第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年吉林省長春市汽開三中高二（下）期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?3x≥0}，B={x|?2<x≤2}，則(A.(?2,0] B.(0,2] C.(0,3] D.(0,2)2.已知函數(shù)f(x)=(x+a?2)(x2+a?1)為奇函數(shù)，則a的值是A.3 B.1或3 C.2 D.1或23.設(shè)a=e?1，b=ln12，A.c<a<b B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b4.已知x∈R，則“x>2”是“l(fā)nx>0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)f(x)=(12)xA.116 B.14 C.4 6.為研究某種植物的生長高度y(單位：cm)與光照時間x(單位：小時)之間的關(guān)系，研究人員隨機測量了12株該種植物的光照時間和生長高度，得到的回歸方程為y=2.5x+30，則樣本(6.5,45.2)的殘差的絕對值為(

)A.1.05 B.1.15 C.1.25 D.1.357.學校放三天假，甲、乙兩名同學打算去敬老院做志愿者，甲同學準備在三天中隨機選一天，乙同學準備在前兩天中隨機選一天，則甲乙選擇同一天的概率是(

)A.12 B.16 C.138.已知函數(shù)f(x)=e|x+1?m|滿足f(1?x)=f(x?1)，則(

)A.f(x)≥f(m) B.f(x?1)≥f(m)

C.函數(shù)f(x)?x有1個零點 D.函數(shù)f(x)?m有1個零點二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列結(jié)論正確的是(

)A.一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)，經(jīng)過分析、計算，得x?=?1，y?=8，y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=?3x+a，則a?=5

B.若隨機變量ξ，η滿足η=3ξ?2，則D(η)=9D(ξ)

C.若隨機變量X～N(2,σ2)，P(X<4)=0.84，則10.甲，乙兩個盒子中裝有除顏色外完全相同的球，其中甲盒子中有3個紅球，4個白球，乙盒子中有2個紅球，3個白球.先從甲盒子中隨機取出一球放入乙盒子，再從乙盒子中隨機取出一球.事件A1=“從甲盒子中取出的球是紅球”，事件A2=“從甲盒子中取出的球是白球”，事件B=“從乙盒子中取出的球是紅球”.A.P(B|A2)=13 B.P(A11.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c滿足f(0)=0A.a+b=c

B.對于任意a>0，f(x)有三個零點

C.對于任意a<0，f(x)有兩個極值點

D.存在a>0，使得點(1,f(1))為曲線y=f(x)對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=2213.已知冪函數(shù)f(x)=(2m?3)xm2?1，則f(?2)=14.已知實數(shù)a，b滿足a>1且b>1，則6loga3b+lo四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在[1,8]上的最大值為3．

(1)求a的值；

(2)當x∈[1,8]時，2?f(x)16.(本小題15分)

甲、乙兩人共同參加某公司的面試，面試分為初試和復試，若初試不通過，則不用參加復試，復試通過則被錄用，否則不被錄用.已知甲通過初試和復試的概率分別為23,13，乙通過初試和復試的概率均為12，兩人是否通過面試相互獨立．

(1)求甲、乙兩人至少有1人通過初試且沒有通過復試的概率；

(2)設(shè)兩人中被錄用的人數(shù)為X17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex+x2，g(x)=xlnx+(a+1)x．

(1)求曲線y=g(x)在(1,g(1)處的切線方程；

(2)若f(x)≥g(x)18.(本小題17分)

2025年春晚舞臺上，機器人扭秧歌表演成為一大亮點.參與表演的機器人Unitree?A1由中國某科技企業(yè)制造，其具備出色的負載能力和環(huán)境適應能力，可應用于巡檢與監(jiān)控、物流運輸、安防與救援等場景.現(xiàn)統(tǒng)計出機器人Unitree?A1在某地區(qū)2024年2月至6月的銷售量，數(shù)據(jù)如表：月份x23456銷售量y4555m70110用最小二乘法得到UnitreeA1的銷售量y關(guān)于月份x的回歸直線方程為y=bx+5.6，且相關(guān)系數(shù)r=0.98，銷售量y的方差sy2=540．

(1)求b?的值(結(jié)果精確到0.1)；

(2)(i)求m的值；

(ii)現(xiàn)從這5個月份中隨機有放回地抽取3次，每次抽取1個月份，設(shè)抽取到銷售量大于60的月份次數(shù)為X，求X的分布列和方差．19.(本小題17分)

為引導鄉(xiāng)村老年人參與全民健身活動，積極倡導和踐行健康生活方式，某鄉(xiāng)村開展“趣味套圈圈玩出‘年輕態(tài)’”志愿者服務活動，旨在豐富老年人的精神文化生活，營造尊老、愛老、敬老的濃厚和諧鄰里氛圍.活動開始，志愿者為大家講解游戲規(guī)則：參加活動的每位老年人均可領(lǐng)2個圈圈且均需用完，一個圈圈只能套一次獎品(獎品為一瓶洗發(fā)水)，每次套中獎品與否相互獨立，套中的獎品可被老年人帶走.已知王大爺每次套中獎品的概率為p(0<p<1)，張大爺每次套中獎品的概率為23p．

(1)若p=13，王大爺套完兩次后，記王大爺套中的獎品的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

(2)王大爺、張大爺都套完兩次后，求兩人總共套中的獎品個數(shù)為參考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.ABD

10.AD

11.AB

12.(0,+∞)

13.?8

14.6

15.解：(1)當0<a<1時，f(x)=logax在[1,8]上單調(diào)遞減，

此時f(x)max=f(1)=0≠3，不滿足題意；

當a>1時，f(x)=logax在[1,8]上單調(diào)遞增，

此時f(x)max=f(8)=loga8=3，

解得a=2；

(2)令m=log2x，

因為x∈[1,8]，所以m∈[0,3]，

所以2?f(x)?f(x)+t≥0?2?m?m+t≥0?t≥m?2?m在16.(1)設(shè)事件A表示“甲、乙兩人至少有1人通過初試且沒有通過復試”，

甲通過初試且沒有通過復試的概率為P1=23×(1?13)=49，

乙通過初試且沒有通過復試的概率為P2=12×(1?12)=14，

所以P(A)=1?(1?P1)(1?P2)=1?(1?49)×(1?14)=X012P7131所以E(X)=1×1317.(1)由于g(1)=a+1，導函數(shù)g′(x)=lnx+a+2，g′(1)=a+2，

因此函數(shù)g(x)在(1,g(1))處的切線為y?(a+1)=(a+2)(x?1)，即(a+2)x?y?1=0．

(2)根據(jù)f(x)≥g(x)可知，ex+x2≥xlnx+(a+1)x，x∈(0,+∞)，

所以exx?lnx+x?(a+1)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，

設(shè)函數(shù)F(x)=exx?lnx+x?(a+1)，那么導函數(shù)F′(x)=(x?1)(ex+x)x2，

當x∈(1,+∞)時，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，

當x∈(0,1)時，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

因此x=1時，函數(shù)F(x)取得最小值為F(1)=e?a，

根據(jù)題意知e?a≥0，即a≤e，因此a的取值范圍為(?∞,e]．

18.(1)根據(jù)題意可知，x?=15(2+3+4+5+6)=4,i=15(xi?x?)2=4+1+0+1+4=10，

由sy2=15i=15(yi?y?)2=540，得i=15(yi?X0123P8365427∴E(X)=0×8125+1×36125+2×54