第二章推理與證明綜合素質(zhì)檢測時間120分鐘,滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知a<b<0,下列不等式中成立的是()A.a2<b2 B.

<1C.a<4－b D.

<

[答案]C[解析]令a＝－2,b＝－1,滿足a<b<0,則a2>b2,

＝2>1,

>

,故A.B.D都不成立,排除A.B.D,選C.2．用火柴棒擺“金魚”,如圖所示：按照上面的規(guī)律,第n個"金魚"圖形需要火柴棒的根數(shù)為()A.6n－2 B.8n－2C.6n＋2 D.8n＋2[答案]C[解析]歸納"金魚"圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面"金魚"都比它前面的"金魚"多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分,故各"金魚"圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8,公差是6的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an＝6n＋2.3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2),而a1＝1,通過計算a2.a3.a4,猜想an＝()A.

B.

C.

D.

[答案]B[解析]a2＝S2－S1＝22a2－1,∴a2＝

,a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×

,∴a3＝eq\f(1,6).a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×

,∴a4＝eq\f(1,10).由此猜想an＝eq\f(2,nn＋1).4.觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特點(diǎn),則第100項(xiàng)為()A.10 B.14C.13 D.100[答案]B[解析]設(shè)n∈N*,則數(shù)字n共有n個,所以

≤100即n(n＋1)≤200,又因?yàn)閚∈N*,所以n＝13,到第13個13時共有

＝91項(xiàng),從第92項(xiàng)開始為14,故第100項(xiàng)為14.5．(2015·大連高二檢測)用分析法證明:欲使①A>B,只需②C<D,這里①是②的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[答案]B[解析]因?yàn)棰?①,所以①是②的必要條件.6．下列函數(shù)f(x)中,滿足"對任意x1,x2∈(0,＋∞),當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)"的是()A.f(x)＝

B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex D.f(x)＝ln(x＋1)[答案]A[解析]若滿足題目中的條件,則f(x)在(0,＋∞)上為減函數(shù),在A.B.C.D四選項(xiàng)中,由基本函數(shù)性質(zhì)知,A是減函數(shù),故選A.7.已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立,那么a、b、c的值為()A.a＝

,b＝c＝

B.a＝b＝c＝

C．a(chǎn)＝0,b＝c＝

D．不存在這樣的a、b、c[答案]A[解析]令n＝1,2,3,得

,所以a＝

,b＝c＝

.8．已知f1(x)＝cosx,f2(x)＝f1′(x),f3(x)＝f2′(x),f4(x)＝f3′(x),…,fn(x)＝fn－1′(x),則f2016(x)等于()A.sinx B.－sinxC.cosx D.－cosx[答案]A[解析]由已知,有f1(x)＝cosx,f2(x)＝－sinx,f3(x)＝－cosx,f4(x)＝sinx,f5(x)＝cosx,…,可以歸納出:f4n(x)＝sinx,f4n＋1(x)＝cosx,f4n＋2(x)＝－sinx,f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*).所以f2016(x)＝f4(x)＝sinx.9.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an},定義向量cn＝(an,an＋1),bn＝(n,n＋1),n∈N*.下列命題中真命題是()A.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列B.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列C.若?n∈N*總有cn⊥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列D．若?n∈N*總有cn⊥bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列[答案]A[解析]∵對?n∈N*總有cn∥bn,則存在實(shí)數(shù)λ≠0,使cn＝λbn,∴an＝λn,∴{an}是等差數(shù)列.10．用反證法證明命題"若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根,那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)",下列各假設(shè)中正確的是()A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a、b、c中至多有一個是偶數(shù)D.假設(shè)a、b、c中至多有兩個偶數(shù)[答案]B[解析]對命題的結(jié)論"a、b、c中至少有一個是偶數(shù)"進(jìn)行否定假設(shè)應(yīng)是"假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)".因?yàn)?至少有一個"即有一個、兩個或三個,因此它的否定應(yīng)是"都不是".11．已知函數(shù)f(x)＝lg

,若f(a)＝b,則f(－a)等于()A.b B.－bC.

D.－

[答案]B[解析]f(x)定義域?yàn)?－1,1),f(－a)＝lg

＝lg(

)－1＝－lg

＝－f(a)＝－b.12．已知f(x)＝x3＋x,a、b、c∈R,且a＋b>0,a＋c>0,b＋c>0,則f(a)＋f(b)＋f(c)的值()A.一定大于零 B.一定等于零C.一定小于零 D.正負(fù)都有可能[答案]A[解析]f(x)＝x3＋x是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),由a＋b>0得a>－b,所以f(a)>f(－b),即f(a)＋f(b)>0,同理f(a)＋f(c)>0,f(b)＋f(c)>0,所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)13．“因?yàn)锳C、BD是菱形ABCD的對角線,所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________.[答案]菱形對角線互相垂直且平分14.設(shè)函數(shù)f(x)＝

(x>0),觀察:f1(x)＝f(x)＝

,f2(x)＝f(f1(x))＝

,f3(x)＝f(f2(x))＝

,f4(x)＝f(f3(x))＝

,…根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[答案]eq\f(x,2n－1x＋2n)[解析]由已知可歸納如下:f1(x)＝

,f2(x)＝

,f3(x)＝

,f4(x)＝

,…,fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).15.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:①"mn＝nm"類比得到"a·b＝b·a";②"(m＋n)t＝mt＋nt"類比得到"(a＋b)·c＝a·c＋b·c";③"t≠0,mt＝nt?m＝n"類比得到"c≠0,a·c＝b·c?a＝b"；④"|m·n|＝|m|·|n|"類比得到"|a·b|＝|a|·|b|";⑤“(m·n)t＝m(n·t)"類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)";⑥“

＝

”類比得到“

＝

”.以上類比得到的結(jié)論正確的是________.[答案]①②[解析]①②都正確;③⑥錯誤,因?yàn)橄蛄坎荒芟喑?④可由數(shù)量積定義判斷,所以錯誤;⑤向量中結(jié)合律不成立,所以錯誤.16.(2015·天津和平區(qū)高二期中)觀察下列等式：1＝113＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推測:13＋23＋33＋…＋n3＝________.(n∈N*,用含有n的代數(shù)式表示)[答案]eq\f(n2n＋12,4)[解析]由條件可知:13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2,…,不難得出．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[eq\f(nn＋1,2)]2＝eq\f(n2n＋12,4).三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本題滿分10分)觀察下面所示的“三角數(shù)陣”122343477451114115eq\a\vs4\al(第1行,第2行,第3行,第4行,第5行)…………記第n行的第2個數(shù)為an(n≥2,n∈N*),請仔細(xì)觀察上述"三角數(shù)陣"的特征,完成下列各題:(1)第6行的6個數(shù)依次為________、________、________、________、________、________;(2)依次寫出a2.a3.a4.a5;(3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式.[分析]觀察數(shù)陣,總結(jié)規(guī)律:除首末兩數(shù)外,每行的數(shù)等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和,得出(1)的結(jié)果．(2)由數(shù)陣可直接寫出答案.(3)寫出a3－a2,a4－a3,a5－a4,從而歸納出(3)的結(jié)論.[解析]由數(shù)陣可看出,除首末兩數(shù)外,每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和,且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．(1)6,16,25,25,16,6.(2)a2＝2,a3＝4,a4＝7,a5＝11.(3)∵a3＝a2＋2,a4＝a3＋3,a5＝a4＋4,由此歸納:an＋1＝an＋n.18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋

(a>1),求證:函數(shù)f(x)在(－1,＋∞)上為增函數(shù).[分析]利用三段論證明,題目中的大前提是增函數(shù)的定義,小前提是y＝f(x)在(－1,＋∞)上符合增函數(shù)的定義.[解析]設(shè)x1,x2是(－1,＋∞)上的任意兩實(shí)數(shù),且x1<x2,則f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－ax2－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(x1－2,x1＋1)－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1).∵a>1,且x1<x2,∴ax1<ax2,x1－x2<0.又∵x1>－1,x2>－1,∴(x1＋1)(x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在(－1,＋∞)上為增函數(shù).19.(本題滿分12分)已知橢圓具有以下性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),若直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線

－

＝1寫出具有類似的性質(zhì),并加以證明.[解析]類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線

－

＝1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),若直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.證明如下:設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為(m,n)、(x,y),則N(－m,－n).∵點(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上,∴n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.則kPM·kPN＝

·

＝

＝

·

＝

(定值).20．(本題滿分12分)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C為等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊．求證:(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[分析]利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac,再利用綜合法證明其成立.[解析]要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1,即證

＋

＝

,只需證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3.化簡,得

＋

＝1,即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c),所以只需證c2＋a2＝b2＋ac.因?yàn)椤鰽BC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,所以B＝60°,所以cosB＝

＝

,即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立.21．(本題滿分12分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1＝1＋

,S3＝9＋3

.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;(2)設(shè)bn＝

(n∈N＋),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.[解析](1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,則3a1＋

d＝9＋3

,解得d＝2,∴an＝1＋

＋(n－1)×2＝2n＋

－1,Sn＝

n＝n(n＋

).(2)bn＝

＝n＋

.用反證法證明.設(shè)bn,bm,bk成等比