第9節(jié)直線與圓錐曲線課標要求1.理解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.掌握直線與圓錐曲線相交的綜合問題.【知識梳理】1.直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與圓錐曲線的位置關系有________、________、________；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點.(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C________；Δ＝0時，直線l與曲線C________；Δ＜0時，直線l與曲線C________.②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的________平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的________平行或重合.2.圓錐曲線的弦長公式設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝_______________________________________________＝__________________或|AB|＝________________________________＝________________________，k為直線斜率且k≠0.3.中點弦問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解.(1)利用根與系數(shù)的關系：將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論.(2)點差法：若直線l與橢圓C有兩個交點A，B，一般地，首先設出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x0，y0)，直線AB的斜率k，將點A，B代入圓錐曲線的方程，兩式相減，整理得(分別以eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，y2＝2px為例)，橢圓中k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；雙曲線中k＝______________；拋物線中k＝____________.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)直線與圓錐曲線的三種位置關系：相離、相切、相交.()(2)直線y＝x與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交.()(3)“直線l與雙曲線C相切”的充要條件是“直線l與雙曲線C只有一個公共點”.()(4)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.()2.(北師大選修一P83T1原題)方程y(y－x)＝2所表示的曲線()A.關于y軸對稱B.關于直線x＋y＝0對稱C.關于原點對稱D.關于直線x－y＝0對稱3.(蘇教選修一P124T10改編)直線y＝kx＋2與橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有且只有一個交點，則k的值是()A.eq\f(\r(6),3) B.－eq\f(\r(6),3)C.±eq\f(\r(6),3) D.±eq\f(\r(3),3)4.(人教A選修一P114T2改編)經(jīng)過橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的長為________.考點一直線與圓錐曲線的位置關系例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點.思維建模1.在判斷直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形.2.雙曲線中與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個公共點；拋物線中與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個公共點.訓練1(1)(2025·南京調研)已知拋物線C：y2＝4x，經(jīng)過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為()A.(0，1) B.(1，－3)C.(3，4) D.(2，－2)(2)(2024·北京卷)若直線y＝k(x－3)與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1只有一個公共點，則k的一個取值為________.考點二弦的有關問題角度1焦點弦例2(2025·開封質檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0.(1)求C的離心率；(2)射線AF1與C交于點B，且|AB|＝eq\f(8,3)，求△ABF2的周長.角度2中點弦例3(1)(2023·全國乙卷)設A，B為雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是()A.(1，1) B.(－1，2)C.(1，3) D.(－1，－4)(2)已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________________.角度3一般弦例4(2025·杭州調研)已知頂點在原點，關于y軸對稱的拋物線與直線x－2y＝1交于P，Q兩點，若|PQ|＝eq\r(15)，則拋物線的方程為()A.x2＝－4yB.x2＝12yC.x2＝－4y或x2＝12yD.以上都不是思維建模1.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關系表示中點；(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關系.若已知弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當直線的斜率存在時，可利用弦長公式求解.訓練2(1)已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點F，且與橢圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為________.(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為________.考點三直線與圓錐曲線的綜合例5(2025·昆明質檢)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點P(5，eq\r(23))在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)記O為坐標原點，過點Q(0，2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，若△OAB的面積為2eq\r(2)，求直線l的方程.思維建模1.解答直線與圓錐曲線相交的題目時，常用到“設而不求”的方法，即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件，建立有關參變量的等量關系求解.2.涉及直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.訓練3已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.