2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何解題與思維訓(xùn)練模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知空間四點(diǎn)A、B、C、D，其中AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A.B.C.D.2.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為270°，半徑為2的扇形，則該圓錐的體積為（）A.B.C.D.3.在正四棱柱ABC-D1C1B1中，底面邊長(zhǎng)為2，高為1，E為棱CC1的中點(diǎn)，則直線BE與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（）A.B.C.D.4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-BCD的體積為（）A.B.C.D.5.過(guò)空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O作兩條相互垂直的射線OA和OB，分別與平面xOy、平面yOz交于點(diǎn)A和B，若|OA|=2，|OB|=1，則點(diǎn)B到平面zOx的距離為（）A.B.C.D.6.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=1，A1A=3，則點(diǎn)A1到平面BC1D的距離為（）A.B.C.D.7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1BCC1所成的角的余弦值為（）A.B.C.D.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，D為AC的中點(diǎn)，則三棱錐A1-BCD的體積為（）A.B.C.D.9.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則該四棱錐的體積為（）A.B.C.D.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1的中點(diǎn)，則四棱錐A1-BFCD的體積為（）A.B.C.D.11.已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為30°，則該圓錐的側(cè)面積為（）A.B.C.D.12.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=1，A1A=3，則點(diǎn)A1到平面BC1D的距離為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱DD1的中點(diǎn)，則直線PQ與平面ABB1A1所成的角的正弦值為________。14.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為________度。15.在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，則該四棱錐的體積為________。16.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=1，A1A=3，則點(diǎn)A1到平面BC1D的距離為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABE的體積。18.（12分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是邊長(zhǎng)為2的正五邊形，PA⊥底面ABCDE，PA=2，F(xiàn)是棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：PF⊥平面ABCD；（2）求二面角B-PC-A的余弦值。19.（12分）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=1，A1A=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1的中點(diǎn)。（1）求證：四棱錐A1-BFCD的體積是長(zhǎng)方體體積的1/6；（2）求直線A1E與平面BB1C1C所成的角的正弦值。20.（12分）在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為√3，E是棱SC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面SDCE；（2）求二面角D-SE-A的余弦值。21.（12分）在圓錐P-ABC中，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√3，D是底面圓周上一點(diǎn)，AD=1。（1）求證：PD⊥平面ABC；（2）求三棱錐D-ABC的體積。22.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，E是棱CC1的中點(diǎn)。（1）求證：無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在何處，總有PE⊥CD；（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，求直線PE與平面ADD1A1所成的角的正弦值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：連接BD，設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接AO、CO。由于AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，所以三角形ABD、ACD、BCD均為等邊三角形，故AO=CO=√(1^2-(1/2)^2)=√(3/4)=√3/2。又因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，所以AO⊥CO。在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,0,√3/2)，則O為原點(diǎn)。點(diǎn)D到平面ABC的距離即為點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離，為√(0^2+0^2+(√3/2)^2)=√(3/4)=√3/2。故選C。2.答案：B解析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為270°，半徑為2的扇形，則圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開圖的圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為2π×2×(270/360)=3π。設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=3π，解得r=3/2。圓錐的高h(yuǎn)=√(2^2-(3/2)^2)=√(4-9/4)=√(7/4)=√7/2。圓錐的體積V=(1/3)πr^2h=(1/3)π(3/2)^2(√7/2)=(9√7π)/24=(3√7π)/8。故選B。3.答案：A解析：連接BE，設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，則a=2。高h(yuǎn)=1，E為棱CC1的中點(diǎn)，所以CE=CC1/2=1/2。在正四棱柱中，BE與平面BB1C1C所成的角即為BE與BC的夾角。由于BE=√(BE^2)=√(a^2+(h/2)^2)=√(2^2+(1/2)^2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。BC=a=2。所以sin∠BEC=BC/BE=2/(√17/2)=4/√17=2√17/17。故選A。4.答案：D解析：底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以S_ABC=(√3/4)×2^2=(√3/4)×4=√3。D為AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=1。三棱錐A1-BCD的體積V=(1/3)×S_ABC×h=(1/3)×√3×1=√3/3。故選D。5.答案：B解析：過(guò)點(diǎn)B作BO⊥平面xOy，垂足為O，連接OA。由于OA⊥OB，且OA、OB分別在平面xOy、平面yOz上，所以BO⊥OA。在直角三角形OAB中，OA=2，OB=1，所以BO=√(OA^2-OB^2)=√(2^2-1^2)=√(4-1)=√3。點(diǎn)B到平面zOx的距離即為BO的長(zhǎng)度，為√3。故選B。6.答案：C解析：連接A1D，交AD于點(diǎn)O，連接CO。由于長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，所以A1D=√(AB^2+A1A^2)=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。O為AD中點(diǎn)，所以AO=AD/2=1。在直角三角形A1AD中，CO⊥A1D。CO=√(A1D^2-AO^2)=√(13-1)=√12=2√3。點(diǎn)A1到平面BC1D的距離即為CO的長(zhǎng)度，為2√3。故選C。7.答案：C解析：連接AE，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，E為棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1的中點(diǎn)。在正方體中，AE與平面B1BCC1所成的角即為AE與BC的夾角。由于AE=√(1^2+(1/2)^2)=√(1+1/4)=√(5/4)=√5/2。BC=1。所以cos∠AEB=BC/AE=1/(√5/2)=2/√5=√5/5。故選C。8.答案：B解析：底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以S_ABC=(√3/4)×2^2=(√3/4)×4=√3。D為AC的中點(diǎn)，所以AD=DC=√2。三棱錐A1-BCD的體積V=(1/3)×S_ABC×h=(1/3)×√3×√2=√6/3。故選B。9.答案：A解析：底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以S_ABCD=2^2=4。高為側(cè)棱長(zhǎng)為3，所以四棱錐的體積V=(1/3)×S_ABCD×h=(1/3)×4×3=4。故選A。10.答案：D解析：連接A1F，交BC于點(diǎn)G，連接CD。由于E為棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1的中點(diǎn)，所以A1F=√(A1A^2+AF^2)=√(3^2+(1/2)^2)=√(9+1/4)=√(37/4)=√37/2。四棱錐A1-BFCD的體積V=(1/3)×S_BFCD×A1F=(1/3)×(1/2×1×2)×(√37/2)=√37/6。故選D。11.答案：C解析：圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為30°，所以母線長(zhǎng)l=1/(cos30°)=1/(√3/2)=2/√3。側(cè)面展開圖的圓心角為360°×(1/2)=180°。側(cè)面展開圖的面積S=πrl=(π)(1)(2/√3)=2π/√3=2√3π/3。故選C。12.答案：A解析：連接A1D，交AD于點(diǎn)O，連接CO。由于長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，所以A1D=√(AB^2+A1A^2)=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。O為AD中點(diǎn)，所以AO=AD/2=1。在直角三角形A1AD中，CO⊥A1D。CO=√(A1D^2-AO^2)=√(13-1)=√12=2√3。點(diǎn)A1到平面BC1D的距離即為CO的長(zhǎng)度，為2√3。故選A。二、填空題答案及解析13.答案：√2/2解析：連接PQ，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，P為棱CC1的中點(diǎn)，Q為棱DD1的中點(diǎn)。在正方體中，PQ與平面ABB1A1所成的角即為PQ與AB的夾角。由于PQ=√(PC^2+QC^2)=√((1/2)^2+(1/2)^2)=√(1/4+1/4)=√(1/2)=√2/2。AB=1。所以sin∠PQB=AB/PQ=1/(√2/2)=√2。故填√2/2。14.答案：120解析：圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為√3，側(cè)面展開圖的圓心角為360°×(1/2)=180°。側(cè)面展開圖的面積S=πrl=(π)(1)(√3)=√3π。設(shè)圓心角為θ，則S=(θ/360°)πr^2=(θ/360°)π(1^2)=θπ/360°。解得θ=120°。故填120。15.答案：√3解析：底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以S_ABCD=2^2=4。高為側(cè)棱長(zhǎng)為√3，所以四棱錐的體積V=(1/3)×S_ABCD×h=(1/3)×4×√3=4√3/3。故填√3。16.答案：√3/3解析：連接A1E，設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為AB=2，BC=1，A1A=3，E為棱CC1的中點(diǎn)。在正方體中，A1E與平面ADD1A1所成的角即為A1E與AD的夾角。由于A1E=√(A1C^2+CE^2)=√(2^2+(1/2)^2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。AD=3。所以sin∠A1ED=AD/A1E=3/(√17/2)=6/√17=3√17/17。故填√3/3。三、解答題答案及解析17.解：（1）證明：由于ABCD是矩形，所以BC⊥AB。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。由于BC⊥AB，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB。又因?yàn)锳B?平面PAB，所以BC⊥AB。又因?yàn)锳E?平面PAB，所以BC⊥AE。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC。由于AC⊥AB，PA⊥AC，所以AC⊥平面PAB。又因?yàn)锳E?平面PAB，所以AC⊥AE。又因?yàn)锽C⊥AE，AC⊥AE，所以AE⊥平面PAC。（2）解：三棱錐P-ABE的體積V=(1/3)×S_ABE×h=(1/3)×(1/2×1×1)×2=(1/3)×1×2=2/3。18.解：（1）證明：由于底面ABCDE是正五邊形，所以∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EAB=108°。又因?yàn)镻A⊥底面ABCDE，所以PA⊥BC。又因?yàn)锳B=BC，所以三角形ABC是等邊三角形，所以∠PAB=∠PAC=∠PBC=∠PCD=∠PDE=∠PEA=72°。又因?yàn)镻F是PC的中點(diǎn)，所以∠FPB=∠FPC=36°。又因?yàn)镻A⊥底面ABCDE，所以PF⊥平面ABCD。（2）解：作MG⊥PC，垂足為G，連接BG。由于MG⊥PC，所以MG⊥平面ABCDE。又因?yàn)椤螧GC=∠BAC=36°，所以cos∠BGC=cos36°=(√5+1)/4。故二面角B-PC-A的余弦值為(√5+1)/4。19.解：（1）證明：四棱錐A1-BFCD的體積V=(1/3)×S_BFCD×A1A=(1/3)×(1/2×1×2)×3=1。長(zhǎng)方體體積V=(AB×BC×A1A)=(2×1×3)=6。所以四棱錐A1-BFCD的體積是長(zhǎng)方體體積的1/6。（2）解：連接A1E，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為AB=2，BC=1，A1A=3，E為棱CC1的中點(diǎn)。在正方體中，A1E與平面BB1C1C所成的角即為A1E與BC的夾角。由于A1E=√(A1C^2+CE^2)=√(2^2+(1/2)^2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。BC=1。所以sin∠A1EB=BC/A1E=1/(√17/2)=2/√17=√17/17。20.解：（1）證明：由于底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD。又因?yàn)镾A⊥底面ABCD，所以SA⊥AC。又因?yàn)锳C⊥BD，SA⊥AC，所以AC⊥平面SAB。又因?yàn)锳B?平面SAB，所以AC⊥AB。又因?yàn)锳E?平面SAB，所以AC⊥AE。又因?yàn)镾B⊥AC，所以SB⊥平面SAC。又因?yàn)镾E?平面SAC，所以SB⊥SE。又因?yàn)镾E⊥SD，SB⊥SE，所以SE⊥平面SBD。又因?yàn)锳B?平面SBD，所以SE⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AC，SE⊥AB，所以SE⊥平面ABC。又因?yàn)锳C⊥平面ABC，SE⊥平面ABC，所以SE⊥AC。又因?yàn)镾E⊥AC，SE⊥SB，所以平面ABE⊥平面SDCE。（2）解：作SH⊥SE，垂足為H，連接AH。由于SH⊥SE，所以SH⊥平面SAC。又因?yàn)镾A⊥平面SAC，所以SH⊥SA。又因?yàn)椤蟂AH=∠DSE，所以tan∠SAH=tan∠DSE。又因?yàn)镾H=SA×sin∠SAH，SE=SA×sin∠DSE，所以SH/SE=SA×sin∠SAH/SA×sin∠DSE=sin∠SAH/sin∠DSE。又因?yàn)椤蟂AH=∠DSE，所以sin∠SAH=sin∠DSE，所以SH/SE=1。又因?yàn)镾H⊥SE，SE⊥SD，所以SH⊥平面SBD。又因?yàn)锳B⊥SD，SH⊥平面SBD，所以AB⊥SH。又因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥SH，所以AB⊥平面SAC。又因?yàn)镾E⊥平面SAC，AB⊥平面SAC，所以AB⊥SE。又因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥SE，所以SE⊥平面ABC。又因?yàn)锳C⊥平面ABC，SE⊥平面ABC，所以SE⊥AC。又因?yàn)镾E⊥AC，SE⊥SB，所以平面ABE⊥平面SDCE。又因?yàn)椤螪SE=∠SAH，所以cos∠DSE=cos∠SAH=(√3)/2。21.解：（1）證明：由于PD⊥平面ABC，所以PD⊥AB。又因?yàn)锳D=1，PD⊥AB，所以AB⊥AD。又因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥BC，所以AB⊥平面ABC。又因?yàn)锳D?平面ABC，所以AB⊥AD。又因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥BC，所以AD⊥平面BCD。又因?yàn)镻D⊥平面ABC，所以PD⊥BC。又因?yàn)镻D⊥BC，A