2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試數(shù)據(jù)分析計算題庫及解題與解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在一組數(shù)據(jù)中，如果每個數(shù)據(jù)都減去同一個常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的（）。A.平均數(shù)不變B.方差不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變D.偏度不變2.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23，則這組數(shù)據(jù)的二階中心矩為（）。A.465B.510C.450D.4903.在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）。A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差4.設(shè)兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差為2，X的方差為4，Y的方差為9，則X和Y的相關(guān)系數(shù)為（）。A.1/3B.2/3C.1/2D.3/45.在回歸分析中，如果自變量和因變量之間存在線性關(guān)系，那么回歸系數(shù)的最小二乘估計量（）。A.總是存在B.可能不存在C.總是唯一D.總是大于06.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：2,4,6,8,10，則這組數(shù)據(jù)的樣本方差為（）。A.4B.8C.16D.327.在時間序列分析中，如果序列的值逐期增加，但增加的幅度逐漸減小，這種現(xiàn)象稱為（）。A.趨勢性B.季節(jié)性C.循環(huán)性D.隨機性8.設(shè)兩個隨機變量X和Y的期望分別為E(X)=2，E(Y)=3，方差分別為Var(X)=1，Var(Y)=4，且協(xié)方差Cov(X,Y)=1，則X和Y的協(xié)方差矩陣為（）。A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&3\\3&4\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}\)9.在抽樣調(diào)查中，如果總體分布是正態(tài)分布，那么樣本均值的抽樣分布（）。A.總是正態(tài)分布B.總是指數(shù)分布C.總是均勻分布D.總是泊松分布10.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5，則這組數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)為（）。A.2B.3C.4D.5二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）1.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23，則這組數(shù)據(jù)的樣本均值為（）。2.在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）。3.設(shè)兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差為3，X的方差為9，Y的方差為16，則X和Y的相關(guān)系數(shù)為（）。4.在回歸分析中，如果自變量和因變量之間存在非線性關(guān)系，那么可以采用（）來擬合回歸模型。5.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：2,4,6,8,10，則這組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為（）。6.在時間序列分析中，如果序列的值逐期減少，但減少的幅度逐漸增大，這種現(xiàn)象稱為（）。7.設(shè)兩個隨機變量X和Y的期望分別為E(X)=1，E(Y)=2，方差分別為Var(X)=4，Var(Y)=9，且協(xié)方差Cov(X,Y)=3，則X和Y的協(xié)方差矩陣為（）。8.在抽樣調(diào)查中，如果總體分布不是正態(tài)分布，但樣本量足夠大，那么樣本均值的抽樣分布（）。9.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5，則這組數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)為（）。10.在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為（）。三、計算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請將計算過程和答案寫在題后的橫線上。）1.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：5,7,9,11,13，計算這組數(shù)據(jù)的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。2.假設(shè)某城市居民的平均收入服從正態(tài)分布，且已知平均收入為5000元，標(biāo)準(zhǔn)差為1000元?，F(xiàn)隨機抽取100戶居民，求這100戶居民的平均收入在5000元以上的概率。3.設(shè)有兩個隨機變量X和Y，它們的聯(lián)合概率分布如下表所示：||Y=1|Y=2|Y=3||-------|-------|-------|-------||X=1|0.1|0.2|0.1||X=2|0.2|0.1|0.1||X=3|0.1|0.1|0.1|計算X和Y的邊緣概率分布，并求X和Y的協(xié)方差。4.設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,5,13,20,23,39,23,40,23，計算這組數(shù)據(jù)的第一quartile（Q1）、第三quartile（Q3）和四分位距（IQR）。5.假設(shè)某產(chǎn)品的使用壽命服從指數(shù)分布，且已知平均壽命為1000小時?，F(xiàn)隨機抽取10個產(chǎn)品，求這10個產(chǎn)品中至少有3個產(chǎn)品的壽命超過1200小時的概率。四、應(yīng)用題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。請將解答過程和答案寫在題后的橫線上。）1.某公司為了了解員工的工作滿意度，隨機抽取了100名員工進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，有60名員工對工作表示滿意。假設(shè)總體服從二項分布，求樣本比例的抽樣分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤。2.某學(xué)校為了了解學(xué)生的體重情況，隨機抽取了200名學(xué)生進行測量。測量結(jié)果顯示，學(xué)生的平均體重為60公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為10公斤。假設(shè)學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，求體重在50公斤到70公斤之間的學(xué)生比例。3.某公司為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，對生產(chǎn)過程進行了改進。改進前后分別隨機抽取了100個產(chǎn)品進行檢測。改進前的產(chǎn)品合格率為80%，改進后的產(chǎn)品合格率為90%。假設(shè)總體服從二項分布，檢驗產(chǎn)品合格率是否有所提高（顯著性水平為0.05）。4.某醫(yī)生為了研究某種藥物的效果，隨機抽取了50名患者進行臨床試驗。其中，25名患者服用該藥物，25名患者服用安慰劑。試驗結(jié)果顯示，服用藥物的患者中有20人康復(fù)，服用安慰劑的患者中有10人康復(fù)。檢驗該藥物是否比安慰劑更有效（顯著性水平為0.05）。5.某公司為了了解員工的收入水平，隨機抽取了100名員工進行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，員工的平均收入為5000元，標(biāo)準(zhǔn)差為1000元。假設(shè)員工的收入服從正態(tài)分布，求收入在4000元到6000元之間的員工比例。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：如果每個數(shù)據(jù)都減去同一個常數(shù)，那么每個數(shù)據(jù)與均值的差值也會相應(yīng)減去這個常數(shù)，因此方差不變。2.A解析：二階中心矩即為樣本方差，計算公式為\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)，代入數(shù)據(jù)計算得到465。3.A解析：在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)，這種錯誤稱為第一類錯誤，也稱為假陽性錯誤。4.B解析：相關(guān)系數(shù)為協(xié)方差除以兩個標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，即\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}=\frac{2}{\sqrt{4}\sqrt{9}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}。5.C解析：在回歸分析中，如果自變量和因變量之間存在線性關(guān)系，那么回歸系數(shù)的最小二乘估計量總是唯一存在的。6.B解析：樣本方差計算公式為\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)，代入數(shù)據(jù)計算得到8。7.A解析：在時間序列分析中，如果序列的值逐期增加，但增加的幅度逐漸減小，這種現(xiàn)象稱為趨勢性。8.A解析：協(xié)方差矩陣為\(\begin{pmatrix}Var(X)&Cov(X,Y)\\Cov(X,Y)&Var(Y)\end{pmatrix}\)，代入數(shù)據(jù)得到\(\begin{pmatrix}1&1\\1&4\end{pmatrix}\)。9.A解析：在抽樣調(diào)查中，如果總體分布是正態(tài)分布，那么樣本均值的抽樣分布總是正態(tài)分布。10.B解析：樣本中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排序后位于中間位置的數(shù)值，代入數(shù)據(jù)得到3。二、填空題答案及解析1.13解析：樣本均值計算公式為\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，代入數(shù)據(jù)計算得到13。2.第二類錯誤解析：在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為真，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為第二類錯誤，也稱為假陰性錯誤。3.\(\frac{1}{2}\)解析：相關(guān)系數(shù)計算公式為\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}=\frac{3}{\sqrt{9}\sqrt{16}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}。4.非線性回歸模型解析：在回歸分析中，如果自變量和因變量之間存在非線性關(guān)系，可以采用非線性回歸模型來擬合回歸模型。5.4解析：樣本標(biāo)準(zhǔn)差計算公式為\(s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\)，代入數(shù)據(jù)計算得到4。6.遞減趨勢解析：在時間序列分析中，如果序列的值逐期減少，但減少的幅度逐漸增大，這種現(xiàn)象稱為遞減趨勢。7.\(\begin{pmatrix}4&3\\3&9\end{pmatrix}\)解析：協(xié)方差矩陣為\(\begin{pmatrix}Var(X)&Cov(X,Y)\\Cov(X,Y)&Var(Y)\end{pmatrix}\)，代入數(shù)據(jù)得到\(\begin{pmatrix}4&3\\3&9\end{pmatrix}\)。8.近似正態(tài)分布解析：在抽樣調(diào)查中，如果總體分布不是正態(tài)分布，但樣本量足夠大，那么樣本均值的抽樣分布近似正態(tài)分布。9.3解析：樣本眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，代入數(shù)據(jù)得到3。10.第二類錯誤解析：在假設(shè)檢驗中，如果原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)，這種錯誤稱為第二類錯誤，也稱為假陰性錯誤。三、計算題答案及解析1.樣本均值：9樣本方差：16樣本標(biāo)準(zhǔn)差：4解析：樣本均值計算公式為\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，代入數(shù)據(jù)計算得到9。樣本方差計算公式為\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)，代入數(shù)據(jù)計算得到16。樣本標(biāo)準(zhǔn)差為樣本方差的平方根，即4。2.0.1587解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，樣本均值的抽樣分布也服從正態(tài)分布，均值為5000，標(biāo)準(zhǔn)誤為1000/√100=100。計算Z值，即\(Z=\frac{5000-5000}{100}=0\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，P(Z>0)=0.5-0.5=0.1587。3.X的邊緣概率分布：X=1:0.4,X=2:0.4,X=3:0.2Y的邊緣概率分布：Y=1:0.4,Y=2:0.4,Y=3:0.2協(xié)方差：1.6解析：X的邊緣概率分布為每個X值下所有Y值概率的和，即X=1:0.1+0.2+0.1=0.4，X=2:0.2+0.1+0.1=0.4，X=3:0.1+0.1+0.1=0.2。Y的邊緣概率分布同理。協(xié)方差計算公式為\(Cov(X,Y)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(x_i-\bar{x})(y_j-\bar{y})P(x_i,y_j)\)，代入數(shù)據(jù)計算得到1.6。4.Q1:5Q3:23IQR:18解析：Q1為數(shù)據(jù)排序后位于25%位置的數(shù)值，即5。Q3為數(shù)據(jù)排序后位于75%位置的數(shù)值，即23。IQR為Q3-Q1，即18。5.0.8202解析：根據(jù)指數(shù)分布的性質(zhì)，壽命超過1200小時的概率為\(P(X>1200)=e^{-\lambdat}\)，其中\(zhòng)(\lambda=\frac{1}{1000}\)，t=1200。計算得到P(X>1200)=e^{-1.2}=0.3012。10個產(chǎn)品中至少有3個產(chǎn)品的壽命超過1200小時的概率為1減去不超過2個產(chǎn)品的壽命超過1200小時的概率，即1-(P(X<=1200)^10+10*P(X<=1200)^9*P(X>1200)+45*P(X<=1200)^8*P(X>1200)^2)=0.8202。四、應(yīng)用題答案及解析1.樣本比例的抽樣分布均值：0.6樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤：0.049解析：樣本比例的抽樣分布均值即總體比例，為0.6。樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為\(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)，代入數(shù)據(jù)計算得到0.049。2.0.6826解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，體重在50公斤到70公斤之間的學(xué)生比例即為Z值在-1到1之間的概率，即2*P(0<=Z<=1)=2*0.3413=0.6826。3.拒絕原假設(shè)解析：檢驗假設(shè)H0:p1=p2，H1:p1>p2。計算Z值，即\(Z=\frac{0.9-0.8}{\sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{100}+\frac{0.9(1-0.9)}{100}}}=1.67\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，P(