第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省三明市高二（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<x≤6}，B={2,4,6,8}，則A∩B=(

)A.{6} B.{2,4} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}2.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,14)，則該函數(shù)的解析式為A.f(x)=1x2 B.f(x)=x2 3.已知x∈R且x≠0，那么“1x<1”是“x>1”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上是減函數(shù)的是(

)A.y=x?1 B.y=lnx2 C.y=cosx5.由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)共有(

)A.24個(gè) B.72個(gè) C.96個(gè) D.120個(gè)6.若函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a≥0 B.a≤0 C.a≥?4 D.a≤?47.已知隨機(jī)變量ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≤?1)=P(ξ≥a)，則1xA.143 B.163 C.2038.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=13f(x)，當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)=12?2x2,0≤x<1?21?|x?65A.(?∞,?2] B.(?∞,412] C.(?∞,?22]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中，正確的是(

)A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.3x+10中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量將平均減少0.3個(gè)單位

B.兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)中，根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2=4.138(x0.05=3.841)，推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.0510.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=12，P(AB)=512，P(B|A.P(B|A)=56 B.P(AB?)=111.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)(3,2)，對(duì)于一切正實(shí)數(shù)m，n，都有f(mn)=f(m)+f(n)?1，當(dāng)x∈(13,+∞)時(shí)，f(x)>0恒成立，則A.f(9)=3

B.方程[f(x)?1]f(x)=0所有根的和為79

C.f(x)在(?∞,0)上是單調(diào)函數(shù)

D.不等式[f(x)]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x2?2x+y)5的展開(kāi)式中13.《數(shù)術(shù)記遺》記述了我國(guó)古代十余種算法.甲、乙、丙三人擬收集該書(shū)中運(yùn)籌算、九宮算、了知算、成數(shù)算和把頭算等5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個(gè)人收集，則不同的分工收集方案有______種.14.已知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈，若?a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)可以作為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)g(x)是D上的“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=exx2+m是[四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在高考志愿模擬填報(bào)中，學(xué)生甲對(duì)10個(gè)專(zhuān)業(yè)感興趣，其中包括3個(gè)人工智能類(lèi)、5個(gè)電子信息類(lèi)和2個(gè)新能源類(lèi)專(zhuān)業(yè).他計(jì)劃從這10個(gè)專(zhuān)業(yè)中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行填報(bào)，每個(gè)專(zhuān)業(yè)被選中的可能性相同．

(1)求甲至少填報(bào)3個(gè)電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的概率；

(2)若甲填報(bào)人工智能類(lèi)專(zhuān)業(yè)的數(shù)量為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)．

(1)若f(1)=e，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(ln2,f(ln2))處的切線方程；

(2)已知0<a<1，若關(guān)于x的不等式f(2mx)<f(x2+1)f(x+3)17.(本小題15分)

某大學(xué)為了解數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生招生的情況，對(duì)近五年的報(bào)考人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20202021202220232024年份代碼t12345報(bào)考人數(shù)y306595135175(1)經(jīng)分析，y與t存在顯著的線性相關(guān)性，求y關(guān)于t的線性回歸方程y?=b?t+a?，并預(yù)測(cè)2025年的報(bào)考人數(shù)；

(2)每年報(bào)考該專(zhuān)業(yè)研究生的考試成績(jī)大致符合正態(tài)分布N(370,152)，錄取方案：總分在400分以上的直接錄??；在[355,400]之間的進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，錄取其中的50%；低于355分的不予錄取.請(qǐng)預(yù)測(cè)2025年報(bào)考該專(zhuān)業(yè)考生中被錄取的人數(shù)(最后結(jié)果四舍五入，保留整數(shù))．

參考數(shù)據(jù)：i=15(ti?t?)(18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2lnx?2ax，g(x)=ax2?2x?2(a∈R)．

(1)若a=12，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若a∈Z，且不等式f(x)≤g(x)在19.(本小題17分)

某芯片廠生產(chǎn)高端人工智能芯片須經(jīng)過(guò)性能測(cè)試，已知通過(guò)測(cè)試I的概率為40%，未通過(guò)測(cè)試I的芯片須進(jìn)入測(cè)試Ⅱ，通過(guò)率為p(0<p<1)，通過(guò)任意一次測(cè)試即為合格芯片，已知一枚芯片合格，則該芯片是通過(guò)測(cè)試I的概率為θ．

(1)求θ(結(jié)果用p表示)；

(2)切比雪夫不等式是概率論中關(guān)于隨機(jī)變量偏離其均值的概率定理，其形式如下：設(shè)隨機(jī)變量X的期望為E(X)，方差為D(X)，則對(duì)任意?>0，均有P(|X?E(X)|≥ε)≤D(X)?2.請(qǐng)結(jié)合該定理解決下列兩個(gè)問(wèn)題：

(i)若廠商聲稱(chēng)該廠芯片通過(guò)測(cè)試Ⅱ的概率為50%，現(xiàn)質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)隨機(jī)抽取了該廠生產(chǎn)的100枚芯片，經(jīng)檢測(cè)有40枚合格，請(qǐng)說(shuō)明該廠商的說(shuō)法是否可信(注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱(chēng)事件A為小概率事件)；

(ⅱ)為估計(jì)θ，工廠隨機(jī)抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過(guò)測(cè)試I，記θ=k答案解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x|1<x≤6}，B={2,4,6,8}，

則A∩B={2,4}．

故選：B．

根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．

本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為冪函數(shù)，

故可設(shè)f(x)=xα，

由題意可知，2α=14，

所以α=?2，

所以f(x)=x?2，即f(x)=1x2．

3.【答案】B

【解析】解：1x<1，可得1?xx<0，即x(x?1)>0，可得x>1或x<0，

故“1x<1”是“x>1”的必要不充分條件．

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，y=x?1在(0,+∞)是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，y=lnx2在(0,+∞)單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，f(x)=cosxx,f(π2)=0,f(3π2)=0，故f(x)在(0,+∞)上不是減函數(shù)，C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，y=?x2為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為y軸，故y=?x2為偶函數(shù)又在(0,+∞)5.【答案】C

【解析】解：若組成的4位數(shù)不含0，則有A44=24個(gè)4位數(shù)；

若組成的4位數(shù)含0，因?yàn)?不能在首位，所以首位有A41=4種排法，

后面的3位數(shù)有C32×A33=18種排法，

所以含0的4位數(shù)有4×18=72個(gè)．

所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得符合題意的4位數(shù)共有24+72=96個(gè)．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．

求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，得到g(x)=2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)時(shí)恒成立，從而求出a的范圍即可．

解：∵函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax≤0，

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(1,σ2)，且P(ξ≤?1)=P(ξ≥a)，

所以?1+a2=1，所以a=3，

所以1x+93?x=13[x+(3?x)](1x+93?x)=13[10+9x3?x+3?xx]，8.【答案】A

【解析】解：當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=12?2x2>12?2=32，

當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，f(x)=?21?|x?65|≥?2，當(dāng)x=65時(shí)取等號(hào)，

所以x∈[0,2)時(shí)，f(x)min=?2，

當(dāng)x∈[?2,0)時(shí)，x+2∈[0,2)，f(x)=3f(x+2)，所以f(x)min=?2×3=?6，

當(dāng)x∈[?4,?2)時(shí)，x+2∈[?2,0)，f(x)=3f(x+2)，所以f(x)min=?6×3=?18，

綜上當(dāng)x∈[?4,2)時(shí)，f(x)min=?18，

g′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，x∈[?4,2)，

由g′(x)>0??4≤x<?2或0<x<2；由g′(x)<0??2<x<0，

所以函數(shù)g(x)在[?4,?2)和(0,2)上單調(diào)遞增，在(?2,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在[?4,?2)的極小值為f(0)=m，

又f(?4)=?64+48+m=m?16，

所以函數(shù)g(x)在[?4,?2)的最小值為f(?4)=m?16，

因?yàn)?.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.3x+10中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量將平均減少0.3個(gè)單位，故A正確；

對(duì)于B，兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近于1，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)棣?=4.138>3.841=x0.05，

所以推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，故C正確；

對(duì)于D，決定系數(shù)R2越大，模型擬合效果越好，故D錯(cuò)誤．

故選：AC．

根據(jù)回歸方程的意義判斷A的真假；根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷B10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，因?yàn)镻(A)=12，P(AB)=512，則P(B|A)=P(AB)P(A)=51212=56，故A正確；

對(duì)于B，由P(A)=P(AB)+P(AB?)，則有P(AB?)=P(A)?P(AB)=12?512=112，故B正確；

對(duì)于C，11.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(3,2)，所以f(3)=2，

對(duì)于A，令m=n=3，f(9)=f(3)+f(3)?1=2f(3)?1=3，故A正確；

對(duì)于C，當(dāng)x>0時(shí)，令m=n=1，f(1)=f(1)+f(1)?1，

得f(1)=1；

令m=x，n=1x，

則有f(1)=f(x)+f(1x)?1，得f(x)+f(1x)=2，

故f(3x1)+f(13x1)=2，即f(3x1)=2?f(13x1)，

又f(3x1)=f(3)+f(x1)?1=2+f(x1)?1=f(x1)+1，

即f(x1)=f(3x1)?1，

所以f(x1)=2?f(13x1)?1=1?f(13x1)，

設(shè)x2>x1>0，

則f(x2)?f(x1)=f(x2)?[1?f(13x1)]=f(x2)+f(13x1)?1=f(x23x1)，

因?yàn)閤2>x1>0，所以x2x1>1，x23x1>13，

又因?yàn)楫?dāng)x∈(13,+∞)時(shí)，f(x)>0恒成立，

所以f(x23x1)>0，

即f(x2)?f(x1)=f(x23x1)>0，

故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又f(0)=0，且函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，

則f(x)在(?∞,0)上是單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于B，方程[f(x)?1]f(x)=0的根即為f(x)=0或f(x)=1的根，

因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(?∞,0)上是單調(diào)遞增，

所以f(x)=1有兩個(gè)根，

又因?yàn)閒(1)=1；

令m=13,n=13，f(19)=f(13)+f(13)?1=?1，

則f(?19)=?f(19)=1；

所以f(x)=1有兩個(gè)根為1,?19，

所以f(x)=0有3個(gè)根，

令m=3,n=112.【答案】?60

【解析】解：二項(xiàng)式(x2?2x+y)5的通項(xiàng)公式為：TK+1=C5k(x2?2x)5?kyk，k=0，1，2，3，4，5，

令k=2，得T3=C52(x2?2x)3y2=10(x2?2x)13.【答案】150

【解析】解：5種算法按1，1，3或1，2，2分成三組，有C51C41C33A22+C51C42C22A22=25種方法，

再安排給3人，則不同的分工收集方案2514.【答案】(4【解析】解：因?yàn)閒(x)=exx2+m是[12,3]上的“三角形函數(shù)”，

所以f′(x)=ex?x2?ex?2xx4=ex?(x?2)x3(12≤x≤3)．

當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈[12,2)時(shí)，f′(x)<0；

所以f(x)在(2,3]上單調(diào)遞增，在[12,2)上單調(diào)遞減，

所以f(x)min15.【答案】1142；

分布列見(jiàn)解析，期望為65【解析】(1)甲選4個(gè)專(zhuān)業(yè)的方法數(shù)是C104，至少填報(bào)3個(gè)電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)方法數(shù)為C51C53+C54，

因此甲至少填報(bào)3個(gè)電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的概率為P=C51C53+C54X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．

(1)根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算；

(2)X的可能值為16.【答案】y=2x?2ln2+2；

[52【解析】(1)函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)，

因?yàn)閒(1)=e，所以a=e，故f(x)=ex，

所以f′(x)=ex．

因?yàn)閒(ln2)=eln2=2，f′(ln2)=eln2=2，

所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(ln2,f(ln2))處的切線方程為：

y?2=2(x?ln2)，即y=2x?2ln2+2．

(2)因?yàn)閒(2mx)≤f(x2+1)f(x+3)?a2mx≤ax2+1?ax+3=ax2+x+4，

由0<a<1，所以2mx≥x2+x+4，

等價(jià)于2m≥x2+x+417.【答案】y=36t?8；208；

90【解析】(1)因?yàn)閠?=15(1+2+3+4+5)=3，y?=15(30+65+95+135+175)=100，

i=15(ti?t?)2=(1?3)2+(2?3)2+(3?3)2+(4?3)2+(5?3)2=10．

所以b=i=1a(ti?t?)(yi?y?)i=15(ti?t?18.【答案】極大值為：f

=2ln2?2；無(wú)極小值．

2．

【解析】(1)當(dāng)a=12時(shí)，函數(shù)f(x)=2lnx?x，x>0．

因此導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x?1=2?xx，x>0．

由f′(x)<0?x>2；由f′(x)>0?0<x<2，

因此f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x=2時(shí)，f(x)有極大值，為f(2)=2ln2?2；無(wú)極小值．

(2)由于a∈Z，且f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立．

因此2lnx?2ax≤ax2?2x?2在(0,+∞)上恒成立．

即ax2+2ax≥2lnx+2x+2在(0,+∞)上恒成立．

設(shè)函數(shù)?(x)=x?lnx?1，x>0．

那么導(dǎo)函數(shù)?′(x)=1?1x=x?1x．

由?′(x)<0?0<x<1；