第三章水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法◆第二節(jié)基本概念◆

第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程◆第四節(jié)恒定總流的能量方程◆第五節(jié)恒定總流的動(dòng)量方程◆江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無(wú)數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無(wú)間隙地充滿它所占據(jù)的空間。我們把流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全部空間稱(chēng)為流場(chǎng)。由于流體是連續(xù)介質(zhì)，所以描述流體運(yùn)動(dòng)的各物理量(如速度、加速度等)均應(yīng)是空間點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動(dòng)有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。

江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室1、拉格朗日方法又稱(chēng)隨體法，是從分析流場(chǎng)中個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)著手來(lái)研究整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的。這種研究方法，最基本的參數(shù)是流體質(zhì)點(diǎn)的位移，在某一時(shí)刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為：

X=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)z=z(a，b，c，t)

式中a、b、c為初始時(shí)刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)，t為時(shí)間。對(duì)于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于某個(gè)確定的時(shí)刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱(chēng)a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法對(duì)時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為：拉格朗日法的困難見(jiàn)書(shū)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

2、歐拉法：又稱(chēng)局部法，是從分析流場(chǎng)中每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)著手，來(lái)研究整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)的，即研究流體質(zhì)點(diǎn)在通過(guò)某一空間點(diǎn)時(shí)流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法

所以流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)是空間點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)。例如：流體質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)速度分量、壓強(qiáng)和密度可表示為：

u=u(x，y，z，t)

流速在各坐標(biāo)軸上的投影可表示為：

當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時(shí)間t

，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

現(xiàn)在用歐拉法求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。由于加速度定義為在dt

時(shí)刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)軌跡上一段微小距離時(shí)的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別上式中三個(gè)速度分量對(duì)時(shí)間取全導(dǎo)數(shù)，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻經(jīng)過(guò)某空間點(diǎn)時(shí)的三個(gè)加速度分量：第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

采用歐拉法描述流體的流動(dòng)，常常比采用拉格朗日法優(yōu)越，其原因有三：一是利用歐拉法得到的是場(chǎng)，便于采用場(chǎng)論這一數(shù)學(xué)工具來(lái)研究；二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易；三是在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來(lái)龍去脈?；谏鲜鋈c(diǎn)原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計(jì)算流體力學(xué)的某些問(wèn)題中還是方便的。第一節(jié)描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法返回江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念1.流線

（1）定義：流線（streamline）是表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動(dòng)趨勢(shì)的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。流線簇構(gòu)成的流線圖稱(chēng)為流譜。

（2）繪制：在流場(chǎng)中任取一點(diǎn)（如右上圖），繪出某時(shí)刻通過(guò)該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u1，再畫(huà)出距1點(diǎn)很近的2點(diǎn)在同一時(shí)刻通過(guò)該處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u2…，如此繼續(xù)下去，得一折線1234…，若各點(diǎn)無(wú)限接近，其極限就是某時(shí)刻的流線。一、流線和跡線江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室（3）流線的性質(zhì)第二節(jié)基本概念a.同一時(shí)刻的不同流線，不能相交。b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因?yàn)楦鶕?jù)流線定義，在交點(diǎn)的液體質(zhì)點(diǎn)的流速向量應(yīng)同時(shí)與這兩條流線相切，即一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可能同時(shí)有兩個(gè)速度向量。

因?yàn)榱黧w是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素是空間的連續(xù)函數(shù)。

流線只在一些特殊點(diǎn)相交，如速度為零的點(diǎn)，通常稱(chēng)為駐點(diǎn)或滯止點(diǎn)；速度無(wú)窮大的點(diǎn)，通常稱(chēng)為奇點(diǎn)；以及流線相切點(diǎn)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室（4）流線的方程第二節(jié)基本概念根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：設(shè)ds

為流線上A處的一微元弧長(zhǎng)

u為流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的流速:

因?yàn)榱魉傧蛄颗c流線相切，即沒(méi)有垂直于流線的流速分量，u和ds重合。所以

即江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室展開(kāi)后得到：

——流線的微分方程。

第二節(jié)基本概念或江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念2.跡線(1)跡線的定義：

跡線(pathline)某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡線。(2)跡線的微分方程：

跡線和流線是兩個(gè)完全不同的概念：

a.流線是同一時(shí)刻與許多質(zhì)點(diǎn)的流速矢量相切的空間曲線；而跡線則是同一質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。

b.前者是歐拉法分析流體運(yùn)動(dòng)的概念，時(shí)間是參變量；后者則是拉格朗日法分析流體運(yùn)動(dòng)的概念，時(shí)間是變量。。式中，ux,uy,uz

均為時(shí)空t,x,y,z的函數(shù)，且t是自變量。

在恒定流條件下，流線的形狀、位置以及流譜不隨時(shí)間變化，且流線與跡線重合。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念概念名定

義備

注流

線

流線是表示流體流動(dòng)趨勢(shì)的一條曲線，在同一瞬時(shí)線上各質(zhì)點(diǎn)的速度向量都與其相切，它描述了流場(chǎng)中不同質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。流線方程為：式中時(shí)間t為參變量。跡

線

跡線是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它描述流場(chǎng)中同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。跡線方程為：式中時(shí)間t為自變量。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念二、流管、流束和總流1、流管：在流場(chǎng)中任取一條不是流線的封閉曲線，通過(guò)曲線上各點(diǎn)作流線，這些流線組成一個(gè)管狀表面，稱(chēng)之為流管。

因?yàn)榱鞴苁怯闪骶€構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過(guò)流管流入或流出(由于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內(nèi)流動(dòng)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室2、流束：又稱(chēng)為微小流束或元流、纖流，是指過(guò)流管橫截面上各點(diǎn)作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱(chēng)為流束。

第二節(jié)基本概念當(dāng)流束的橫截面積趨近于零時(shí)，則流束達(dá)到它的極限——

流線。

過(guò)水?dāng)嗝妫涸谖⑿×魇信c各流線相垂直的橫截面稱(chēng)為微小流束的過(guò)水?dāng)嗝妗?/p>

當(dāng)流線相互平行時(shí)，有效截面是平面。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

3、總流：由無(wú)數(shù)微小流束組成的總股水流稱(chēng)為總流。自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是總流。第二節(jié)基本概念

根據(jù)總流的邊界情況，可以把總流流動(dòng)分為三類(lèi)：（1）有壓流動(dòng)總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動(dòng)。（2）無(wú)壓流動(dòng)總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動(dòng)。（3）射流總流的全部邊界均無(wú)固體邊界約束，如噴嘴出口的流動(dòng)。4、流量和平均流速

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)有效截面的流體體積稱(chēng)為體積流量，以Q表示。其單位為m3/s、m3/h等。

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)有效截面的流體重量稱(chēng)為重量流量，以

表示，其單位為kN/s、t/h等。

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)有效截面的流體質(zhì)量稱(chēng)為質(zhì)量流量，以

表示，其單位為kg/s。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

由于微元流束有效截面上各點(diǎn)的流速u(mài)是相等的，所以通過(guò)微元流束過(guò)水?dāng)嗝鎑A的體積流量dQ為：第二節(jié)基本概念

以上計(jì)算必須先找出微元流束的速度u在整個(gè)流束過(guò)水?dāng)嗝嫔系姆植家?guī)律，這在大部分工程問(wèn)題中是不能用解析法來(lái)確定的。在工程計(jì)算中為了方便起見(jiàn)，引入平均流速的概念。

平均流速是一個(gè)假想的流速，即假定在過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)都以相同的平均流速v流過(guò)，這時(shí)通過(guò)過(guò)水?dāng)嗝嫔系捏w積流量仍與各點(diǎn)以真實(shí)流速流動(dòng)時(shí)所得到的體積流量相同。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念三、恒定流與非恒定流（1）恒定流定義

恒定流（steadyflow）：又稱(chēng)定常流，是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)，空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間而變化。（2）非恒定流定義

非恒定流（unsteadyflow）：又稱(chēng)非定常流，是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動(dòng)要素中，只要有任何一個(gè)隨時(shí)間的變化而變化的流動(dòng)。在非恒定流情況下，流線的位置隨時(shí)間而變，流線與跡線不重合。動(dòng)畫(huà)：http:///zskj/

在恒定流情況下，流線的位置不隨時(shí)間而變，且與跡線重合。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念四、均勻流與非均勻流

根據(jù)位于同一流線上個(gè)質(zhì)點(diǎn)的流速矢量是否沿流程變化，可分為均勻流和非均勻流。

均勻流：各過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D沿程不變，過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫?，沿程各過(guò)水?dāng)嗝娴男螤詈痛笮《急３忠粯印?/p>

非均勻流：流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變，即沿流程方向速度分布不均。非均勻流又可分為急變流和漸變流。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念五、漸變流與急變流

非均勻流中如流動(dòng)變化緩慢，流線的曲率很小接近平行，過(guò)流斷面上的壓力基本上是靜壓分布者為漸變流(graduallyvariedflow)，否則為急變流。1.漸變流——

沿程逐漸改變的流動(dòng)。

特征：流線之間的夾角很小即流線幾乎是平行的，同時(shí)流線的曲率半徑又很大（即流線幾乎是直線），其極限是均勻流，過(guò)水?dāng)嗝婵煽醋魇瞧矫妗u變流的加速度很小，慣性力也很小，可以忽略不計(jì)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念2.急變流——

沿程急劇改變的流動(dòng)。

特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過(guò)水?dāng)嗝娌皇且粋€(gè)平面。急變流的加速度較大，因而慣性力不可忽略。六、一維流、二維流、三維流按液流運(yùn)動(dòng)要素所含空間坐標(biāo)變量的個(gè)數(shù)分：一維流、二維流、三維流。1.一元流(one-dimensionalflow)：流體在一個(gè)方向流動(dòng)最為顯著，其余兩個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)要素的斷面平均值，則運(yùn)動(dòng)要素只是曲線坐標(biāo)s的函數(shù)，這種流動(dòng)屬于一元流動(dòng)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第二節(jié)基本概念2.二元流

(two-dimensionalflow)：流體主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向的流動(dòng)，而第三個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)。3.三元流（three-dimensionalflow)：流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)。例如水在斷面形狀與大小沿程變化的天然河道中流動(dòng)，水對(duì)船的繞流等等，這種流動(dòng)屬于三元流動(dòng)。返回江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。

液體運(yùn)動(dòng)是一種連續(xù)介質(zhì)的連續(xù)流動(dòng)，它和其他物質(zhì)運(yùn)動(dòng)一樣，也要遵循質(zhì)量守恒定律。下面根據(jù)質(zhì)量守恒定律分別建立液流的連續(xù)性微分方程及元流和總流的連續(xù)件方程。一、連續(xù)性微分方程◆二、元流和總流的連續(xù)性方程◆返回江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室一、連續(xù)性微分方程第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程

在液場(chǎng)內(nèi)取一微元六面體，邊長(zhǎng)為dx

,dy

,dz

，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz

）以x軸方向?yàn)槔鹤蟊砻媪魉?/p>

右表面流速

所以單位時(shí)間內(nèi)x方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程X方向：

Y方向：

Z方向：

質(zhì)量守恒定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流出與流入六面體的液體質(zhì)量差之總和應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量。即：（1）液體的連續(xù)性微分方程的一般形式

適用范圍：理想液體或?qū)嶋H液體；恒定流或非恒定流；可壓縮液體或不可壓縮液體。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程（2）可壓縮液體恒定流動(dòng)的連續(xù)性微分方程當(dāng)為恒定流時(shí)，有

適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。（3）不可壓縮液體的連續(xù)性微分方程當(dāng)為不可壓縮流時(shí)，有

物理意義：不可壓縮液體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的液體體積（質(zhì)量），與流出的液體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或非恒定流的不可壓縮液體流動(dòng)。返回江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

取一微小流管，如圖所示。設(shè)流動(dòng)為恒定流，流管形狀不隨時(shí)間而改變。因?yàn)榱鞴芩闹芏际怯闪骶€組成，所以沒(méi)有液體從四周出入。在dt時(shí)段內(nèi)從dA1流入的質(zhì)量為

。從dA2流出的質(zhì)量為

(因流管過(guò)水?dāng)嗝嫖⑿?，其上的流速分布可看作是均?。因?yàn)槭遣豢蓧嚎s液體恒定流，所以流管內(nèi)的質(zhì)量不隨時(shí)間而變。根據(jù)質(zhì)量守恒定律可得元流內(nèi)連續(xù)性方程程為：第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程二、元流和總流的連續(xù)性方程

在工程和自然界中，液體流動(dòng)多數(shù)都是在某些周界面所限定的空間內(nèi)沿某一方向的流動(dòng)，這一方向就是液體運(yùn)動(dòng)的主流方向，主流流程不一定是直線，多數(shù)為曲線。下面來(lái)建立元流和總流的連續(xù)性方程。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室如為不可壓縮均質(zhì)液體，則

，因此有：第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程因，故上式也可寫(xiě)為：

總流是由無(wú)數(shù)元流組成的，通過(guò)對(duì)元流連續(xù)性方程沿過(guò)水?dāng)嗝娴姆e分即可得出恒定總流的連續(xù)性方程：

若過(guò)水?dāng)嗝娓骺臻g點(diǎn)上的流速己知，則可通過(guò)積分求得，從而得到流量Q。

在實(shí)際工作中，除了必須要知道流速沿過(guò)水?dāng)嗝娴姆植家酝?，為了分析的?jiǎn)便常采用流速過(guò)水?dāng)嗝嫫骄祦?lái)描述總流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這就是前面提到的總流分析法。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第三節(jié)恒定總流的連續(xù)方程

顯然，流速過(guò)水?dāng)嗝嫫骄?簡(jiǎn)稱(chēng)為斷面平均流速)v與過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速值有如下關(guān)系：由此可將恒定總流連續(xù)性方程寫(xiě)成為：

這就是水力學(xué)中總流分析法的重要的基本方程之一，它表明在恒定流中，斷面平均流速與過(guò)水?dāng)嗝婷娣e成反比，即

應(yīng)注意此方程是針對(duì)兩個(gè)斷面之間無(wú)支流的情況而建立的連續(xù)性方程。當(dāng)出現(xiàn)支流時(shí)，返回江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程一、理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程

在流動(dòng)的理想流體中，取出一個(gè)微元平行六面體，它的各邊長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz，如圖所示。由于是理想液體，不存在切應(yīng)力，所以作用在六面體上的外力只有質(zhì)量力和壓強(qiáng)。該壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)一樣，垂直向內(nèi)，作用在液體的表面上。假設(shè)六面體形心O’的坐標(biāo)為x、y、z，速度為u，壓強(qiáng)為p。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室受力分析(x方向?yàn)槔?：在垂直于x軸的左右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)各等于單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為X,Y,Z，所以x軸

方向的質(zhì)量力為由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律

，x方向有：第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室化簡(jiǎn)得：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室二、理想液體微元流束的伯努利方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）各式分別乘以沿流線的坐標(biāo)增量dx

，dy，dz

，然后相加，得：第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室引入限定條件：（1）作用在流體上的質(zhì)量力只有重力：（2）不可壓縮流體、恒定流動(dòng)：（3）恒定流流線與跡線重合：第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室兩邊積分得，移項(xiàng)得：以上方程稱(chēng)為理想液體微元流束的伯努利方程。第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室1、物理意義理想液體微元流束的伯努利方程式中，左端前兩項(xiàng)的物理意義：第一項(xiàng)z

表示單位重量流體所具有的位勢(shì)能；第二項(xiàng)表示單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能；第三項(xiàng)

理解如下：由物理學(xué)可知，質(zhì)量為m的物體以速度V運(yùn)動(dòng)時(shí)，所具有的動(dòng)能為

，則單位重量流體所具有的動(dòng)能為。所以該項(xiàng)的物理意義為單位重量流體具有的動(dòng)能。位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和稱(chēng)為機(jī)械能。三、伯努利方程的物理和幾何意義

為了進(jìn)一步理解理想液體微元流束的伯努利方程，現(xiàn)來(lái)敘述該方程的物理意義和幾何意義。第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮液體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線（或微元流束）上各點(diǎn)的單位重量液體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變，即機(jī)械能是一常數(shù)，但位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的一種特殊表現(xiàn)形式。第四節(jié)恒定總流的能量方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程2.幾何意義位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱(chēng)為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系?？偹^線是水平線。

因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮液體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線(或微元流束)上各點(diǎn)的單位重量液體所具有的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程四、實(shí)際液體的伯努利方程

實(shí)際流體具有粘性，運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)牛流動(dòng)阻力，克服阻力作功，使流體的一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。因此，粘滯流體流動(dòng)時(shí)，單位重量流體具有的機(jī)械能沿程不守恒而是減少，總水頭線不是水平線，而是沿程下降線。自l9世紀(jì)30年代以來(lái)，人們從大量經(jīng)驗(yàn)事實(shí)中，總結(jié)出一個(gè)重要結(jié)論：能量可以從一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，但不能創(chuàng)造，也不能消滅，總能量是恒定的，這就是能量守恒原理。因此，設(shè)為粘性液體元流學(xué)位重量流體由過(guò)流斷面1—1運(yùn)動(dòng)至過(guò)流斷面2—2的機(jī)械能損失，稱(chēng)為元流的水頭損失．根據(jù)能量守恒原理，便可得到粘性流體元流的伯努利方程：1、實(shí)際液體恒定元流的能量力程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程2、實(shí)際液體恒定總流能量方程的推導(dǎo)

把上式兩端同乘以

可得單位時(shí)間內(nèi)元流兩過(guò)水?dāng)嗝娴闹亓磕芰筷P(guān)系式：在總流過(guò)水?dāng)嗝嫔戏e分，得到通過(guò)總流兩過(guò)水?dāng)嗝娴目偰芰恐g的關(guān)系為：而江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程上式共有三種類(lèi)型的積分，現(xiàn)分別確定如下：（1）勢(shì)能積分：在漸變流斷面或均勻流斷面上，有

（2）動(dòng)能積分：——

單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)總流過(guò)水?dāng)嗝娴囊后w動(dòng)能的總和。

由于流速u(mài)在總流過(guò)水?dāng)嗝嫔系姆植家话汶y以確定，可采用斷面平均流速v代替，并令：

——

動(dòng)能修正系數(shù)，表示實(shí)際動(dòng)能與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)能之比值。當(dāng)流速分布時(shí)：1．05—1．10，流速分布不均勻時(shí)值較大。在工程計(jì)算中常取1。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程（3）損失積分：

假定各個(gè)元流單位重量液體所損失的能量都等于某一個(gè)平均值（總流的水頭損失或平均機(jī)械能損失)。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室3、總流能量方程各項(xiàng)的意義第四節(jié)恒定總流的能量方程——表示總流過(guò)水?dāng)嗝嫔夏滁c(diǎn)處單位重坦液體所具有的位能。——表示單位重量液體所具有的勢(shì)能?！獙?duì)應(yīng)點(diǎn)處單位重量液體所具有的動(dòng)能。——表示單位重量液體所具有的勢(shì)能?！硎締挝恢亓恳后w所具有的總機(jī)械能?！鲃?dòng)過(guò)程中單位重量液體的平均機(jī)械能損失。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程五、能量方程注意的幾個(gè)問(wèn)題

伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動(dòng)的流速(或流量)和壓強(qiáng)的計(jì)算問(wèn)題，用這些方程求解一維流動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：

(1)弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡(jiǎn)單的流動(dòng)問(wèn)題，還是既有流動(dòng)問(wèn)題又有流體靜力學(xué)問(wèn)題。

(2)選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問(wèn)題中所求的參數(shù)，同時(shí)使已知參數(shù)盡可能多。通常對(duì)于從大容器流出、流入大氣或者從一個(gè)大容器流入另一個(gè)大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因?yàn)樵撚行Ы孛娴膲簭?qiáng)為大氣壓強(qiáng)，對(duì)于大容器自由液面，速度可以視為零來(lái)處理。

(3)選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡(jiǎn)化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。

(4)求解流量時(shí)，一般要結(jié)合一維流動(dòng)的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對(duì)壓強(qiáng)或者同為相對(duì)壓強(qiáng)，p1和p2的問(wèn)題與靜力學(xué)中的處理完全相同。

(5)有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強(qiáng)應(yīng)為同一點(diǎn)的，絕對(duì)不許在式中取有效截面上Ａ點(diǎn)的壓強(qiáng)，又取同一有效截面上另一點(diǎn)Ｂ的速度。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程六、能量方程解題步驟——

三選一列1、選擇基準(zhǔn)面：基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡(jiǎn)化計(jì)算為原則。例如選過(guò)水?dāng)嗝嫘涡模▃=0），或選自由液面（p=0）等。

2、選擇計(jì)算斷面：計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。

3、選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對(duì)同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)。

4、列能量方程解題

注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程

例1：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及2,3的損失分別為

和

，試求斷面2的平均壓強(qiáng)。解：取0-0，列斷面1，2的能量方程而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可對(duì)斷面1，3寫(xiě)出能量方程代入第一個(gè)方程，解得：江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室取漸變流斷面1-1,2-2和3-3。因?yàn)?-1斷面為水箱水面，較豎直管大得多，故流速水頭

可近似取

。取

，并將基準(zhǔn)面O-O取在管子出口斷面3-3上，寫(xiě)出斷面1-1和斷面3-3的總流能量方程第四節(jié)恒定總流的能量方程

例2：水深1.5m、水平截面積為3m×3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長(zhǎng)為2m的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點(diǎn)2的壓強(qiáng)。解：根據(jù)題意和圖示，水流為恒定流；水箱表面，管子出口，管中點(diǎn)2所在斷面，都是漸變流斷面；符合總流能量方程應(yīng)用條件。水流不可壓縮，只受重力作用。采用相對(duì)壓強(qiáng)

。將已知數(shù)據(jù)代入上式，江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程即得因?yàn)橛蛇B續(xù)方程可得

因此有

取斷面3-3為基準(zhǔn)面，取

，寫(xiě)斷面1-1和2-2的總流能量方程將已知數(shù)據(jù)代入上式可得

所以

江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

例3：某一水庫(kù)的溢流壩，如圖所示。已知壩下游河床高程為105.0m,當(dāng)水庫(kù)水位為120.0m時(shí)，壩址處收縮過(guò)水?dāng)嗝嫣幍乃頷c=1.2m。設(shè)溢流壩的水頭損失

。求壩址處斷面的平均流第四節(jié)恒定總流的能量方程解：

由于溢流壩面水流為急變流，所以在距壩前一段距離處，取漸變流斷面1-1和在壩下游水流較平直的C處取斷面2-2。由于水庫(kù)的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e大，流速水頭

。水庫(kù)水位和下游河床高程都為已知，基準(zhǔn)面0-0取在下游河床底部。取

，寫(xiě)出總流能量方程

因?yàn)闈u變流斷面上各點(diǎn)的單位勢(shì)能（

）等于常數(shù)。可選斷面上任一點(diǎn)求得其z和p值。為了計(jì)算方便，可選水面上一點(diǎn)，故可用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算，該點(diǎn)動(dòng)水壓強(qiáng)為零，即又：

江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程

令

。由圖可知將以上已知數(shù)據(jù)代入總流量方程，得解得壩址處的流速江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室例

有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門(mén)關(guān)閉時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)為2.8個(gè)大氣壓強(qiáng)。而當(dāng)將閥門(mén)全開(kāi)，水從管中流出時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)是0.6個(gè)大氣壓強(qiáng)，試求當(dāng)水管直徑d=12cm時(shí)，通過(guò)出口的體積流量(不計(jì)流動(dòng)損失)。

解：當(dāng)閥門(mén)全開(kāi)時(shí)列1-l、2-2截面的伯努利方程

當(dāng)閥門(mén)關(guān)閉時(shí)，根據(jù)壓強(qiáng)計(jì)的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出Ｈ值江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

則代入到上式（m/s）所以管內(nèi)流量（m3/s）江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

例

水流通過(guò)如圖所示管路流入大氣，已知：Ｕ形測(cè)壓管中水銀柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計(jì)管中水頭損失，試求管中流量qv。

解：首先計(jì)算1-1斷面管路中心的壓強(qiáng)。因?yàn)锳-B為等壓面，列等壓面方程得：

則(mH2O)

列1-1和2-2斷面的伯努利方程江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

由連續(xù)性方程：

將已知數(shù)據(jù)代入上式，得

（m/s）管中流量（m3/s）江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室

實(shí)際液體恒定總流的能量方程中，共包含了四個(gè)物理量，其中

表示總流過(guò)水?dāng)嗝嫔夏滁c(diǎn)處單位重量液體所具有的位能，又稱(chēng)位置水頭；表示該點(diǎn)處單位重量液體所具有的壓能．又稱(chēng)壓強(qiáng)水頭；

稱(chēng)為測(cè)壓管水頭；表示過(guò)水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓恳后w所具有的平均動(dòng)能，又稱(chēng)平均流速水頭。

稱(chēng)為單位重量液體從一個(gè)過(guò)水?dāng)嗝媪髦亮硪粋€(gè)過(guò)水?dāng)嗝婵朔髯枇ψ鞴λ鶕p失的平均能量，一般稱(chēng)為水頭損失。在水力學(xué)中，習(xí)慣上把單位重量液體所具有的總機(jī)械能(即位能、壓能、動(dòng)能的總和)稱(chēng)為總水頭，并以H表示，即第四節(jié)恒定總流的能量方程七、總水頭線和測(cè)壓管水頭線的繪制

由于上述四項(xiàng)都具有長(zhǎng)度的量綱，故可以用線段長(zhǎng)度表示其大小，從而用圖形形象地反映總流中各種能量的變化規(guī)律，繪出總水頭線和測(cè)壓管水頭線。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程

如圖所示，以水頭為縱坐標(biāo)，按一定的比例尺沿流程將各斷面的

、及分別繪于圖上，對(duì)于管路，一般選取斷面中心點(diǎn)的z值來(lái)標(biāo)繪(明渠則選水面點(diǎn))，相應(yīng)的亦選用形心點(diǎn)動(dòng)水壓強(qiáng)來(lái)標(biāo)繪。把各斷面的值的點(diǎn)子連接起來(lái)可以得到一條測(cè)壓管水頭線(如圖今虛線所示)，把各斷面

描出的點(diǎn)子連接起來(lái)可以得到一條總水頭線(如圖中實(shí)線所示)。任意兩斷面之間的總水頭線的降低值，即為該兩斷面之間的水頭損失

。江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院土木教研室第四節(jié)恒定總流的能量方程二、水力坡度由能量方程的物理意義不難得出，實(shí)際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線(直線或曲線)，因?yàn)閷?shí)際液體流動(dòng)過(guò)程中存在水頭損失，而測(cè)壓管水頭線則可能是下降的，也可能是上升的，甚至可能是一條水平線，這要看總流的幾何邊界變化情況而作具體分析?？偹^線沿流程的降低值與流程長(zhǎng)度之比，稱(chēng)為總水頭線坡度，也稱(chēng)水力坡度，即單位流程上的水頭損失，常以J表示。當(dāng)總水頭線為直線時(shí)，如圖所示，則水力坡度為。江西理工大學(xué)建