第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合S={s|s=2π5n+π3,n∈Z}，A.? B.S C.T D.Z2.已知復(fù)數(shù)z=(3+2i)(12+3A.11 B.23 C.3.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)之比為2：3：2，若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，高三年級(jí)抽取的人數(shù)為20人，則n=(

)A.40 B.50 C.60 D.704.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是(

)A.若m//n，n//α，則m//α B.若α⊥β，m?β，則m⊥α

C.若m⊥n，n⊥α，則m//α D.若α//β，m?β，則m//α5.已知π4<α<3π4,?A.?5665 B.5665 C.?6.命題“?x∈[1,2]，2ax+2?a>0”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為(

)A.(?∞,?2) B.(?∞,?2] C.(?∞,2) D.(?∞,2]7.有4張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)”，A2表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為5”，則(

)A.P(A1)=P(A2) B.A1與A2為互斥事件

C.A18.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，M、N分別是BC與AD的中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成角的余弦值為(

)A.23

B.33

C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.若向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a與a+λb的夾角為銳角，則λ的取值范圍是(?53,+∞)

B.若非零向量a，b滿足|a|=|b|=|a?b|，則a與a+b的夾角為60°

C.若向量a，b滿足(a?2b)?b10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若A>B，則cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，則△ABC有兩解

C.若a?c?cosB=a?cosC，則△ABC為等腰三角形或直角三角形

D.若11.若實(shí)數(shù)x，y>0，且滿足x+2y=1，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.xy≤116 B.1x+2y三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a>0，a≠1，若函數(shù)f(x)=loga(12ax213.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，14.甲乙兩人分別獨(dú)立拋擲一枚均勻的骰子，甲擲m+1次，乙擲m次(m≥5,m∈N?)，設(shè)甲投擲出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)為X，乙投擲出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的次數(shù)為Y，則P(X>Y)=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，a+c=15，sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．

(I)求∠C；

(Ⅱ)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．

條件①：cosB=?32；

條件②：b=316.(本小題15分)

2025年5月22日16時(shí)49分，神舟二十號(hào)航天員陳冬、陳中瑞、王杰完成首次出艙任務(wù)，歷時(shí)約8小時(shí).安全返回天和核心艙.為了弘揚(yáng)航天精神，某校組織高一學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)能力測(cè)試.現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)(單位：分)，將所得數(shù)據(jù)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求圖中a的值；

(2)試估計(jì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；

(3)該校準(zhǔn)備對(duì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)不及格(60分以下)的學(xué)生，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽出5名同學(xué)，再從抽取的這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)進(jìn)行情況了解，求這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在[40,50)，[50,60)各一人的概率．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+π3)(ω>0)．

(1)若ω=2，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在區(qū)間(?π3,π6)上有定義．

(i)求ω的最大值；18.(本小題17分)

在四棱錐A?BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，AB=AC．

(1)若點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且平面BCP交棱AE于點(diǎn)Q，求證：PQ//DE；

(2)①證明：AD⊥CE；

②設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C?AD?E的余弦值．19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，?x∈D都有f(m?x)+f(m+x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心．

(1)已知定義R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，且當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=x2，求f(0)，f(1)的值；

(2)探究函數(shù)g(x)=x33?x2是否為中心對(duì)稱函數(shù).若是，請(qǐng)求出對(duì)稱中心并用定義證明；若否，請(qǐng)說明理由．

(3)運(yùn)用第參考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.B

6.A

7.C

8.A

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.(2,+∞)

13.358π314.1215(Ⅰ)由正弦定理及sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，

可得a2+b2=c2+ab，由余弦定理得cosC=12，

由于∠C∈(0,π)，所以∠C=π3；

(Ⅱ)選條件①：cosB=?32，且B是△ABC的內(nèi)角，因此B=5π6，

根據(jù)據(jù)三角形內(nèi)角和定理，則A+5π6+π3=π，化簡(jiǎn)得：A=π?5π6?π3=π?7π6=?π6，

不符合三角形條件；

選條件②：16.(1)由題意可得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；

(2)估計(jì)本次航天知識(shí)能力測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為：

(0.010×45+0.015×55+0.015×65+0.03×75+0.025×85+0.005×95)×10=71；

(3)因?yàn)閇40,50)，[50,60)的頻率比為0.010：0.015=2：3，

設(shè)抽取的5人中[40,50)有2人為a，b、[50,60)有3人為A，B，C，

任抽2人有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10種情況，

其中分?jǐn)?shù)在[40,50)，[50,60)各一人有aA，aB，aC，bA，bB，bC，共6種情況，

故所求為61017.(1)當(dāng)ω=2時(shí)，f(x)=tan(2x+π3)，

則T=π2；

(2)(i)當(dāng)x∈(?π3,π6)時(shí)，ωx+π3∈(?ωπ3+π3,ωπ6+π3)，ω>0，

若f(x)在(?π3,π6)上有定義，則?ωπ3+π3≥?π2ωπ6+π3≤π218.(1)證明：因?yàn)榈酌鍮CDE為矩形，所以BC//DE，

又因?yàn)锽C?平面ADE，DE?平面ADE，

所以BC//平面ADE．

因?yàn)锽C?平面BCP，平面BCP∩平面ADE=PQ，

所以BC//PQ，

又因?yàn)锽C//DE，

所以PQ//DE；

(2)①證明：取BC的中點(diǎn)F，連接FD，

設(shè)FD∩CE=O，

因?yàn)锳B=AC，所以AF⊥BC，

因?yàn)閭?cè)面ABC⊥底面BCDE，側(cè)面ABC∩底面BCDE=BC，AF?平面ABC，

所以AF⊥平面BCDE，

因?yàn)镃E?平面BCDE，所以AF⊥CE，

因?yàn)榈酌鍮CDE為矩形，且BC=2，CD=2，BC的中點(diǎn)F，

可得tan∠CDF=CFCD=12=22，

tan∠CED=CDDE=22

可得∠CDF=∠CED，

所以∠ECD+∠FDC=90°，

所以CE⊥FD，

因?yàn)锳F∩FD=F，AF，F(xiàn)D?平面AFD，

所以CE⊥平面AFD，

因?yàn)锳D?平面AFD，

所以AD⊥CE；

②解：在面ACD內(nèi)過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足為G，連接EG，

因?yàn)榈酌鍮CDE為矩形，所以CD⊥BC，BE⊥BC，

由題意知CD⊥平面ABC，

由①知，AD⊥CE，

因?yàn)镃E∩CG=C，

所以AD⊥平面CEG，

因?yàn)镋G?平面CEG，所以AD⊥EG，

所以∠CGE即為所求二面角C?AD?E的平面角．

因?yàn)锳F⊥平面BCDE，DF?平面BCDE，所以AF⊥DF，

因?yàn)閭?cè)面ABC為等邊三角形，BC=2，

所以AF=22?12=3，

因?yàn)镃D=2，CF=1，所以DF=3，

所以AD=3+319.解；(1)由在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，得f(1?x)+f(1+x)=2，

則f(0)+f(2)=2，f(1)+f(1)=2，∴f(1)=1，

當(dāng)x≥2時(shí)，f