2024年秋學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（每題3分，計(jì)24分）1．下列方程，屬于一元二次方程的是（）A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣33．若m、n是關(guān)于x的方程2x2﹣4x+1＝0的兩個(gè)根，則的值為（）A．4 B．﹣4 C． D．4．電影《志愿軍》不僅講述了中國(guó)人民志愿軍抗美援朝的故事，更是通過(guò)鮮活生動(dòng)的人物塑造，讓觀眾體會(huì)到歷史事件背后的人性和情感，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧．某地第一天票房約3億元，若以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后票房收入累計(jì)達(dá)18億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（）5．下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對(duì)的弦相等 D．三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，則∠AED的度數(shù)為（）A．110° B．115° C．120° D．105°7．如圖，圓O的半徑是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．68．如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則AB的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．28二、填空題（每題3分，計(jì)30分）9．寫(xiě)一個(gè)一元二次方程，使它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：（寫(xiě)出一個(gè)即可）．10．關(guān)于x的方程x2+kx+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為．11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個(gè)根，則4m2﹣6m+2022的值為．12．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝8，EB＝2，則⊙O的半徑為．13．任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子各個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，則朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率是．14．為迎接全市的禁毒知識(shí)競(jìng)賽，某校進(jìn)行了相關(guān)知識(shí)測(cè)試，經(jīng)過(guò)層層預(yù)賽，小洋和小亮進(jìn)入了最后的決賽，如圖，是他們6次的測(cè)試成績(jī)，若要從中選一名測(cè)試成績(jī)穩(wěn)定的同學(xué)去參加競(jìng)賽，則應(yīng)選.（填“小洋”或“小亮”）．第12題第14題15．如圖，在正六邊形中，，，垂足為點(diǎn)I．若，則．16．如圖，，，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫(huà)分別交、于、，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．17．如圖有一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有個(gè)點(diǎn)，第二行有個(gè)點(diǎn)，，第行有個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和當(dāng)三角點(diǎn)陣中點(diǎn)數(shù)之和是時(shí)，則三角點(diǎn)陣點(diǎn)的行數(shù)為．18．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則四邊形面積的最小值為．第15題第16題第17題第18題三、解答題（共9題，計(jì)96分）19．解方程：（1）36x2﹣1＝0；（2）x2+10x+21＝0；20．初一某班16名男生在體檢時(shí)測(cè)量了身高．以為基準(zhǔn)，記錄男生們的身高，超過(guò)記為正，不足記為負(fù)．前15名男生的相對(duì)身高（單位：）記錄如表，第16名男生身高為．序號(hào)12345678相對(duì)身高0序號(hào)910111213141516相對(duì)身高m(1)表格中m＝；(2)該班最高的男生與最矮的男生身高相差；(3)計(jì)算該班男生的平均身高．21．如圖，用長(zhǎng)為米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃．為了方便出人，建造時(shí)，在上用其它材料做了寬為2米的兩扇小門(mén)，在上用其它材料做了寬為1米的一扇小門(mén)．（1）設(shè)花圃的一邊長(zhǎng)為米，請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示另一邊的長(zhǎng)為_(kāi)__________米；（2）若此時(shí)花圃的面積剛好為，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)與寬．22．如圖，在四邊形中，相交于點(diǎn)E，且，經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)的交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若，求證：是的切線．23．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的兩實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）已知等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求m的值和△ABC的周長(zhǎng)．24．定義：一元二次方程，若根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)（式），則此方程叫“完美方程”．(1)判斷下列方程一定是“完美方程”的是；（直接填序號(hào)）①；②；③；(2)若關(guān)于的一元二次方程①證明：此方程一定是“完美方程”；②設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得始終在函數(shù)的圖像上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．某電商銷(xiāo)售一款秋季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷(xiāo)售20件．為了慶祝二十大的勝利召開(kāi)，未來(lái)30天，這款時(shí)裝將開(kāi)展“喜迎二十大，每天降1元”的促銷(xiāo)活動(dòng)，即從第1天起每天的單價(jià)均比前一天降1元．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝單價(jià)每降1元，每天銷(xiāo)量增加4件．(1)這30天內(nèi)該電商第幾天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(2)為了回饋社會(huì)，在這30天內(nèi)，該電商決定每銷(xiāo)售一件時(shí)裝，向希望工程捐a元（）．要使每天捐款后的利潤(rùn)隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，求a的取值范圍．26.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．（2）記的度數(shù)為α，∠C的度數(shù)為β．探究α與β的數(shù)量關(guān)系．27．如圖①，在四邊形中，過(guò)三點(diǎn)的的圓心位置和半徑，隨著m的變化而變化．解決下列問(wèn)題：

【特殊情形】（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，圓心O在上，求的半徑．【一般情形】（2）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的半徑；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，隨著m的增大，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是；（填寫(xiě)序號(hào)）①射線；②?。虎垭p曲線的一部分；④不規(guī)則的曲線【深入研究】（3）如圖③，連接，以O(shè)為圓心，作出與邊相切的圓，記為?。?dāng)小與相交且與相離時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．參考答案1-4BAAD5-8DACD9.x2+2x+1＝0（答案不唯一）10.±211.202312.513.?14.小亮15.50°16.17.2418.14219.解：（1）36x2﹣1＝0，36x2＝1，，解得，；（2）x2+10x+21＝0，x2+10x＝﹣21，x2+10x+25＝﹣21+25，即（x+5）2＝4，x+5＝±2，解得x1＝﹣3，x2＝﹣7；20.（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：，即該班最高的男生與最矮的男生身高相差，故答案為：25；（3）解：答：該班男生的平均身高為．21.1）（2）長(zhǎng)為9米，寬為6米22.（1）證明：，，，，又，，，即：，；（2）證明：連接并延長(zhǎng)交于G點(diǎn)，再連接，為O直徑，，，，，，，，，，，，，是的切線．23.解：（1）根據(jù)題意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0，解得；（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為7時(shí)，則x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的一個(gè)解，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，整理得m2﹣14m+45＝0，解得m1＝9，m2＝5，當(dāng)m＝9時(shí)，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得x2＝13，則三角形周長(zhǎng)為13+7+7＝27；當(dāng)m＝5時(shí)，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得x2＝5，則三角形周長(zhǎng)為5+7+7＝19；當(dāng)7為等腰三角形的底邊時(shí)，則x1＝x2，所以，方程化為4x2﹣44x+121＝0，解得，三邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，綜上所述，m的值是9或5或，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為27或19或18．24.（1）解：①，，不是完全平方數(shù)，不是“完美方程”；②，，不是完全平方式，不是“完美方程”；③，，是完全平方式，是“完美方程”；故答案為：③；（2）解：①證明：，且是完全平方數(shù)，此方程一定是“完美方程”；②存在，理由如下：，，或，或，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，，，始終在函數(shù)的圖像上，，，即存在實(shí)數(shù)，使得Px1,x2始終在函數(shù)的圖像上，25.解：（1）設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，銷(xiāo)售時(shí)間為x天，由題意可知，∵∴函數(shù)有最大值，∴當(dāng)時(shí)，w取最大值為元，∴第30天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5600元；（2）設(shè)未來(lái)30天每天獲得的利潤(rùn)為y，時(shí)間為t天，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤(rùn)隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，∴解得，又∵即a的取值范圍是：．26.（1）證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，即點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（2）解：β﹣α＝45°；如圖，連接OE，∵的度數(shù)為α，∴∠AOE＝α，∵OA＝OE，∴∠OAE＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠OAE＝45°﹣α，∵∠CAD+∠C＝90°，∴45°﹣α+β＝90°即β﹣α＝45°．27.（1）解：連接，在中，設(shè)，則．在中，，∴