本，并將得分分成以下6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，……，[90,100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的眾數(shù)、中位數(shù)；(中位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后2位)

(2)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表)；

(3)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80,90)和[90,100]兩組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競(jìng)賽的交流會(huì)，求至少有一人在[90,100]的概率．17.(本小題15分)

已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是34，得到黃球或藍(lán)球的概率是12．

(1)求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；

(2)隨機(jī)試驗(yàn)：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．

(i)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω；

(ii)設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，否則乙勝.18.(本小題17分)

正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，C1B1的中點(diǎn)，CG=3GC1．

(1)求證：GF⊥平面19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx+φ)+12,(ω>0,|φ|<π2)的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱.其最小正周期與函數(shù)y=|tan2x|相同．

(1)求f(x)的對(duì)稱中心，

(2)若函數(shù)f(x)在[m,n](m，n∈R，m<n)上恰有8個(gè)零點(diǎn)，求n?m的最小值；

(3)設(shè)函數(shù)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=2+i1?2i，

則|z?|=|z|=|2+i1?2i|=|2+i|2.【答案】B

【解析】解：由數(shù)據(jù)12，17，15，x，20的平均數(shù)為16，得12+17+15+x+20=5×16，解得x=16，

將數(shù)據(jù)由小到大排序可得12，15，16，17，20，因?yàn)?×60%=3，所以第60百分位數(shù)為16+172=16.5．

故選：B．

由給定的平均數(shù)求出x，再由第60百分位數(shù)的定義求解即可．3.【答案】C

【解析】解：若m/?/α，n?α，則m與n可平行或異面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m⊥α，m⊥β，則α/?/β，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m/?/α，m⊥β，則α⊥β，所以C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D，m?α，α⊥β，則m與β可平行或相交或m?β，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．

根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】解：設(shè)甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，

則P(A)=0.6，P(B)=0.7，

則兩人都中靶的概率為P(A)×P(B)=0.7×0.6=0.42，故A錯(cuò)誤；

兩人都不中靶的概率為(1?P(A))×(1?P(B))=0.3×0.4=0.12，故B錯(cuò)誤；

恰有一人中靶的概率為(1?P(A))×P(B)+P(A)(1?P(B))=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46，故C正確；

至少一人中靶的概率為1?0.3×0.4=0.88，故D錯(cuò)誤．

故選：C．

設(shè)出事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算求解．

本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對(duì)立事件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】A

【解析】解：設(shè)向量a、b的夾角為θ，

由(a?2b)⊥a，得(a?2b)?a=0，

即a2?2a?b=0；

由(b?2a)⊥b，得(b?2a)?b=0，

即b2?26.【答案】D

【解析】解：由bsin2A=asinB，得2sinBsinAcosA=sinAsinB，得cosA=12．

又c=2b，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA=b2+4b27.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，

如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′C′//y′′軸，交x′′軸于點(diǎn)C′，

在△O′B′C′中，∠B′O′C′=30°，∠B′C′O′=135°，O′B′=2，

由正弦定理得B′C′sin30°=O′B′sin135°，

于是得B′C′=2，且原圖中BC即為B到x軸的距離，

由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，在原平面圖形中，頂點(diǎn)B到x軸的距離是22．

故選：D8.【答案】D

【解析】解：如圖，正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是上、下底面對(duì)角線交點(diǎn)，即上、下底面中心，MN是正四棱臺(tái)的高，MN=22．

MB1=22×1=22，NB=22×2=2，

由對(duì)稱性外接球球心O在直線MN上，設(shè)球半徑為r，連接OC，OC1，C1M=22，CN=2，

則O在線段MN上9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，樣本A的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差小于樣本B的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差，

所以樣本A的極差小于樣本B的極差，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)橹形粩?shù)是由小到大排在中間兩位數(shù)的平均數(shù)，

由圖可知樣本A的中間兩位數(shù)的平均數(shù)小于B的中間兩位數(shù)的平均數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由圖可知樣本A每個(gè)樣本的數(shù)據(jù)均小于樣本B的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，

所以樣本A的平均數(shù)小于樣本B的平均數(shù)，故C正確；

對(duì)于D，樣本A的離散程度小于樣本B的離散程度，所以樣本A的方差小于樣本B的方差，故D正確．

故選：ACD．

A選項(xiàng)，分析兩組數(shù)據(jù)，結(jié)合極差定義可判斷A；B選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義可判斷B；C選項(xiàng)，分析兩組數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)定義可判斷C；D選項(xiàng)，樣本A的離散程度小于樣本B的離散程度，D正確．

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了極差、平均數(shù)和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)題意，有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，有6×5=30種不同結(jié)果．

A={(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}共15種結(jié)果；

B={(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(1,3)，(2,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(6,5)}共15種結(jié)果．

C={(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(6,2)，(6,4)}共12種結(jié)果．

BC={(3,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)，(1,5)，(3,5)}，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，事件A和事件B能同時(shí)發(fā)生，比如(2,1)，所以A，B不是互斥事件，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由古典概型公式，P(B)=1530=12，B正確；

對(duì)于C，P(A)=P(B)=12，P(AB)=930，所以P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)=710，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，P(B)=12,P(C)=1230=25，P(BC)=630=15．11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，由(BC+BA)?AC=|AC|2，

可得(BC+BA)?(BC?BA)=|AC|2，

所以BC2?BA2=|AC|2，

所以|BC|2?|BA|2=|AC|2，

所以∠BAC=90°，

所以△ABC是直角三角形，

故A正確；

對(duì)于B，若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB=CD，

則AB=CD或AB=?CD，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由|AB+AD|=|AD?AB|12.【答案】±【解析】解：若直線l/?/平面π，則s?n=0，

∴?2+x2+x?x=0，

化x2=2．

解得x=±13.【答案】140【解析】解：由題意知截去的正三棱錐與原正三棱錐相似，它們的底面邊長(zhǎng)的比為1：2，

則截去的正三棱錐與原正三棱錐的體積之比為1：8，剩余的棱臺(tái)的體積為原三棱錐體積的78．

而截去的正三棱錐的高為5，所以原正三棱錐的高為10，

所以原正三棱錐的體積為13×34×82×10=160314.【答案】23

(【解析】解：因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PA⊥AB，

又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，

又因?yàn)镻A=23，AB=2，所以tan∠PBA=PAAB=3，

所以∠PBA=π3，

所以圓弧AI所對(duì)的圓心角為2π3，又點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)圓弧AI上，

所以點(diǎn)D到ABC的距離的最大值為圓的半徑1，

所以三棱錐C?ABD的體積最大值是13×12×2×2×1=23；

如圖，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作Ax⊥AB，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ax，AB，AP為坐標(biāo)軸建立如圖的示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(0,y,z)，

因?yàn)锳B=(0,2,0),CD=(?2,y?2,z)，AD=(0,y,z),BD=(0,y?2,z)，

因?yàn)锳D⊥BD，

所以AD?BD=y(y?2)+z2=0，

所以y2?2y+z2=0，0<y<32，

設(shè)異面直線CD與AB所成的角為θ，

所以cosθ=|cos<AB,CD>|=|AB?CD||AB15.【答案】解：(1)由正弦定理，得sinBcosC=2sinAcosB?cosBsinC，1分

即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，

∴sin(B+C)=2sinAcosB，3分

又因?yàn)锳+B+C=π，

∴sinA=2sinAcosB，又sinA≠0，

∴cosB=12，B∈(0,π)，5分

∴B=π3；6分

(2)∵sinC=2sinA，∴c=2a，7分

∴由余弦定理，得b2=a2+c2?2accosB=【解析】(1)由正弦定理，得sinBcosC=2sinAcosB?cosBsinC，整理sin(B+C)=sinA=2sinAcosB?cosB=12，B∈(0,π)，可求得B；

(2)16.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，第4組頻率最大，估計(jì)眾數(shù)為：75；

在[40,70)內(nèi)頻率之和為10×(0.010+0.015+0.020)=0.45，

設(shè)中位數(shù)為m，由圖可知中位數(shù)在[70,80)，

由(m?70)×0.03=0.05，得中位數(shù)m≈71.67．

(2)由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)：

x?=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5．

(3)在[80,90)和[90,100]兩組中的人數(shù)分別為：

100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，

所以在[80,90)分組中抽取的人數(shù)為5×1510+15=3人，記為a，b，c，

在[90,100]分組中抽取的人數(shù)為2人，記為1，2，

所以這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有：

Ω={(ab),(ac),(bc),(a1),(a2),(b1),(b2),(c1),(c2),(12)}，

共10種取法，至少有一人得分在[90,100]的情況有7種，【解析】(1)利用眾數(shù)與中位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖即可得到這100名學(xué)生得分的眾數(shù)、中位數(shù)估計(jì)值；

(2)利用平均數(shù)定義結(jié)合頻率分布直方圖即可得到這100名學(xué)生得分的平均數(shù)估計(jì)值．

(3)利用古典概型概率求法即可求得從這5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競(jìng)賽的交流會(huì)且至少有一人在[90,100]的概率．

本題考查了頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录嗀，B，C，

因?yàn)锳，B，C為兩兩互斥事件，

由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，

解得P(A)=12P(B)=14P(C)=14，

∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是2，1，1；

(2)(i)由(1)知紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，

則樣本空間Ω={(1,1)，(1,2)，(1,a)，(1,b)，(2,1)，(2,2)，(2,a)，(2,b)，(a,1)，(a,2)，(a,a)，(a,b)，(b,1)，(b,2)，(b,a)，(b,b)}；

(ii)由(i)得n(Ω)=16，記“取到兩個(gè)球顏色相同”為事件M，“取到兩個(gè)球顏色不相同”為事件N，

則n(M)=6【解析】(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球?yàn)槭录嗀，B，C，根據(jù)A，B，C為兩兩互斥事件，由P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12求解．

(2)(i)根據(jù)紅球、黃球、藍(lán)球個(gè)數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍(lán)球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，列舉出來(lái)；18.【答案】證明見解析；

323；

45【解析】(1)證明：在正方形BCC1B1中，

由條件易知tan∠C1FG=C1GC1F=12=FB1BB1=tan∠B1BF，

所以∠C1FG=∠B1BF，

則∠B1FB+∠B1BF=π2=∠C1FG+∠B1FB，

故