一次函數(shù)的性質(zhì)專項(xiàng)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)1：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0)性質(zhì)k＞0時，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關(guān)系.（1）k>0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經(jīng)過一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經(jīng)過一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經(jīng)過二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經(jīng)過二、四象限?！绢}型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】【例1】（23-24九年級·上海寶山·期中）如果ab<0，ac<0，則直線y=?aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-1】（23-24九年級·浙江杭州·期中）一次函數(shù)y=(m+1)x?2m+3的圖象一定經(jīng)過第象限．【變式1-2】（23-24九年級·河北唐山·期中）一次函數(shù)y=k+1x+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P，且k>?1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為（A．5,4 B．?1,2 C．?2,?2 D．5,?1【變式1-3】（23-24九年級·四川達(dá)州·期中）如果ab>0，ac<0則直線y=?ab【題型2確定一次函數(shù)的增減性】【例2】（23-24九年級·河北石家莊·期中）如圖，一個函數(shù)的圖象由射線BA、線段BC、射線CD組成，其中點(diǎn)A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），則此函數(shù)(

)A．當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大 B．當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小C．當(dāng)x>2時，隨的增大而增大 D．當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而減小【變式2-1】（23-24九年級·吉林長春·期末）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x?4 D．y=?x+3【變式2-2】（23-24九年級·安徽蚌埠·期末）在一次函數(shù)y=?23x+13的圖像上任取不同兩點(diǎn)P1xA．y2?y1x2?x1【變式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】【例3】（23-24九年級·寧夏銀川·期中）如果直線y=2?kx+k不經(jīng)過第二象限，那么k的取值范圍是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【變式3-1】（23-24九年級·河南駐馬店·期中）已知點(diǎn)A(?1,2)、B(3,2)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則b的取值范圍為．【變式3-2】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)?2,3的直線l經(jīng)過一、二、三象限，若點(diǎn)0,a，?1,b，c,?1都在直線l上，則下列判斷正確的是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)<3 C．b<3 D．c<?2【變式3-3】（23-24九年級·江蘇南通·期中）已知過點(diǎn)1,3的直線y=ax+ba≠0不經(jīng)過第四象限，設(shè)S=a+2b，則S的取值范圍為（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】【例4】（23-24九年級·湖南長沙·期中）對某一個函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M>0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．若函數(shù)y=?x+1(a≤x≤b，b>a)的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，則b的取值范圍是．

【變式4-1】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）若一次函數(shù)y=k?2x?1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則A．1 B．52 C．32 【變式4-2】（2024·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)a≤x≤a+3（其中a為常數(shù)）時．函數(shù)y=x?1的最小值為2a+4，則滿足條件的a的值為（

）A．－5 B．－2 C．?32【變式4-3】（23-24九年級·福建福州·期末）我是一條直線，很有名氣的直線，數(shù)學(xué)家們給我命名為y=kx+bk≠0．在我的圖象上有兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【題型5比較一次函數(shù)值的大小】【例5】（23-24九年級·山東聊城·期末）一次函數(shù)y=?x+b的圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?13,y1,?1,A．y1<yC．y3<y【變式5-1】（23-24九年級·廣西崇左·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,a)和點(diǎn)B(?2,b)是一次函數(shù)y=?12x+c圖象上的兩點(diǎn)，則a【變式5-2】（23-24九年級·江西撫州·期中）已知一次函數(shù)y=?2x+1的圖象經(jīng)過P1m,a，P2m+1,b兩點(diǎn)，則a【變式5-3】（23-24九年級·福建廈門·期末）點(diǎn)M(a,2)、N(b,3)是一次函數(shù)y=2x?3圖像上兩點(diǎn)，則ab（填“>”、“=”或”<”）．【題型6一次函數(shù)中的對稱性問題】【例6】（23-24九年級·陜西西安·開學(xué)考試）若直線y=kx+2與直線y=?3x+b關(guān)于直線x=?1對稱，則k、b值分別為（

）A．k=?3、b=?2 B．k=3、b=?2 C．k=3、b=?4 D．k=3、b=4【變式6-1】（23-24九年級·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,m在第一象限，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B在直線y=?x+1上，則m的值為（

A．-1 B．1 C．2 D．3【變式6-2】（23-24九年級·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(?3,0),B(1,4)，直線BC交x軸于4,0，過點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)(1)求直線BC和直線AD的關(guān)系式；(2)點(diǎn)M在直線AD上，且△ABM與△ABO的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式6-3】（2024·江西南昌·一模）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)．請寫出函數(shù)y＝2x+1的反函數(shù)的解析式．知識點(diǎn)2：兩直線的位置關(guān)系同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線，的位置關(guān)系：的關(guān)系與的關(guān)系與相交，與相交于y軸上的一點(diǎn)，與平行【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】【例7】（23-24九年級·福建南平·期末）探究活動一：如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)在直線AB上的三點(diǎn)A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5?32?1=2，kAC=9?34?1=2，kAB=kAC（1）請你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過S?2,?2，T4,2兩點(diǎn)的直線ST的斜率探究活動二：數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值．（2）如圖2，直線DE與直線DF垂直于點(diǎn)D，且D2,2，E1,4，F(xiàn)4,3．請求出直線DE綜合應(yīng)用：（3）如圖3，M1,2，N4,5，請結(jié)合探究活動二的結(jié)論，求出過點(diǎn)N且與直線【變式7-1】（23-24九年級·遼寧鞍山·階段練習(xí)）函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象平行于直線y=3x+2，且交y軸于點(diǎn)0,?1，則其函數(shù)表達(dá)式是【變式7-2】（2024·河北石家莊·一模）某個一次函數(shù)的圖象與直線y=12x+3平行，與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，并且過點(diǎn)?2,?4，則在線段AB上（包括點(diǎn)A，BA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式7-3】（23-24九年級·遼寧葫蘆島·期末）數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+b上的任意三點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直線y=kx+b經(jīng)過A2,3，B4,?2兩點(diǎn)，請直接寫出(2)如圖，直線y1⊥y2于點(diǎn)A，直線y1，y2分別交y軸于B，C兩點(diǎn)，A，【題型8兩直線的相交問題】【例8】（23-24九年級·四川自貢·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A9,0，且與正比例函數(shù)y=?2x交于點(diǎn)B3,m【變式8-1】（23-24九年級·遼寧沈陽·期中）如圖，已知直線y1=?2x+3和y2=mx?1分別交y軸于點(diǎn)A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面積．【變式8-2】（23-24九年級·四川達(dá)州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=?23x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線y2(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)求△ABO的面積；(3)若△ABO被直線CP分成的兩部分的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線CP的函數(shù)表達(dá)式．

【變式8-3】（23-24九年級·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB:y1=kx+3分別與y軸，x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線CD:y2=ax+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C(?6,0)，點(diǎn)

(1)求k，a，b的值．(2)連接OM，試說明S△BCM(3)若x軸上存在點(diǎn)P，使得S三角形APM=12【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】【例9】（23-24九年級·四川內(nèi)江·期中）對于幾個實(shí)數(shù)a、b、c，我們規(guī)定符號min{a,b,c}表示a、b、c中較小的數(shù)，如：min{2,?1,4}=?1．按照這個規(guī)定，已知函數(shù)：y=minx,1【變式9-1】（2024·四川南充·二模）如圖，直線y=kx+3與直線y=?12x交于點(diǎn)A?2,1，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)Mm,y1在線段AB上，點(diǎn)N【變式9-2】（23-24九年級·北京海淀·期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)M4,3，N?3,2，

(1)若一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過已知三個點(diǎn)中的某一點(diǎn)，求b的最大值；(2)當(dāng)k>14時，在圖中用陰影表示直線y=kx+1運(yùn)動的區(qū)域，并判斷在點(diǎn)M，N，P中直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是【變式9-3】（23-24九年級·天津薊州·期末）如圖，直線l1:y1=x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2:y2=kx+4與

(1)求直線l2的解析式及點(diǎn)M(2)點(diǎn)P是直線l1①當(dāng)S△ABP=5時，求點(diǎn)②點(diǎn)Q是x軸上一動點(diǎn)，在①的條件下，當(dāng)QP+QM取最小值時，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題型10一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用】【例10】（23-24九年級·河南商丘·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(0,4)，C(?3,2)．(1)求三角形ABC的面積．(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，①請直接寫出線段AP的長為；(用含m的式子表示)②當(dāng)S△PAB=2S(3)若AC交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式10-1】（2024·陜西西安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置三個長為2，寬為1的長方形，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)B，則k與b的值為（

）A．k=32，b=34 B．kC．k=?34，b=?32 D．k【變式10-2】（2024·陜西·一模）問題探究：（1）將一直角梯形ABCD放在如圖1所示的正方形網(wǎng)格（圖中每個小正方形的邊長均為一個單位長度）中，梯形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請你在圖中作一條直線l，使它將梯形ABCD分成面積相等的兩部分；（畫出一種即可）（2）如圖2，l1∥l2，點(diǎn)A、D在l1上，點(diǎn)B、C在l2上，連接AC、BD，交于點(diǎn)O，連接問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，不規(guī)則五邊形ABCDE是李大爺家的一塊土地的示意圖，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上，CD邊在x軸正半軸上，AE平行于x軸，AE的中點(diǎn)P處有一口灌溉水井，現(xiàn)結(jié)合實(shí)際耕種需求，需在CD上找一點(diǎn)Q，使PQ將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿PQ修一條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計(jì)）．①請你利用有刻度的直尺在圖中畫出PQ的位置，并簡要說明作圖過程；②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，請求出直線PQ的解析式．【變式10-3】（23-24九年級·山西大同·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b，且實(shí)數(shù)a，b滿足a+42

(1)如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，點(diǎn)B為垂足．若將點(diǎn)A向右平移10個單位長度，再向下平移8個單位長度可以得到對應(yīng)點(diǎn)C，連接CA，CB，請直接寫出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)并求出三角形ABC的面積．(3)在（2）的條件下，記AC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在y軸上，連接PB，PD，若三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案知識點(diǎn)1：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0)性質(zhì)k＞0時，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關(guān)系.（1）k>0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經(jīng)過一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經(jīng)過一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經(jīng)過二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經(jīng)過二、四象限?！绢}型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】【例1】（23-24九年級·上海寶山·期中）如果ab<0，ac<0，則直線y=?abx?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】解：∵ab<0，ac<0，∴a,b異號，a,c異號，∴?ab>0∴?c一次函數(shù)y=?a故選B【變式1-1】（23-24九年級·浙江杭州·期中）一次函數(shù)y=(m+1)x?2m+3的圖象一定經(jīng)過第象限．【答案】一【詳解】解：∵該函數(shù)為一次函數(shù)，∴m+1≠0，即m≠?1分類討論：①當(dāng)m+1>0，即m>?1時，∴?2m+3<5，∴此時該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、三象限．當(dāng)0<?2m+3<5時，經(jīng)過第二象限，當(dāng)?2m+3<0時，經(jīng)過第四象限；②當(dāng)m+1<0，即m<?1時，∴?2m+3>7，∴此時該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，綜上可知，該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一象限．故答案為：一．【變式1-2】（23-24九年級·河北唐山·期中）一次函數(shù)y=k+1x+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P，且k>?1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為（A．5,4 B．?1,2 C．?2,?2 D．5,?1【答案】D【詳解】解：∵k>?1，∴k+1>0，∴y的值隨x值的增大而增大，又∵3>0，∴一次函數(shù)y=k+1∵5,?1在第四象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為5,?1．故選：D．【變式1-3】（23-24九年級·四川達(dá)州·期中）如果ab>0，ac<0則直線y=?ab【答案】一【詳解】∵ab＞0，ac∵a、b同號，a、c異號，當(dāng)a＞0，b＞0時，c＜0，∴ab＞0，c∴直線y=-abx+c當(dāng)a＜0，b＜0時，c＞0，∴ab＞0，c∴直線y=?a∴這條直線不經(jīng)過第一象限，故答案為：一．【題型2確定一次函數(shù)的增減性】【例2】（23-24九年級·河北石家莊·期中）如圖，一個函數(shù)的圖象由射線BA、線段BC、射線CD組成，其中點(diǎn)A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），則此函數(shù)(

)A．當(dāng)x<2時，y隨x的增大而增大 B．當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小C．當(dāng)x>2時，隨的增大而增大 D．當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而減小【答案】C【詳解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），∴由圖象可知：當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)1≤x≤2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大，故選：C．【變式2-1】（23-24九年級·吉林長春·期末）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x?4 D．y=?x+3【答案】D【詳解】解：A、∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；B、∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；C、∵k=1>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；D、∵k=?1<0，∴y隨x的增大而減小，該選項(xiàng)不合題意；故選：D．【變式2-2】（23-24九年級·安徽蚌埠·期末）在一次函數(shù)y=?23x+13的圖像上任取不同兩點(diǎn)P1xA．y2?y1x2?x1【答案】A【詳解】解：∵?2∴y隨x的增大而減小，當(dāng)x2>x∴y2故選：A．【變式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【答案】＜【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?4x+5，y隨x增大而減小，∴當(dāng)x1<x∴x1∴W=x當(dāng)x1>x∴x1∴W=x故答案為：＜．【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】【例3】（23-24九年級·寧夏銀川·期中）如果直線y=2?kx+k不經(jīng)過第二象限，那么k的取值范圍是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【答案】A【詳解】解：∵不經(jīng)過第二象限，∴2?k>0，且k≤0，∴k≤0，故選：A【變式3-1】（23-24九年級·河南駐馬店·期中）已知點(diǎn)A(?1,2)、B(3,2)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則b的取值范圍為．【答案】1≤b≤5【詳解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），∴若過A點(diǎn)，則2＝1+b，解得b＝1，若過B點(diǎn)，則2＝﹣3+b，解得b＝5，∴1≤b≤5．故答案：1≤b≤5．【變式3-2】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)?2,3的直線l經(jīng)過一、二、三象限，若點(diǎn)0,a，?1,b，c,?1都在直線l上，則下列判斷正確的是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)<3 C．b<3 D．c<?2【答案】D【詳解】解：∵直線l經(jīng)過第一、二、三象限且過點(diǎn)?2,3，∴y隨x的增大而增大．∵?2<?1<0，∴3<b<a，∴A、B、C均錯；∵點(diǎn)c,?1在直線l上，∴c<?2．故選D．【變式3-3】（23-24九年級·江蘇南通·期中）已知過點(diǎn)1,3的直線y=ax+ba≠0不經(jīng)過第四象限，設(shè)S=a+2b，則S的取值范圍為（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【答案】B【詳解】∵過點(diǎn)1,3的直線y=ax+ba≠0∴a＞0，b≥0，∴b=3?a，∴3?a≥0a>0，解得：0<a≤3∴S=a+2b=a+23?a∵?3≤?a<0，∴3≤6?a<6，即S的取值范圍為：3≤S<6，故選B．【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】【例4】（23-24九年級·湖南長沙·期中）對某一個函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M>0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．若函數(shù)y=?x+1(a≤x≤b，b>a)的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，則b的取值范圍是．

【答案】?1<b≤3【詳解】解：∵k=-1，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=a時，-a+1=2，解得a=-1，而x=b時，y=-b+1，∴-2≤-b+1≤2，且b＞a，∴-1＜b≤3．故答案為-1＜b≤3．【變式4-1】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）若一次函數(shù)y=k?2x?1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則A．1 B．52 C．32 【答案】B【詳解】解：∵一次函數(shù)y=k?2x?1的函數(shù)值y隨著∴k?2>0，解得k>2．所以k的值可以是52【變式4-2】（2024·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)a≤x≤a+3（其中a為常數(shù)）時．函數(shù)y=x?1的最小值為2a+4，則滿足條件的a的值為（

）A．－5 B．－2 C．?32【答案】A【詳解】解：∵k=1>0∴函數(shù)y=x?1的函數(shù)值隨著x的增大而增大，當(dāng)a≤x≤a+3時，則當(dāng)x=a時取得最小值2a+4，即a?1=2a+4，解得a=?5，故選：A【變式4-3】（23-24九年級·福建福州·期末）我是一條直線，很有名氣的直線，數(shù)學(xué)家們給我命名為y=kx+bk≠0．在我的圖象上有兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【答案】A【詳解】解：將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式得，y1兩式相減得，y1所以k=y因?yàn)閗>0，所以y1則(y所以(x則m>0．故選：A．【題型5比較一次函數(shù)值的大小】【例5】（23-24九年級·山東聊城·期末）一次函數(shù)y=?x+b的圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?13,y1,?1,A．y1<yC．y3<y【答案】C【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?x+b中的k=?1<0，∴y隨x的增大而減小，∵?1<?1∴y2故選：C．【變式5-1】（23-24九年級·廣西崇左·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,a)和點(diǎn)B(?2,b)是一次函數(shù)y=?12x+c圖象上的兩點(diǎn)，則a【答案】＜【詳解】解：把A(1,a),B(?2,b)代入一次函數(shù)y=?1?①-②得：a?b=?3∴a<b,故答案為：<．【變式5-2】（23-24九年級·江西撫州·期中）已知一次函數(shù)y=?2x+1的圖象經(jīng)過P1m,a，P2m+1,b兩點(diǎn)，則a【答案】>【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?2x+1中的?2<0，∴該函數(shù)圖象是直線，且y的值隨x的增大而減小，∵m+1>m，∴a>b．故答案為：>．【變式5-3】（23-24九年級·福建廈門·期末）點(diǎn)M(a,2)、N(b,3)是一次函數(shù)y=2x?3圖像上兩點(diǎn)，則ab（填“>”、“=”或”<”）．【答案】<【詳解】解：∵k=2>0，∴一次函數(shù)y隨x增大而增大，同理當(dāng)y越大時x也越大，∵2＜3，∴a<b．故答案為<．【題型6一次函數(shù)中的對稱性問題】【例6】（23-24九年級·陜西西安·開學(xué)考試）若直線y=kx+2與直線y=?3x+b關(guān)于直線x=?1對稱，則k、b值分別為（

）A．k=?3、b=?2 B．k=3、b=?2 C．k=3、b=?4 D．k=3、b=4【答案】C【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+2與y軸交點(diǎn)為0,2，∴點(diǎn)0,2關(guān)于直線x=?1的對稱點(diǎn)為?2,2，把?2,2代入直線y=?3x+b，可得2=?3×?2解得b=?4，則y=?3x+b=?3x?4，一次函數(shù)y=?3x?4與y軸交點(diǎn)為0,?4，0,?4關(guān)于直線x=?1的對稱點(diǎn)為?2,?4，代入直線y=kx+2，可得?4=?2k+2，解得k=3．故選：C．【變式6-1】（23-24九年級·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,m在第一象限，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B在直線y=?x+1上，則m的值為（

A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，﹣m），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y＝﹣x+1得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，故選：B．【變式6-2】（23-24九年級·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(?3,0),B(1,4)，直線BC交x軸于4,0，過點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)(1)求直線BC和直線AD的關(guān)系式；(2)點(diǎn)M在直線AD上，且△ABM與△ABO的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則k+b=44k+b=0解得：b=16∴直線BC的解析式為：y=?4∵AD∴設(shè)直線AD的解析式為：y=?4則0=?4解得：b∴直線AD的解析式為：y=?4（2）解：如圖所示：過點(diǎn)O作AB的平行線l，設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，則?3m+n=0m+n=4解得：m=1n=3∴直線AB的解析式為：y=x+3，則直線l的解析式為：y=x，∵點(diǎn)M在直線AD上，且△ABM與△ABO的面積相等，∴點(diǎn)M是直線AD與直線l的交點(diǎn)則y=xy=?解得：x=?∴M點(diǎn)M?127,?綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為?127【變式6-3】（2024·江西南昌·一模）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)．請寫出函數(shù)y＝2x+1的反函數(shù)的解析式．【詳解】y＝2x+1，當(dāng)x＝0時，y＝1，當(dāng)y＝0時，x＝﹣12即函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（﹣12所以兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣12設(shè)反函數(shù)的解析式是y＝kx+b，代入得：b=?1解得：k＝12，b＝﹣1即y＝12x﹣1故答案為y＝12x﹣1知識點(diǎn)2：兩直線的位置關(guān)系同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線，的位置關(guān)系：的關(guān)系與的關(guān)系與相交，與相交于y軸上的一點(diǎn)，與平行【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】【例7】（23-24九年級·福建南平·期末）探究活動一：如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)在直線AB上的三點(diǎn)A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5?32?1=2，kAC=9?34?1=2，kAB=kAC（1）請你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過S?2,?2，T4,2兩點(diǎn)的直線ST的斜率探究活動二：數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值．（2）如圖2，直線DE與直線DF垂直于點(diǎn)D，且D2,2，E1,4，F(xiàn)4,3．請求出直線DE綜合應(yīng)用：（3）如圖3，M1,2，N4,5，請結(jié)合探究活動二的結(jié)論，求出過點(diǎn)N且與直線【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：kST（2）∵D2,2，E1,4，∴kDE=4?2∴kDE結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積等于-1．（3）設(shè)過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線為PQ，解析式為y=k∵M(jìn)1,2，N∴kMN∵PQ⊥MN，∴kPQ∴kPQ∵直線PQ經(jīng)過點(diǎn)N4,5∴5=?1×4+b，解得b=9．∴過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線的解析式為y=?x+9．【變式7-1】（23-24九年級·遼寧鞍山·階段練習(xí)）函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象平行于直線y=3x+2，且交y軸于點(diǎn)0,?1，則其函數(shù)表達(dá)式是【詳解】解：∵函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象平行于直線y=3x+2∴k=3，∴y=3x+b交y軸于點(diǎn)0,?1，∴b=?1，∴函數(shù)的表達(dá)式是y=3x?1，故答案為：y=3x?1．【變式7-2】（2024·河北石家莊·一模）某個一次函數(shù)的圖象與直線y=12x+3平行，與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，并且過點(diǎn)?2,?4，則在線段AB上（包括點(diǎn)A，BA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=1由點(diǎn)(?2,?4)在該函數(shù)圖象上，得?4=12×(?2)+b所以，y=12x?3．可得點(diǎn)A(6,0)由0≤x≤6，且x為整數(shù)，取x=0，2，4，6時，對應(yīng)的y是整數(shù)．因此，在線段AB上（包括點(diǎn)A、B)，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有4個．故選：B．【變式7-3】（23-24九年級·遼寧葫蘆島·期末）數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+b上的任意三點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直線y=kx+b經(jīng)過A2,3，B4,?2兩點(diǎn)，請直接寫出(2)如圖，直線y1⊥y2于點(diǎn)A，直線y1，y2分別交y軸于B，C兩點(diǎn)，A，【詳解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，∴k=3?(?2)2?4故答案為：?5（2）解：∵y1=k1x+b1經(jīng)過A(2,0)，B(0,4)，∴k1=0?42?0∵y2=k2x+b2經(jīng)過A(2,0)，C(0,-1)，∴k1=0??1∴k1k2=-2×12【題型8兩直線的相交問題】【例8】（23-24九年級·四川自貢·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A9,0，且與正比例函數(shù)y=?2x交于點(diǎn)B3,m【詳解】解：把B3,m代入y=?2x得：m=?2×3=?6∴B3,?6把A9,0，B3,?6代入9k+b=03k+b=?6解得：k=1b=?9∴一次函數(shù)解析式為y=x?9．【變式8-1】（23-24九年級·遼寧沈陽·期中）如圖，已知直線y1=?2x+3和y2=mx?1分別交y軸于點(diǎn)A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面積．【詳解】解：（1）∵兩直線交于點(diǎn)C∴將C1,n代入y即：C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,1）將C（1,1）代入y2即：m=2故：m=2，n=1．（2）∵當(dāng)x=0時，y∴A（0,3）當(dāng)x=0時，y∴B（0，-1）∴SΔABC故：△ABC的面積為2．【變式8-2】（23-24九年級·四川達(dá)州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=?23x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線y2(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)求△ABO的面積；(3)若△ABO被直線CP分成的兩部分的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線CP的函數(shù)表達(dá)式．

【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)的解析式為y1=-23令x=0，得y1=2，∴B(0，2)，令y1=0，得x=3，∴A(3，0)；（2）由（1）知：OA=3，OB=2，∴S△ABO=12OA?OB=1（3）∵12S△ABO=12×3=∴S△APC=12AC?yp=12×(3-1)×yp=解得：yp=32又點(diǎn)P在直線y1上，∴32=-2解得：x=34∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(34，3將點(diǎn)C(1，0)、P(34，30=k+b3解得：k=?6b=6故可得直線CP的函數(shù)表達(dá)式為y=-6x+6．【變式8-3】（23-24九年級·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB:y1=kx+3分別與y軸，x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線CD:y2=ax+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C(?6,0)，點(diǎn)

(1)求k，a，b的值．(2)連接OM，試說明S△BCM(3)若x軸上存在點(diǎn)P，使得S三角形APM=12【詳解】（1）解：∵直線y1=kx+3和直線y2∴?1=?4k+3，∴k=1；又直線y2=ax+b與坐標(biāo)軸交于∴?1=?4a+b0=?6a+b，解得：a=?（2）由（1）知：y1=x+3，當(dāng)x=0時，y1=3,y2=?3∴A0,3∴AO=3,OD=3,OB=3,BC=3，∴S△BCM∴S△BCM（3）設(shè)Pm,0

∴BP=∵S△ADM∴S△APM∴m+3=3∴m=?6或m=0；∴P?6,0或P【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】【例9】（23-24九年級·四川內(nèi)江·期中）對于幾個實(shí)數(shù)a、b、c，我們規(guī)定符號min{a,b,c}表示a、b、c中較小的數(shù)，如：min{2,?1,4}=?1．按照這個規(guī)定，已知函數(shù)：y=minx,1【詳解】解：當(dāng)x≤13x+1則y=x，∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=32時，y取的最大值當(dāng)13x+1≤x1則y=1∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=6017時，y取的最大值當(dāng)?45x+5≤則y=?4∵y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=6017時，y取的最大值綜上可知，y的最大值是3717故答案為：3717【變式9-1】（2024·四川南充·二模）如圖，直線y=kx+3與直線y=?12x交于點(diǎn)A?2,1，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)Mm,y1在線段AB上，點(diǎn)N【詳解】∵直線y=kx+3與直線y=?12x∴將A?2,1代入y=kx+3，有：?2k+3=1解得：k=1，即直線解析式為：y=x+3，當(dāng)x=0時，y=x+3=3，即B0,3∵點(diǎn)Mm,y1在線段AB上，點(diǎn)N∴y1=m+3，y2∴y1∵?2≤m≤0，∴當(dāng)m=?2時，y1?y故答案為：52【變式9-2】（23-24九年級·北京海淀·期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)M4,3，N?3,2，

(1)若一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過已知三個點(diǎn)中的某一點(diǎn)，求b的最大值；(2)當(dāng)k>14時，在圖中用陰影表示直線y=kx+1運(yùn)動的區(qū)域，并判斷在點(diǎn)M，N，P中直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的比例系數(shù)為2，2>0，∴一次函數(shù)一定經(jīng)過第一、三象限．∵求b的最大值，∴圖象還應(yīng)該經(jīng)過第二象限的點(diǎn)N?3,2∴3×?3∴b=8答：b的最大值為8；（2）當(dāng)k=14∵圖象必過點(diǎn)0,1，k>1∴直線y=kx+1運(yùn)動的區(qū)域?yàn)檫^點(diǎn)?4,0和點(diǎn)0,1的直線l與y軸之間的區(qū)域（不包括直線l和y軸）．∴直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是N．故答案為：N．

【變式9-3】（23-24九年級·天津薊州·期末）如圖，直線l1:y1=x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2:y2=kx+4與

(1)求直線l2的解析式及點(diǎn)M(2)點(diǎn)P是直線l1①當(dāng)S△ABP=5時，求點(diǎn)②點(diǎn)Q是x軸上一動點(diǎn)，在①的條件下，當(dāng)QP+QM取最小值時，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)B4,0代入y2=kx+4，得0=4k+4∴y解方程組y=x+1y=?x+4，解得x=∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為52（2）解：①令y=0，則x+1=0，解得x=?1，∴直線l1與x軸的交點(diǎn)A設(shè)點(diǎn)Px,x+1∴S∴x+1=2，即x+1=2或x+1=?2，解得x=1或x=?3則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2或?3,?2；②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2時，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，連接PM′交x

此時QP+QM=PM∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為52∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為5設(shè)PM′的解析式為則52a+b=?7∴PM′的解析式為令y=0，則?11解得x=17∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)1711當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3,?2時，如圖，

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時，此時QP+QM=AP+AM=PM有最小值，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,0；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,0或1711【題型10一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用】【例10】（23-24九年級·河南商丘·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(0,4)，C(?3,2)．(1)求三角形ABC的面積．(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，①請直接寫出線段AP的長為；(用含m的式子表示)②當(dāng)S△PAB=2S(3)若AC交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)B作BE⊥CM，交MC延長線于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE，交EB延長線于F．如圖1所示：∵A(2,0)，B(0,4)，C(?3,2)∴M(?3,0)，E(?3,4)，F(xiàn)(2,4)，OB=4．∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．∴=AM?DE?1答：△ABC的面積是8．（2）解：①根據(jù)題意得：AP=|m?2|；故答案為：|m?2|；②∵∴1∴AP=|m?2|=8，∴m?2=8或m?2=?8，∴m=10或m=?6；（3）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：2k+b=0?3k+b=2解得：k=?25，∴直線AC的解析式為y=?2當(dāng)x=0時，y=4∴M0,【變式10-1】（2024·陜西西安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置三個長為2，寬為1的長方形，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過