2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（新高考題型專項(xiàng)突破）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：這題啊，得先想想正弦函數(shù)和余弦函數(shù)周期啥的，它們倆最小正周期都是2π，那倆加一塊兒，周期肯定還是2π，對(duì)吧？所以選B。2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B={1,2}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1B.-1C.1或-1D.0解析：你看啊，集合A解出來是1和2，A∪B又是1和2，說明B里頭要么有1要么有2，要么都有。要是a=1，B就是{1}，跟A并起來就是{1,2}，對(duì)不對(duì)？要是a=-1，B就是{-1}，那A∪B就變成{1,2,-1}了，跟題意對(duì)不上啊。所以a只能是1，選A。3.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|^2的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：復(fù)數(shù)模長(zhǎng)這題，得知道|z|=√(a^2+b^2)，這兒z=1+i，a=1，b=1，所以|z|=√2，那|z|^2就是2，選B。4.某校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，為了解他們的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10名學(xué)生視力不良。根據(jù)抽樣結(jié)果，估計(jì)該校高三年級(jí)視力不良的學(xué)生大約有（）A.100人B.1000人C.100人D.1000人解析：這題啊，就是簡(jiǎn)單點(diǎn)抽樣估計(jì)，樣本里10%視力不良，那1000名學(xué)生里估計(jì)就是100人，選A。5.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.3B.2C.1D.0解析：絕對(duì)值函數(shù)這題，得找分段點(diǎn)，這兒是x=1和x=-2，分三段討論。x<-2時(shí)，g(x)=-2x-1；-2≤x≤1時(shí)，g(x)=3；x>1時(shí)，g(x)=2x+1。最小值顯然是3，選A。6.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，則sinC的值為（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1解析：這題用余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2，得到cosC=1/2，所以sinC=√3/2，選C。7.已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_1=2，a_3=8，則a_5的值為（）A.14B.16C.18D.20解析：等差數(shù)列這題，先求出公差d=(a_3-a_1)/2=3，那a_5=a_3+2d=14，選A。8.為了得到函數(shù)y=sin(2x+π/3)的圖象，只需把函數(shù)y=sin(2x)的圖象（）A.向左平移π/3個(gè)單位B.向右平移π/3個(gè)單位C.向左平移π/6個(gè)單位D.向右平移π/6個(gè)單位解析：這題得記平移公式，y=sin(ωx+φ)的圖象是把y=sinx的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|/ω個(gè)單位。這兒φ=π/3，ω=2，所以平移π/6個(gè)單位，向左移，選C。9.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1時(shí)都取得極值，則a、b的值分別為（）A.a=3，b=0B.a=3，b=-2C.a=0，b=3D.a=0，b=-2解析：極值這題，得先求導(dǎo)f'(x)=3x^2-2ax+b，x=1和x=-1都是極值點(diǎn)，所以f'(1)=0，f'(-1)=0，解出來a=3，b=-2，選B。10.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，則恰好有2名男生和1名女生的選法有（）A.20種B.30種C.40種D.60種解析：組合這題，先選2名男生有C(5,2)=10種，再選1名女生有C(4,1)=4種，所以總共10*4=40種，選C。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.直線l：x-2y+4=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是_________。解析：對(duì)稱這題，先找直線l上兩點(diǎn)，比如(-4,0)和(0,2)，它們關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)分別是(-2,0)和(2,2)，連起來就是x-2y=0，化簡(jiǎn)下就對(duì)了。12.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值是_________。i=1;s=0;whilei<=5dos=s+i;i=i+2;endwhile解析：這題得一步步執(zhí)行，i從1開始，每次加2，加到9停下。加的數(shù)是1,3,5,7，s=16，所以填16。13.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，則a_6的值是_________。解析：等比數(shù)列這題，先求出公比q=(a_4/a_2)^(1/2)=3，那a_6=a_4*q^2=162，填162。14.已知向量a=(1,k)，b=(-2,3)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值是_________。解析：向量垂直這題，得a·b=0，所以1*(-2)+k*3=0，解出來k=2/3，填2/3。15.某幾何體的三視圖如圖所示（注：此處無圖），則該幾何體的體積是_________。解析：這題得看懂三視圖，是個(gè)圓錐加個(gè)圓柱，圓錐底面半徑1，高2，體積1/3*π*1^2*2=2π/3；圓柱底面半徑1，高1，體積π*1^2*1=π。加起來就是π，填π。三、解答題（本大題共5小題，共65分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^2-ax+1在區(qū)間[1,3]上的最大值是5，求實(shí)數(shù)a的值。解析：這題得先分類討論。要是a≤1，那f(x)在[1,3]上是增函數(shù)，最大值在x=3處，所以f(3)=9-3a+1=5，解出來a=5/3，但5/3>1，跟假設(shè)矛盾啊。要是a≥3，那f(x)在[1,3]上是減函數(shù)，最大值在x=1處，所以f(1)=1-a+1=5，解出來a=-3，但-3<1，也矛盾。所以a得在1和3之間，這時(shí)候最大值要么在x=1要么在x=3，分兩種情況。要是在x=1處最大，f(1)=1-a+1=5，a=-3，但-3<1，不行。要是在x=3處最大，f(3)=9-3a+1=5，a=5/3，這回對(duì)啊。所以a=5/3。17.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=√7，C=60°，求△ABC的面積。解析：這題啊，得先用余弦定理求出c，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a=3，b=√7，C=60°，得到c=2√3。那面積S用公式S=(1/2)ab*sinC，代入數(shù)值就是(1/2)*3*√7*sin60°=(3√21)/4。18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*），求{a_n}的通項(xiàng)公式。解析：這題得先轉(zhuǎn)化下形式。a_n+1+1=2(a_n+1)，所以{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，a_n+1=2^n，那a_n=2^n-1。19.（本小題滿分12分）某校為了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖（注：此處無圖）。其中“興趣濃厚”表示對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常感興趣，“興趣一般”表示對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣一般，“興趣不高”表示對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不太感興趣。若在該調(diào)查中，從“興趣濃厚”的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，則這3人中至少有2人性別相同的概率是多少？解析：這題得先看懂統(tǒng)計(jì)圖，假設(shè)“興趣濃厚”的有30人，“興趣一般”的有50人，“興趣不高”的有20人，再假設(shè)其中男生有20人，女生有10人。從30人中抽3人，總共C(30,3)=4060種。要是有2人同性，要么是2男1女，要么是3男。2男1女有C(20,2)*C(10,1)=190種。3男有C(20,3)=1140種。所以概率是(190+1140)/4060=1330/4060=133/406。注意啊，這題圖沒有，我就瞎設(shè)的數(shù)字，實(shí)際做題要看圖。20.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)。（1）證明：平面ABE⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-A的余弦值。解析：（1）證明：這題啊，先找EB⊥BC，因?yàn)锳BCD是矩形，AB⊥BC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。AB和PA相交于A，所以BC⊥平面PAB，那BC⊥PB。EB在平面PAB里，所以EB⊥PB。EB⊥BC，EB⊥PB，而且EB在平面ABE里，PB在平面PBC里，所以平面ABE⊥平面PBC。證畢。（2）求余弦值，得先找BC和BA的公垂線段。因?yàn)锳B⊥BC，AB⊥PA，所以AB⊥平面PBC，那AB⊥PB。取PC中點(diǎn)F，連EF，EF就是BC和BA的公垂線段。E是PC中點(diǎn)，F(xiàn)也是PC中點(diǎn)，所以EF=PC/2=√6/2。在△PAB中，PA=AB=2，所以PB=2√2。在△PBC中，BC=√5，PB=2√2，所以cos∠PBC=(BC^2+PB^2-PC^2)/(2BC*PB)=(5+8-6)/(2√5*2√2)=3/(4√10)。二面角B-PC-A是∠PBC的補(bǔ)角，所以余弦值是-3/(4√10)。四、選做題（本大題共2小題，共10分。請(qǐng)根據(jù)要求選擇一道作答，若兩道都作答，則按第一道計(jì)分。）21.（本小題滿分5分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：x=1+t,y=2t（t為參數(shù)），圓C的方程為：x^2+y^2-2x+4y-3=0。（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程；（2）求圓C上到直線l距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，消去t就行。x=1+t，t=x-1。y=2t，y=2(x-1)，化簡(jiǎn)就是y=2x-2。（2）求圓C上到直線l距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)，先找圓心和半徑。圓方程配方得(x-1)^2+(y+2)^2=8，圓心C(1,-2)，半徑r=√8=2√2。點(diǎn)到直線距離公式d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，這兒直線l是y=2x-2，A=2，B=-1，C=-2，圓心x0=1，y0=-2，所以d=|2*1-1*(-2)-2|/√(2^2+(-1)^2)=2/√5=2√5/5。最短距離是r-d=2√2-2√5/5=10√2-4√5/5。最短距離垂線過圓心，斜率是-1/2。垂線方程是y+2=(-1/2)(x-1)，即x+2y+3=0。求交點(diǎn)，聯(lián)立圓方程和垂線方程，x^2+(2(-1/2)(x+3)+4)^2-2x+4(-1/2)(x+3)+4-3=0，解出來x=1，y=-4。所以最短距離點(diǎn)是(1,-4)。22.（本小題滿分5分）選修4-5：不等式選講。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）解不等式f(x)≤5。解析：（1）求函數(shù)f(x)的最小值，這題得找分段點(diǎn)，x=-2和x=1。分三段討論。x<-2時(shí)，f(x)=-2x-1，是減函數(shù)，沒最小值。-2≤x≤1時(shí)，f(x)=3，是常數(shù)。x>1時(shí)，f(x)=2x+1，是增函數(shù)。所以最小值是3。（2）解不等式f(x)≤5，分三段。x<-2時(shí)，-2x-1≤5，x≥-3，所以-3≤x<-2。-2≤x≤1時(shí)，3≤5，恒成立，所以-2≤x≤1。x>1時(shí)，2x+1≤5，x≤2，所以1<x≤2。合起來就是-3≤x≤2。本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，所以f(x)的周期也是2π。2.A解析：A={1,2}，A∪B={1,2}，所以B必須是{1}或{2}或{1,2}。若B={2}，則2=2a，a=1。若B={1}，則1=2a，a=1/2，但這樣A∪B={1,2,1/2}，不符合題意。若B={1,2}，則1=2a或2=2a，a=1/2或1，但a=1/2時(shí)A∪B同上。所以只有a=1時(shí)符合。3.B解析：|z|^2=(1^2+1^2)=2。4.A解析：100名學(xué)生中有10%視力不良，1000名學(xué)生中估計(jì)有100人。5.A解析：g(x)在x=-2時(shí)取最小值3。6.C解析：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，所以sinC=√3/2。7.A解析：公差d=(8-2)/2=3，a_5=8+2*3=14。8.C解析：y=sin(2x+π/3)的圖象是y=sin(2x)向左平移π/6個(gè)單位。9.B解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0，f'(-1)=0，解得a=3，b=-2。10.C解析：C(5,2)*C(4,1)=10*4=40。二、填空題11.x-2y=0解析：直線l上兩點(diǎn)(-4,0)和(0,2)，關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)分別是(-2,0)和(2,2)，過這兩點(diǎn)的直線方程是x-2y=0。12.16解析：i從1到5，取1,3,5，s=1+3+5+7=16。13.162解析：公比q=(54/6)^(1/2)=3，a_6=54*3^2=162。14.2/3解析：a·b=1*(-2)+k*3=0，k=2/3。15.π解析：幾何體是圓錐加圓柱，體積是2π/3+π=π。三、解答題16.解：f(x)在[1,a]上是減函數(shù)，在[a,3]上是增函數(shù)，最大值在x=3處，f(3)=9-3a+1=5，a=5/3。解析思路：先判斷單調(diào)性，f'(x)=2x-a，f'(1)=2-a，f'(3)=6-a。要最大值在x=3，得f'(a)≤0，f'(3)≥0，所以a≥3。但最大值在x=3，得f'(3)≥0，f'(a)≤0，所以a≤3。所以a在1和3之間。這時(shí)候最大值在x=1或x=3。如果最大值在x=1，f(1)=1-a+1=5，a=-3，但a<-1，不行。如果最大值在x=3，f(3)=9-3a+1=5，a=5/3，這回a在1和3之間，符合。所以a=5/3。17.解：cosC=(3^2+√7^2-c^2)/(2*3*√7)=1/2，c^2=8，c=2√2。S=(1/2)*3*√7*sin60°=(3√21)/4。解析思路：先余弦定理求c，再用面積公式。18.解：a_n+1+1=2(a_n+1)，{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)2，公比2，a_n+1=2^n，a_n=2^n-1。解析思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。19.解：P(興趣濃厚)=30/100=3/10，P(男生)=20/100=1/5。P(至少2人同性)=P(2男1女)+P(3男)=C(20,2)*C(10,1)/C(30,3)+C(20,3)/C(30,3)=190/4060+1140/4060=1330/4060=133/406。解析思路：先求總數(shù)，再求至少2人同性情況數(shù)，用組合數(shù)。20.解：（1）證明：EB⊥BC，EB⊥PB，BC和PB相交于B，所以EB⊥平面PBC。平面ABE包含EB，所以平面ABE⊥平面PBC。（2）cos∠BPC=(BC^2+