第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年云南省玉溪市高一（下）期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z=?2i，則|z|=(

)A.?2 B.0 C.1 D.22.若a，b∈R，則“a3=b3”是“a=bA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)f(x)=8x3+2x?17的零點所在區(qū)間為A.(0,12) B.(12,1)4.圓錐的底面半徑為3，圓錐的高是1，則其側(cè)面積為(

)A.π B.3π C.2π D.5.已知函數(shù)f(x)=5cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的最小正周期為(

)A.π2

B.π

C.2π

D.6.在R上定義運算?：a?b=ab?a+b，則滿足x?(2x?1)<0的實數(shù)x的取值范圍為(

)A.(0,22) B.(?27.某三胎家庭，若每次生男孩還是生女孩是隨機的，則3個孩子都是男孩的概率為(

)A.18 B.14 C.138.已知|a|=|b|=1，且a與b的夾角為π3，則b與A.π12 B.π6 C.7π12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設函數(shù)f(x)=ex?e?xA.定義域為(?∞,+∞) B.是奇函數(shù)

C.在(?π2,π2)10.任意一個復數(shù)z的代數(shù)形式都可寫成三角形式，即z=a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中i為虛數(shù)單位，r=|z|=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br，θ∈[0,2π).棣莫弗定理由法國數(shù)學家棣莫弗(1667～1754)創(chuàng)立，指的是設兩個復數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：z1=r1(cosθA.|z1|=1 B.|z2|=11.如圖，三棱臺ABC?DEF中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=π4，DC=2BC，則(

)A.EF//平面BCD

B.EF⊥DC

C.EF⊥DB

D.DF與面DBC所成角的正弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合M={x∈N|3<x<a}，若集合M有15個真子集，則實數(shù)a的取值范圍為______．13.已知α∈(0,π)，2sinα=1?cos2α，則sinα=______．14.已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足f(4?x)+f(x)=0，若f(1)=?2，則f(1)+2f(2)+3f(3)+…+2025f(2025)+2025=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

五一期間昆明藍花楹盛開，吸引了很多游客，現(xiàn)隨機采訪了100名來欣賞藍花楹的游客，并將這100人按年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)；

(2)估計這100名游客的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中的中點值代表)．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x?π3)+1．

(1)求f(π3)；

(2)證明：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(π6,1)17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為B1D1的中點．

(1)18.(本小題17分)

已知f(x)=log33+2xa?2x(a>0)是奇函數(shù)．

(1)求a的值及f(x)的定義域；

19.(本小題17分)

設銳角△ABC內(nèi)部的一點O滿足|OA|=|OB|=|OC|，且32cosAOA+cosBsinCAB+cosCsinBAC=0．

(1)證明：OA?OB|OA|2=cos2C答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵復數(shù)z滿足z=?2i，

∴|z|=(?2)2=2．

故選：D2.【答案】C

【解析】解：充分性：當a3=b3時，可得a=b，故充分性成立；

必要性：當a=b時，可得a3=b3，故必要性成立．3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f(x)=8x3+2x?17，

由于y=x3，y=x都是R上的增函數(shù)，則函數(shù)f(x)=8x3+2x?17是增函數(shù)，

又由f(1)=10?17=?7<0，f(32)=30?17=13>0，

可知f(1)f(324.【答案】D

【解析】解：由題意圓錐的底面半徑r=3，圓錐的高是1，

可得圓錐的母線長l=(3)2+12=2，5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=5cos(ωx+φ)的部分圖象可知T4=π8?(?π8)=π4，

所以T=π，

可得f(x)的最小正周期為π．

故選：6.【答案】B

【解析】解：由運算?：a?b=ab?a+b，

可得x?(2x?1)=x(2x?1)?x+2x?1<0，

整理得：2x2?1=(2x?1)(2x+1)<0，∴?22<x<227.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設孩子是男孩記為a，孩子為女孩記為A，

則Ω={aaa,aaA,aAa,Aaa,aAA,AaA,AAa,AAA}，

其中都是男孩為aaa，

故要求概率P=18．

故選：A．

寫出所有樣本，找出符合要求的即可．8.【答案】B

【解析】解：因為|a|=|b|=1，且a與b的夾角為π3，

則|a+b|=a2+2a?b+b2=39.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)正切函數(shù)有意義，可知f(x)的定義域為{x|x≠π2+kπ,k∈Z}，A項不正確；

根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，且f(?x)=e?x?ex2+tan(?x)=?(ex?e?x2+tanx)=?f(x)，

可知f(x)為奇函數(shù)，B項正確；

由于y=ex、y=?e?x均為R上的增函數(shù)，所以g(x)=ex?e?x210.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由題可得|z1|=1，故A正確；

對于B，由題可得|z2|=3，故B正確；

對于C，z1z2=3(cos2π3+isin11.【答案】AC

【解析】解：對于選項A，EF/?/BC，BC?平面BCD，EF?平面BCD，

∴EF/?/平面BCD，故選項A正確；

對選項BC，如圖，作DH⊥AC，交AC于點H，

∵平面ADFC⊥平面ABC，平面ADFC∩平面ABC=AC，DH?平面ADFC，

∴DH⊥平面ABC，

∴在Rt△DHC中，CH=CD?cosπ4=22CD，

∵DC=2BC，∴CH=22CD=22?2BC=2?BC，

∴BCCH=22，

又∠ACB=π4，

∴△BHC是直角三角形，且∠HBC=π2，

∴HB⊥BC，BC?平面ABC，∴DH⊥BC，

又∵DH?平面DHB，HB?面DHB，DH∩HB=H，

∴BC⊥平面DHB，

∵DB?平面DHB，∴BC⊥DB，

∵在三棱臺DEF?ABC中，EF/?/BC，

∴EF⊥DB，∴EF不垂直于DC，故選項B錯誤，故選項C正確；

對于選項D，設BC=1，則BH=1，HC=2，

在Rt△DHC中，DH=2，DC=2，

在Rt△DHB中，DB=DH2+HB2=2+1=3，作HG⊥BD于G，

∵BC⊥平面DHB，HG?平面DHB，

∴BC⊥HG，而BC?平面BCD，BD?平面BCD，BC∩BD=B，

∴HG⊥平面BCD，

∵GC?平面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC=90°，

設DF與平面DBC所成角為12.【答案】(7,8]

【解析】解：集合M有15=24?1個真子集，所以M中包含4個元素，

M={x∈N|3<x<a}={4,5,6,7}，

則7<a≤8．

故答案為：(7,8]

根據(jù)真子集的個數(shù)得M={4,5,6,7}13.【答案】1

【解析】解：∵cos2α=1?2sin2α，∴2sinα=1?cos2α=1?(1?2sin2α)=2sin2α，

∵α∈(0,π)，∴sinα≠0，∴sinα=1．

故答案為：114.【答案】?1

【解析】解：因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(4?x)+f(x)=0，

所以f(?x)=?f(x)，f(0)=0，且f(?x)+f(x+4)=0，f(2)=0，

所以?f(x)+f(x+4)=0，即f(x+4)=f(x)，

所以f(x)的周期為4，

在f(4?x)+f(x)=0中，令x=1得f(3)=?f(1)，

因為f(1)=?2，

所以f(3)=?f(1)=2，

又f(4)=f(0)=0，

所以f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4)=?2+0+6+0=4，

所以當n∈N時，

(4n+1)f(4n+1)+(4n+2)f(4n+2)+(4n+3)f(4n+3)+(4n+4)f(4n+4)

=?2(4n+1)+0+2(4n+3)+0=4，

其中2025=506×4+1，f(2025)=f(1)=?2，

則f(1)+2f(2)+3f(3)+…+2025f(2025)+2025=506×4+2025×(?2)+2025=?1．

故答案為：?1．

根據(jù)題意易得4為一個周期的周期函數(shù)，且f(1)=?2，f(3)=2，f(4)=0，當n∈N時，(4n+1)f(4n+1)+(4n+2)f(4n+2)+(4n+3)f(4n+3)+(4n+4)f(4n+4)=4，從而可求解．

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．15.【答案】52.5；

50歲．

【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，(0.01+0.01+0.02+a+0.02)×10=1，解得a=0.04，

且(0.01+0.01+0.02)×10=0.4<0.5，(0.01+0.01+0.02+0.04)×10=0.8>0.5，

所以第50百分位數(shù)在[50,60)組內(nèi)，設為x，

則有：0.4+0.04×(x?50)=0.5，解得x=52.5．

所以樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為52.5．

(2)設100名游客的平均年齡為x?，由圖可知，

x?=0.1×25+0.1×35+0.2×45+0.4×55+0.2×65=50，

故這100名游客的平均年齡約為50歲．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖先求出a，再由百分位數(shù)定義列式計算求解；

(2)16.【答案】3+1；

證明見解析；

11π【解析】(1)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x?π3)+1，則f(π3)=2sin(2π3?π3)+1=2×32+1=3+1；

(2)由已知，f(π6?x)+f(π6+x)=2sin(?2x)+2sin(2x)+2=2，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(π6,1)對稱；

(3)令f(x)=2sin(2x?π3)+1=0，即sin(2x?π3)=?12，

所以2x?π17.【答案】證明見解析；

63【解析】(1)證明：因為AD1/?/BC1，

又AD1?平面BPC1，BC1?平面BPC1，

所以AD1/?/平面BPC1．

(2)如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，

又C1P?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥C1P.

因為P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1P.

又BB1∩B1P=B1，BB1?平面BB18.【答案】a=3，(?32,32)【解析】(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)+f(x)=0恒成立，

所以log33?2xa+2x+log33+2xa?2x=0，即log39?4x2a2?4x2=log31=0，

所以9?4x2=a2?4x2，即a2=9，因為a>0，

所以a=3，f(x)=log33+2x3?2x，3+2x3?2x>0，解得?32<x<32，

所以函數(shù)f(x)的定義域為(?32,32)．

(2)函數(shù)f(x)=lo19.【答案】證明見解答

A=π6或π3；

【解析】(1)證明：如圖所示，銳角△ABC內(nèi)部的一點O滿足|OA|=|OB|=|OC|，

則O為△ABC的外接圓的圓