第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣西南寧市部分學校高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={2,3,4,6}，B={x|x2?10>0}，則A∩B=A.{4,6} B.{3,4,6} C.{3,6} D.{2,3}2.某學校高一年級有男生480人，女生660人，現按性別采用分層隨機抽樣的方法從中選出19人，則男生比女生少選(

)A.1人 B.2人 C.3人 D.4人3.已知復數z與4?i2+i在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則z=(

)A.?75+65i B.?4.已知函數f(x)對任意x，y∈R都滿足f(x+y)=f(x)+f(y)?6，且f(1)=8，則f(3)=(

)A.8 B.10 C.12 D.145.已知l，m是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列結論正確的是(

)A.若l//m，l//α，則m//α

B.若α//β，l?α，m?β，則l//m

C.若l⊥m，l⊥α，則m//α

D.若l⊥α，m⊥β，α⊥β，則l⊥m6.已知a>0且a≠1，函數f(x)=x2?(2a+1)x+2a,x<1logaA.[12,1) B.[23,1)7.已知α，β均為銳角，且sin(α?β)=510，cos(α+β)=A.35 B.53 C.138.在平行四邊形ABCD中，點G為△BCD的重心，則AG=(

)A.56AB+56AD B.?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>b>c>0，則下列結論正確的是(

)A.ac>bc

B.1a+3b>1b+3a

C.若a≠110.已知函數f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π)的圖象的一條對稱軸為直線x=?π4A.φ=3π4 B.f(x)的圖象關于點(π4,0)對稱

C.f(x)在(π12,π11.若圖G的關聯結點(加黑的粗點)構成的點集記為V，V可劃分為兩個子集V1和V2，V1∩V2=?，V1∪V2=V，且圖中的每一條邊的一個關聯結點在VA.這兩個圖都是二部圖的概率為15

B.這兩個圖至少有一個是二部圖的概率為1415

C.這兩個圖不都是二部圖的概率為35

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.|3?6i|=______．13.已知某圓錐的軸截面為正三角形，且該圓錐的體積為93π14.已知四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，且AB=AD=2，BC，CD的長是方程x2?26x+4=0的兩根，記四邊形ABCD的面積為S1，圓O的面積為S四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

不透明的袋子中裝有4個紅球，m個綠球，這些球除顏色外其他完全相同，每次從袋子中有放回地隨機取出1個球，且每次綠球被取出的概率為13．

(1)求袋子中綠球的個數；

(2)若進行2次取球，求這2次取出的球的顏色不同的概率．16.(本小題15分)

已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f(x)=?x3+3x+2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：函數g(x)=f(x)x17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A為銳角，且3a=23c,cosC=74．

(1)求A；

(2)若b=1，求△ABC的面積；

18.(本小題17分)

為了解學生的身體素質，學校隨機地抽取了m名學生作為樣本，將他們每周的運動時長(單位：小時)分成[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20)，[20,24]六組.根據他們的運動時長繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，在樣本中，運動時長在[0,4)內的樣本學生比在[12,16)內的學生少10人．

(1)求a，m的值；

(2)求樣本學生運動時長的中位數；

(3)若在[4,8)，[8,12)，[12,16)內的樣本學生運動時長的平均數分別為6，10，14，方差分別為59,89,19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，△PAD為等邊三角形，PB=26，E，F分別是棱AB，AD的中點．

(1)求四棱錐P?ABCD的體積．

(2)在棱PC上是否存在點G，使得平面PEF//平面BDG？若點G存在，求出PGPC的值；若不存在，請說明理由．

(3)若H是棱PC的中點，求二面角

答案解析1.【答案】A

【解析】解：因為A={2,3,4,6}，B={x|x2?10>0}，

又22<10，32<10，42>10，62>10，

所以A∩B={4,6}2.【答案】C

【解析】解：由分層隨機抽樣的定義可知，選出的男生有480480+660×19=8人，

選出的女生有660480+660×19=11人，

所以男生比女生少選3人．

故選：C．3.【答案】B

【解析】解：4?i2+i=(4?i)(2?i)(2+i)(2?i)=8?6i+i25=75?65i，

∵z4.【答案】C

【解析】解：f(x+y)=f(x)+f(y)?6，

令x=y=1，則f(2)=f(1)+f(1)?6=10，

令x=2，y=1，則f(3)=f(2)+f(1)?6=12．

故選：C．

令x=y=1可求出f(2)，令x=2、y=1可求出f(3)．

本題主要考查函數的值，屬于基礎題．5.【答案】D

【解析】解：已知l，m是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，

若l/?/m，l/?/α，則m/?/α或m?α，

A不正確．

若α/?/β，l?α，m?β，則l/?/m或l與m異面，

B不正確．

若l⊥m，l⊥α，則m/?/α或m?α，

C不正確．

若l⊥α，m⊥β，α⊥β，則l⊥m，

D正確．

故選：D．

根據線面位置關系，線線位置關系判斷各個選項．

本題考查了線面位置關系，線線位置關系，屬基礎題．6.【答案】B

【解析】解：因為f(x)=x2?(2a+1)x+2a,x<1loga(3ax?1),x≥1是減函數，

所以2a+12≥10<a<1loga(3a?1)≤0，解得23≤a<1，

又對數真數恒大于0，

則3a?1>0，即7.【答案】A

【解析】解：由題意得0<α+β<π，

結合cos(α+β)=55，可得sin(α+β)=1?cos2(α+β)=255，

即sinαcosβ+cosαsinβ=255…①，

結合sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ=510…②，

由①②組成方程組，解得sinαcosβ=8.【答案】C

【解析】解：如圖所示，

取CD的中點E，連接BE，則點G為CD

的三等分點，

所以BG=23BE=?13AB+23AD，

則AG=AB9.【答案】AB

【解析】解：因為a>b>c>0，所以ac>bc，故A正確；

1a+3b?1b?3a=2b?2a=2(a?b)ab>0，故B正確；

取a=12，b=14，C顯然錯誤；

因為a+b=1，所以1a+2b=(a+b)(10.【答案】ABD

【解析】解：因為f(x)的圖象關于直線x=?π4對稱，

所以3×(?π4)+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ+3π4(k∈Z)，結合0<φ<π，可得φ=3π4，A正確．

根據f(π4)=cos(3×π4+3π4)=cos3π2=0，可知f(x)的圖象關于點(π4,0)對稱，B正確．

若x∈(π12,π3)，則3x+3π4∈(π,7π4)，

結合余弦函數的單調性，可知f(x)在(π12,π3)上單調遞增，11.【答案】BC

【解析】解：對于圖(1)，圖中出現了△ABC，則該三角形必然有一條邊的兩個頂點分在一個子集內，

這顯然不符合二部圖的定義，圖(4)也是如此，所以圖(1)與圖(4)不是二部圖．

除了這兩個圖，其他四個圖都是二部圖，

例如，對于圖(3)，當V1={E,H,K,J}，V2={F,G,I,L}時，圖中的每一條邊的一個關聯結點在V1中，另一個關聯結點必在V2中；

對于圖(5)，當V1={W,X}，V2={T,U,V}時，圖中的每一條邊的一個關聯結點在V1中，

另一個關聯結點必在V2中．

從這六個圖中任選兩個，所有的選擇為

{(1),(2)}，{(1),(3)}，{(1),(4)}，{(1),(5)}，{(1),(6)}，

{(2),(3)}，{(2),(4)}，{(2),(5)}，{(2),(6)}，{(3),(4)}，

{(3),(5)}，{(3),(6)}，{(4),(5)}，{(4),(6)}，{(5),(6)}，共15種．

這兩個圖都是二部圖的選擇共有6種，這兩個圖至少有一個是二部圖的選擇共有14種，

這兩個圖不都是二部圖的選擇共有9種，這兩個圖恰有一個是二部圖的選擇共有8種，

故這兩個圖都是二部圖的概率為615=25，故A錯誤；

這兩個圖至少有一個是二部圖的概率為1415，故B正確；

這兩個圖不都是二部圖的概率為915=312.【答案】3【解析】解：|3?6i|=32+(?6)2=9+3613.【答案】48π

【解析】解：設該圓錐的底面半徑為r，

因為該圓錐的軸截面為正三角形，所以該圓錐的高為3r，

因為該圓錐的體積為93π，

所以33πr3=93π，

解得r=3．

畫出圓錐及其外接球的軸截面如圖所示，

設該球體的半徑為R，

則R2=(33?R)2+14.【答案】3【解析】解：因為四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，且AB=AD=2，BC，CD的長是方程x2?26x+4=0的兩根，

可得x1=6+2，x2=6?2，

不妨令BC=6+2，CD=6?2，

可得∠BAD+∠BCD=π，

則在△ABD與△BCD中，可得BD2=AB2+AD2?2AB?ADcos∠BAD=BC2+CD2?2BC?CDcos∠BCD，

整理得8?8cos∠BAD=16?8cos∠BCD=16+8cos∠BAD，

則cos∠BAD=?12，

則∠BAD=15.【答案】2；

49．【解析】(1)根據題意，袋子中裝有4個紅球，m個綠球，則綠球被取出的概率為m4+m．

則有m4+m=13，解得m=2，

故袋子中綠球的個數為2．

(2)由題可知，每次綠球被取出的概率為13，則每次紅球被取出的概率為23，

且2次取出的球的顏色相互獨立．

第一次取出紅球，第二次取出綠球的概率為23×13=29；

第一次取出綠球，第二次取出紅球的概率為1316.【答案】f(x)=?x3+3x+2,x≤0x【解析】(1)當x>0時，?x<0，

所以f(?x)=?(?x)3+3(?x)+2=x3?3x+2．

因為f(x)是偶函數，

所以當x>0時，f(x)=f(?x)=x3?3x+2．

所以f(x)=x3?3x+2,x>0?x3+3x+2,x≤0；

(2)證明：由(1)可得，g(x)=f(x)x=x2+2x?3(x>1)，

任取x1，x2∈(1,+∞)，令x1<x2，

則g(x1)?g(x2)=x17.【答案】A=π3；

3(7?【解析】(1)因為cosC=74，且C∈(0,π)，所以sinC=34．

又因為3a=23c，

所以由正弦定理得：sinA=233sinC=233×34=32．

因為A為銳角，所以A=π3；

(2)由(1)知，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=21+38．

由正弦定理bsinB=csinC，得c=bsinCsinB=621+3，

18.【答案】a=0.0375，m=200．

11.2小時．

12112．【解析】(1)由題意，(0.025×2+a+0.05×2+0.0625)×4=1，解得a=0.0375；

因為運動時長在[0,4)內的樣本學生比在[12,16)內的學生少10人，

所以0.0375×4m?0.025×4m=10，解得m=200．

(2)因為(0.025+0.05)×4=0.，3<0.5，(0.025+0.05+0.0625)×4=0.55>0.5，

所以中位數在[8,12)組內，設為x，

所以0.，3+(x?8)×0.0625=0.5，解得x=11.2，

所以樣本學生運動時長的中位數為11.2小時．

(3)由頻率分布直方圖可得，在[4,8)，[8,12)，[12,16)的頻率分別為0.2，0.25，0.15，

所以在[4,16)內的樣本學生運動時長的平均數為：

x?=0.20.2+0.25+0.15×6+0.250.2+0.25+0.15×10+0.150.2+0.25+0.15×14=293，

所以在[4,16)內的樣本學生運動時長的方差為：

s2=0.20.2+0.25+0.15×[59+(6?293)2]+19.【答案】16；

存在，PGPC=13；【解析】解：(1)連接BF，

因為四邊形ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，

所以△ABD是邊長為4的等邊三角形，

又F是AD的中點，所以BF⊥AD，且BF=23，

同理，PF⊥AD，且PF=23，

又PB=26，所以PF2+BF2=PB2，即PF⊥BF，

又AD，BF?平面ABC