第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省福州市福清市高二（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某天小丁要從福州出發(fā)去廈門，已知當天的飛機有5班，動車有12趟，高鐵有10個車次，則小丁當天出行的方案共有(

)A.12種 B.27種 C.120種 D.600種2.計算A82+2CA.48 B.76 C.148 D.1763.設函數f(x)=ax+lnx，若f′(1)=2，則a=(

)A.0 B.1 C.2 D.34.設隨機變量X～N(2,σ2)，P(?1<X<5)=0.6，則P(X>5)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.65.已知二項式(3x?1)n的展開式中僅有第5項的二項式系數最大，則n為(

)A.15 B.10 C.9 D.86.從5，6，7，8，9中任取兩個不同的數，事件A=“取到的兩個數之和為偶數”，事件B=“取到的兩個數均為偶數”，則P(B|A)=(

)A.25 B.12 C.147.設函數f(x)=sinx?12x，x∈[0,π]，則f(x)的最小值和最大值分別為A.?π2，0 B.?π2，3?3π6 C.8.已知X，Y兩個盒子中分別裝有形狀、大小、質量均相同的小球.其中X盒中有3個紅球，1個白球；Y盒中有1個紅球，3個白球，現從兩個盒子中同時各取走一個小球，一共取三次，此時記X盒中的紅球個數為ξ，Y盒中的紅球個數為η，則(

)A.E(ξ)>E(η)，D(ξ)=D(η) B.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η)

C.E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η) D.E(ξ)<E(η)，D(ξ)=D(η)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.從標號為0，1，2，3，4，5的六個藍球和標號為6，7，8，9的四個紅球中隨機選出4個，則下列說法正確的有(

)A.若選出的4個球全部為藍球，則不同的選法有15種

B.若選出的4個球中藍球紅球各有2個，則有120種不同的選法

C.若藍球的0號和紅球的6號必須在選出的4個球內，則有56種不同的選法

D.若藍球的0號和紅球的6號至少有1個在選出的4個球內，則有140種不同的選法10.設函數f(x)=x(x?1)2，則(

)A.x=1是f(x)的極小值點

B.f(x)的對稱中心是(0,0)

C.當x>1時，f(x2)>f(x)

D.當11.乒乓球，被稱為中國的“國球”.某次比賽采用三局兩勝制，當參賽選手甲、乙兩位中有一位贏得兩局比賽時，就由該選手晉級而比賽結束，每局比賽都要分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結果影響.假設甲在任一局贏球的概率為p(0≤p≤1)，有選手晉級所需要的比賽局數的期望值記為f(p)，則下列說法中不正確的是(

)A.打滿三局結束比賽的概率為p2(1?p)+p(1?p)2

B.f(p)的常數項為4

C.函數f(p)在(0,三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.春節(jié)期間，甲、乙、丙三人去看電影，每人可在《哪吒之魔童鬧?！贰ⅰ短铺?900》、《熊出沒?重啟未來》及《蛟龍行動》四部電影中任選一部，則不同的選法有______種.13.某水果店的蘋果，60%來自A基地，40%來自B基地，A基地蘋果的新鮮率為90%，B基地蘋果的新鮮率為85%，從該水果店隨機選取一個蘋果，則選到新鮮蘋果的概率是______．14.已知函數f(x)=mex?x?1有兩個零點，則m四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x16.(本小題15分)

某運動會需要招募一批志愿者，測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格.若甲能答對其中的5道題，求：

(1)甲測試合格的概率；

(2)甲答對的試題數X的分布列．17.(本小題15分)

中國國際大數據產業(yè)博覽會(簡稱“數博會”)從2015年在貴陽開辦，至今已過9年.某校機器人社團為了解貴陽市市民對歷年“數博會”科技成果的關注情況，在貴陽市隨機抽取了1000名市民進行問卷調查，問卷調查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2)，且P(77≤ξ≤80)=0.3．

(1)估計抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數；

(2)若本次問卷調查得分超過80分，則認為該市民對“數博會”的關注度較高，現從貴陽市隨機抽取3名市民，記對“數博會”關注度較高的市民人數為隨機變量X，求X18.(本小題17分)

已知函數f(x)=ex?a(x+a2).

(1)當a=0時，求曲線y=f(x)過原點的切線方程；

(2)討論f(x)的單調性；

(3)若f(x)有極小值，且極小值小于19.(本小題17分)

現有A、B兩個不透明的袋子，A袋中裝有2個紅球、2個白球，B袋中裝有1個紅球、2個白球.玩家甲和玩家乙分別參與摸球游戲，每人各參與一次且互不影響，得分高者獲勝.游戲規(guī)則是：玩家先從袋子A中隨機摸出2個球．

情況1：摸出的2個球顏色相同，則將這2個球放入袋子B中，然后從袋子B中隨機摸出2個球：若摸出2個球同色，則玩家獲得8分；若摸出2個球不同色，則玩家獲得4分；

情況2：摸出的2個球顏色不同，則將這2個球放回袋子A中，然后從袋子A中再隨機摸出2個球；若摸出2個球同色，則玩家獲得6分；若摸出2個球不同色，則玩家獲得4分．

(1)求玩家甲在游戲中得8分的概率；

(2)求玩家乙在游戲中獲勝的概率；

(3)設玩家甲和玩家乙在游戲中得分的總和為X，求X的分布列．

參考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AD

10.AC

11.ABD

12.64

13.0.88

14.(0,1)

15.(1)法一：由通項公式，得Tr+1=C5r(2x)r=C5r2rxr，

令r=4得，T5=5×16x4=80x4，則a4=80．

法二：由二項式定理，得(1+2x)5=C50+C51(2x)+C52(2x)2+C53(2x)3+C54(2x)4+C55(2x)5

=1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5，則a4=80．

(2)法一：因為(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3X0123P155117.解：(1)因為隨機變量ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2)，且P(77≤ξ≤80)=0.3，

所以P(ξ>80)=0.5?P(77≤ξ≤80)=0.2，所以1000×0.2=200，

所以估計抽取市民中問卷成績在8(0分)以上的市民人數為200人．

(2)由題意，貴陽市市民對“數博會”關注度較高的概率為0.2，且X～B(3,0.2)，

所以隨機變量X的分布列為P(X=k)=C3kX0123P0.5120.3840.0960.008所以隨機變量X的均值為E(X)=3×0.2=0.6．

18.(1)當a=0時，函數f(x)=ex，那么導函數f′(x)=ex，

因為f(0)=1，因此原點(0,0)不在曲線y=f(x)上，

設過原點的直線與y=f(x)相切于點P(x0,ex0)．

那么切線斜率k=ex0=ex0?0x0?0，即(x0?1)ex0=0，

解得x0=1，切點坐標為(1,e)，

因此切線斜率k=e，因此所求切線為y=ex．

(2)f(x)的定義域為R，導函數f′(x)=ex?a，

①當a≤0時，導函數f′(x)>0，可得f(x)在R上單調遞增；

②當a>0時，令導函數f′(x)=0，解得x=lna，

當x>lna時，f′(x)>0；當x<lna時，f′(x)<0，

因此f(x)在(lna,+∞)單調遞增，在(?∞,lna)單調遞減，

綜上所述，當a≤0時，函數f(x)在R上單調遞增；

當a>0，函數f(x)在(lna,+∞)內單調遞增，在(?∞,lna)內單調遞減．

(3)根據第二問得，當a>0時，函數f(x)有極小值，

且f(x)的極小值19.(1)根據題意，設事件A=“玩家甲在游戲中得8分”，

事件A包括以下兩種情況：

甲從袋子A中隨機摸出2個紅球，再將這2個球放入袋子B中后從袋子B中隨機摸出2個球同色；

甲從袋子A中隨機摸出2個白球，再將這2個球放入袋子B中后從袋子B中隨機摸出2個白球．

則P(A)=C22C42×C22+C32C