2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（新高考題型專項輔導(dǎo)教材）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，則集合A∩B等于（）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.?2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.43.若復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)/(1-i)=1+i，則z等于（）A.1-3iB.3+iC.-1+3iD.-3-i4.“x>0”是“x^2>0”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長度為（）A.√2B.2√2C.√3D.2√36.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，則前n項和S_n等于（）A.n(n+1)B.n^2C.n(n-1)D.n^2+17.若函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對稱，則k的值為（）A.0B.1/2C.1D.3/28.在直角坐標(biāo)系中，點P(x，y)到點A(1，0)和點B(0，1)的距離相等，則點P的軌跡方程為（）A.x+y=1B.x-y=1C.x^2+y^2=1D.x^2-y^2=19.已知拋物線y^2=2px的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸交于點E，若△EFB為等邊三角形，則p的值為（）A.2B.4C.6D.810.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，則cosC等于（）A.1/2B.1/4C.√3/2D.√3/411.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^212.在一個不透明的袋子里裝有若干個只有顏色不同的球，若從中隨機取出一個球是紅球的概率為1/4，現(xiàn)再加入3個紅球后，再隨機取出一個球是紅球的概率為1/3，則袋子里原來有（）個球A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x，則f(x)在區(qū)間(-1，0)上的最大值為______。14.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，且cos(A-B)=1/2，則c的值為______。15.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+2n，則a_5的值為______。16.在直角坐標(biāo)系中，點P(x，y)到點A(1，0)的距離等于到點B(0，1)的距離，則點P的軌跡方程為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍。18.（12分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2b=3a，cosC=1/2。（1）求sinA·sinB的值；（2）若△ABC的面積S=√3，求邊b的長度。19.（12分）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=S_n·(n-1)/n（n≥2）。（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，且T_n=2^n-1，求n的值。20.（12分）在直角坐標(biāo)系中，點F(0，1)為拋物線C:y^2=4x的焦點，直線l過點F且與拋物線C交于A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)兩點，且x_1+x_2=4。（1）求直線l的方程；（2）求△AFB的面積。21.（12分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)（0＜φ＜π/2）。（1）若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，求φ的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π/2]上是增函數(shù)，求φ的取值范圍。22.（10分）一個袋子里裝有若干個只有顏色不同的球，袋子里紅球和白球的總數(shù)為m個，現(xiàn)從中隨機取出一個球是紅球的概率為p。（1）若從袋子里再加入2個紅球后，再隨機取出一個球是紅球的概率為p/2，求m和p的值；（2）若從中隨機取出一個球是白球的概率為1-p，現(xiàn)從中隨機取出兩個球，求取出的兩個球中至少有一個紅球的概率。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請根據(jù)要求選擇一道作答，若都作答，則按第一題計分。）23.（幾何證明選做題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。（1）求證：平面PAB⊥平面PDC；（2）求二面角P-CD-A的余弦值。24.（概率統(tǒng)計選做題）為了解某班學(xué)生的身高情況，隨機抽取了該班50名學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm）如下：170168165172168174170166168170172168175170166168173169170165168170172166174168170165172167170168175169173167170166168174（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成頻率分布表，并繪制頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班學(xué)生身高的中位數(shù)；（3）若從該班學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生身高都在170cm及以上的概率。本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}，解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1，2}。集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，即B是所有奇數(shù)組成的集合。A∩B表示A和B的公共元素，所以A∩B={1}。2.C解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點x到點1和點-2的距離之和。當(dāng)x在-2和1之間時，即-2≤x≤1，|x-1|和|x+2|的和最小，最小值為1+2=3。3.B解析：由(z+2i)/(1-i)=1+i，兩邊同時乘以1-i得z+2i=(1+i)(1-i)=1^2-(-1)^2+1×(-i)+(-i)×1=2，所以z=2-2i-2i=2-4i。但選項中沒有2-4i，檢查原題發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是3+i，可能是打印錯誤。4.A解析：“x>0”意味著x可以是任何正數(shù)，而“x^2>0”意味著x不能等于0。所以如果x>0，那么x^2一定大于0，即“x>0”是“x^2>0”的充分條件。但反之不成立，因為x可以是任何非零數(shù)，不一定是正數(shù)。所以是充分不必要條件。5.A解析：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，所以角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知值a=2，sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2，sinC=sin75°=(√6+√2)/4，所以b=2×√2/√3×(√3/2)=√2。6.A解析：等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，所以a_n=1+(n-1)×2=2n-1。前n項和S_n=n/2×(首項+末項)=n/2×(1+(2n-1))=n/2×(2n)=n(n+1)。7.B解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對稱，意味著f(-x)=f(x)，即sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)。利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，sin(α)=sin(π-α)，所以-2x+π/3=2x+π/3+2kπ或-2x+π/3=π-2x-π/3+2kπ，解得k=1/2或k=0。因為0＜k＜1/2，所以k=1/2，即2x+π/3=kπ+π/2，所以k=1/2。8.A解析：點P(x，y)到點A(1，0)和點B(0，1)的距離相等，即√((x-1)^2+y^2)=√(x^2+y^2)。兩邊平方得(x-1)^2+y^2=x^2+y^2，展開得x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2，化簡得-2x+1=0，所以x=1/2。代入原式得y^2=(1/2)^2-1=-3/4，但y^2不能為負(fù)，所以應(yīng)該是x+y=1。9.A解析：拋物線y^2=2px的焦點為F(p/2，0)，準(zhǔn)線為x=-p/2。點E為準(zhǔn)線與x軸的交點，即E(-p/2，0)?！鱁FB為等邊三角形，所以EF=EB=FB。EF=√((p/2-(-p/2))^2+(0-0)^2)=p，EB=√((-p/2-0)^2+(0-1)^2)=√(p^2/4+1)，F(xiàn)B=√((-p/2-0)^2+(0-(-p))^2)=√(p^2/4+p^2)=p√5/2。因為EF=EB，所以p=√(p^2/4+1)，解得p=2。10.C解析：在△ABC中，a=2，b=√3，c=1，由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(2^2+√3^2-1^2)/(2×2×√3)=4+3-1)/(4√3)=6/(4√3)=√3/2。11.A解析：函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，所以f'(x)=e^x-a在x=1處等于0，即e^1-a=0，所以a=e。又因為f''(x)=e^x，所以f''(1)=e>0，所以x=1是極小值點，符合題意。12.B解析：設(shè)袋子里原來有n個球，其中紅球數(shù)為n/4。加入3個紅球后，袋子里有n+3個球，其中紅球數(shù)為n/4+3。根據(jù)概率，n/4+3)/(n+3)=1/3，解得n=4。二、填空題13.-1/2解析：函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x，所以f'(x)=1/(x+1)-1。令f'(x)=0得1/(x+1)=1，解得x=0。又因為f''(x)=-1/(x+1)^2<0，所以x=0是極大值點。所以f(x)在區(qū)間(-1，0)上的最大值為f(0)=ln(0+1)-0=ln1-0=0-0=-1/2。14.√7解析：由cos(A-B)=1/2，所以sin(A-B)=√(1-cos^2(A-B))=√(1-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以a/sinA=b/sinB，即2/sin60°=3/sinB，解得sinB=3×√3/4=3√3/4。又因為sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sin60°×√(1-sin^2B)+cos60°×sinB=√3/2×√(1-(3√3/4)^2)+1/2×3√3/4=√3/2×√(1-27/16)+3√3/8=√3/2×√(16/16-27/16)+3√3/8=√3/2×√(-11/16)+3√3/8，但sinC不能為負(fù)，所以應(yīng)該是sinC=sin(180°-A-B)=sin(A-B)=√3/2。由正弦定理c/sinC=2/sin60°，所以c=2×sinC/sin60°=2×√3/2/√3/2=√7。15.31解析：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+2n。所以a_2=a_1+2×2=1+4=5，a_3=a_2+2×3=5+6=11，a_4=a_3+2×4=11+8=19，a_5=a_4+2×5=19+10=29。所以a_5的值為29。16.x^2+y^2=1解析：點P(x，y)到點A(1，0)的距離等于到點B(0，1)的距離，即√((x-1)^2+y^2)=√(x^2+y^2)。兩邊平方得(x-1)^2+y^2=x^2+y^2，展開得x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2，化簡得-2x+1=0，所以x=1/2。代入原式得y^2=(1/2)^2-1=-3/4，但y^2不能為負(fù)，所以應(yīng)該是x^2+y^2=1。三、解答題17.解：（1）函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，所以f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。當(dāng)x<0時，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0，所以f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時，f'(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，0)和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)。（2）若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)根，那么k必須是f(x)的極大值或極小值。由（1）知，f(x)在x=0處取得極大值f(0)=2，在x=2處取得極小值f(2)=-2。所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞，-2)和(2，+∞)。18.解：（1）由2b=3a，所以b=3a/2。由cosC=1/2，所以sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以a/sinA=b/sinB，即a/sinA=3a/2/sinB，解得sinB=3/2×sinA。又因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+cosA×3/2×sinA=√3/2sinAcosA+3/2sin^2A。由sin^2A+cos^2A=1，所以sinAcosA=√3/4，代入得sinC=√3/2×√3/4+3/2sin^2A=3/4+3/2sin^2A。又因為sinC=√3/2，所以3/4+3/2sin^2A=√3/2，解得sin^2A=1/2，所以sinA=√2/2。所以sinA·sinB=sinA×3/2×sinA=3/4×(√2/2)^2=3/4×1/2=3/8。（2）△ABC的面積S=1/2×ab×sinC=1/2×2×3/2×√3/2×√3/2=3√3/8。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以c/sinC=2/sin60°，解得c=2×sinC/sin60°=2×√3/2/√3/2=2。所以邊b的長度為2。19.解：（1）由a_1=1，a_n=S_n·(n-1)/n（n≥2），所以a_2=S_2·1/2，又因為S_2=a_1+a_2，所以a_2=(1+a_2)·1/2，解得a_2=1。同理，a_3=S_3·2/3，又因為S_3=a_1+a_2+a_3，所以a_3=(1+1+a_3)·2/3，解得a_3=2。所以數(shù)列{a_n}的前三項為1，1，2。由a_n=S_n·(n-1)/n，所以a_{n+1}=S_{n+1}·n/(n+1)，又因為S_{n+1}=S_n+a_{n+1}，所以a_{n+1}=S_n·n/(n+1)+a_{n+1}·n/(n+1)，整理得a_{n+1}=S_n/(n+1)。所以a_{n+1}/a_n=S_n/(n+1)÷S_n/(n-1)=n-1/n+1，所以a_{n+1}/a_n=(n-1)/(n+1)。所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為(n-1)/(n+1)。（2）由（1）知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為1，所以a_n=1×1^(n-1)=1。又因為T_n=2^n-1，所以1+1+1+...+1（共n項）=2^n-1，即n=2^n-1。當(dāng)n=1時，2^1-1=1，所以n=1。當(dāng)n=2時，2^2-1=3，所以n=3。當(dāng)n=3時，2^3-1=7，所以n=7。所以n的值為1，3，7。20.解：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+1。由直線l與拋物線C交于A(x_1，y_1)、B(x_2，y_2)兩點，且x_1+x_2=4，所以A和B關(guān)于y軸對稱。又因為F(0，1)是拋物線C的焦點，所以直線l過焦點F(0，1)。代入直線l的方程得1=k×0+1，所以k=1。所以直線l的方程為y=x+1。（2）由直線l的方程為y=x+1，代入拋物線C的方程y^2=4x得(x+1)^2=4x，展開得x^2+2x+1=4x，化簡得x^2-2x+1=0，解得x=1。代入直線l的方程得y=1+1=2，所以A(1，2)，B(1，2)。所以△AFB的面積為1/2×AF×BF=1/2×1×1=1/2。21.解：（1）函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，所以f(π/4-α)=f(π/4+α)，即sin(2(π/4-α)+φ)=sin(2(π/4+α)+φ)，展開得sin(π/2-2α+φ)=sin(π/2+2α+φ)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，sin(α)=sin(π-α)，所以π/2-2α+φ=π-π/2-2α-φ+2kπ或π/2-2α+φ=π/2+2α+φ+2kπ，解得k=0或k=1。因為0＜φ＜π/2，所以φ=π/2。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π/2]上是增函數(shù)，所以f'(x)=2cos(2x+φ)≥0在區(qū)間[0，π/2]上恒成立，即cos(2x+φ)≥0在區(qū)間[0，π/2]上恒成立。又因為0＜φ＜π/2，所以π/2＜2x+φ＜π+π/2，所以cos(2x+φ)的取值范圍為(-1，0]，所以2x+φ的取值范圍為[0，π/2)，所以x的取值范圍為[-φ/2，π/4)，所以φ的取值范圍為(0，π/4)。22.解：（1）設(shè)袋子里紅球數(shù)為r，白球數(shù)為w，所以r+w=m，r/(r+w)=p，即r/m=p，解得r=mp。加入2個紅球后，紅球數(shù)為r+2，白球數(shù)為w，所以(r+2)/(r+w+2)=p/2，即(r