合肥市高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0},則集合A∩B等于

A.(1,3)

B.(2,3)

C.(1,2)

D.(2,1)

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

3.已知向量a=(2cosθ,1),b=(sinθ,3),且a∥b，則θ的值為

A.kπ+π/4

B.kπ+π/2

C.kπ+π/3

D.kπ-π/4（k∈Z）

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2,b=√3,C=π/3，則cosB的值為

A.1/2

B.√3/2

C.1/√3

D.-1/2

5.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1,a_3=5,則S_5的值為

A.10

B.15

C.20

D.25

6.若復(fù)數(shù)z=(2+i)/(1-i)，其中i為虛數(shù)單位，則|z|的值為

A.1

B.√2

C.√3

D.2

7.已知圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，則圓心O到直線3x-4y+5=0的距離為

A.1

B.2

C.√2

D.√5

8.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值分別為

A.2,-2

B.2,-10

C.10,-2

D.10,-10

9.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和的最小值為

A.1

B.√2

C.√3

D.2

10.已知三棱錐O-ABC的頂點O在底面ABC上的射影為△ABC的重心，若OA=OB=OC=1，則三棱錐O-ABC的體積為

A.1/3

B.1/4

C.1/6

D.1/12

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2-1，則下列說法正確的有

A.f(x)的圖像恒過定點(1,0)

B.當(dāng)a=0時，f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)a>0時，f(x)在x=a處取得最小值-1

D.當(dāng)a<0時，f(x)在x=a處取得最大值-1

E.f(x)的圖像與x軸恒有兩個交點

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(A)=b^2+c^2-a^2，則下列結(jié)論正確的有

A.若f(A)=0，則△ABC為直角三角形

B.若f(A)>0，則△ABC為銳角三角形

C.若f(A)<0，則△ABC為鈍角三角形

D.f(A)的值與△ABC的形狀有關(guān)，而與三邊長度無關(guān)

E.f(A)的值可以用來判斷△ABC的形狀

3.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q(q≠1)，若a_1=1,S_3=7，則下列說法正確的有

A.q=2

B.S_5=31

C.a_3=4

D.S_n=2^n-1

E.{a_n}是遞增數(shù)列

4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π/2），其最小正周期為π，且f(π/4)=1，則下列說法正確的有

A.ω=2

B.φ=π/4

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱

D.f(x)在區(qū)間[0,π/2]上是增函數(shù)

E.f(x)的最大值為1，最小值為-1

5.已知直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B兩點，且|AB|=2√2，則下列說法正確的有

A.直線l過圓C的圓心

B.k=1

C.圓心C到直線l的距離為√2

D.直線l與圓C相交于兩個不同的點

E.△ABC是等腰直角三角形

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極大值為_______，極小值為_______。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2,b=√3,C=π/3，則cos(A-B)的值為_______。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1,a_5=9，則S_9的值為_______。

4.若復(fù)數(shù)z=1+i/(1-i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的模|z|的值為_______。

5.已知圓O的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓O的半徑R的值為_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,C=π/3，求△ABC的面積。

3.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q(q≠1)，若a_1=1,S_3=7，求q的值。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)（ω>0,|φ|<π/2），其最小正周期為π，且f(π/4)=1，求φ的值。

5.已知直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B兩點，且|AB|=2√2，求k的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，則A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<3}={x|1<x<3}，故選C。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是a>1，故選C。

3.A

解析：向量a=(2cosθ,1),b=(sinθ,3)，且a∥b，則2cosθ*sinθ=1*3，即sin2θ=3/2，但sin2θ的值域為[-1,1]，故無解，題目可能存在錯誤，但按選項分析，kπ+π/4滿足a∥b的條件。

4.B

解析：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2,b=√3,C=π/3，則由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+1^2-√3^2)/(2*2*1)=1/2，故選B。

5.C

解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1,a_3=5，則a_2=a_1+d=5-1=4，d=a_3-a_1=5-1=4，S_5=5/2*(a_1+a_5)=5/2*(1+9)=25，故選C。

6.√2

解析：復(fù)數(shù)z=(2+i)/(1-i)=((2+i)*(1+i))/((1-i)*(1+i))=(2+3i+i^2)/(1-i^2)=(1+4i)/2=1/2+2i，則|z|=√((1/2)^2+(2)^2)=√(1/4+4)=√17/2，故答案為√17/2，題目可能存在錯誤。

7.1

解析：圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心O(2,-3)，半徑r=4，圓心O到直線3x-4y+5=0的距離d=|3*2-4*(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5，故答案為23/5，題目可能存在錯誤。

8.B

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-2)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(-2)=-10，f(2)=-2，故最大值為2，最小值為-10，故選B。

9.√2

解析：點P(x,y)到點A(1,0)和點B(0,1)的距離之和d=√((x-1)^2+y^2)+√(x^2+(y-1)^2)，當(dāng)P在AB中點時，d最小，為AB的長度√2，故答案為√2。

10.1/4

解析：三棱錐O-ABC的頂點O在底面ABC上的射影為△ABC的重心，OA=OB=OC=1，則三棱錐O-ABC的高h為重心到頂點的距離，即h=2/3*OA=2/3*1=2/3，底面△ABC的面積S=√3/4*1^2=√3/4，則三棱錐O-ABC的體積V=1/3*S*h=1/3*√3/4*2/3=√3/18，故答案為√3/18，題目可能存在錯誤。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,C

解析：f(x)=x^2-2ax+a^2-1=(x-a)^2-1，圖像恒過定點(a,-1)，當(dāng)a=1時，f(x)=(x-1)^2-1，圖像恒過定點(1,0)，故A正確；當(dāng)a=0時，f(x)=x^2-1，在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，故B正確；當(dāng)a>0時，f(x)在x=a處取得最小值-1，故C正確；當(dāng)a<0時，f(x)在x=a處取得最小值-1，故D錯誤；f(x)的圖像與x軸的交點個數(shù)由判別式Δ=4a^2-4(a^2-1)=4>0決定，恒有兩個交點，故E正確。

2.A,B,C,E

解析：f(A)=b^2+c^2-a^2=2bc*cosA，若f(A)=0，則2bc*cosA=0，由于b、c>0，則cosA=0，即A=π/2，△ABC為直角三角形，故A正確；若f(A)>0，則cosA>0，即0<A<π/2，△ABC為銳角三角形，故B正確；若f(A)<0，則cosA<0，即π/2<A<π，△ABC為鈍角三角形，故C正確；f(A)的值與△ABC的形狀有關(guān)，故D錯誤；f(A)的值可以用來判斷△ABC的形狀，故E正確。

3.A,B,C,D

解析：等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q(q≠1)，若a_1=1,S_3=7，則S_3=a_1(1-q^3)/(1-q)=1-q^3/(1-q)=7，解得q=2，故A正確；S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1-2^5/(1-2)=31，故B正確；a_3=a_1*q^2=1*2^2=4，故C正確；S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1-2^n/(1-2)=2^n-1，故D正確；q=2>1，{a_n}是遞增數(shù)列，故E正確。

4.A,B,C,E

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π/2），其最小正周期為π，則ω=2，故A正確；f(π/4)=1，即sin(2π/4+φ)=1，sin(π/2+φ)=1，由于|φ|<π/2，則φ=π/4，故B正確；f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，故C正確；f(x)在區(qū)間[0,π/2]上是增函數(shù)，故D錯誤；f(x)的最大值為1，最小值為-1，故E正確。

5.B,C,D

解析：直線l：y=kx+1與圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B兩點，且|AB|=2√2，將直線l代入圓C的方程，得x^2+(kx+1)^2-2x+4(kx+1)-3=0，即(1+k^2)x^2+(2k-2)x+4k-2=0，由韋達定理和弦長公式，得|AB|=2√(Δ/(1+k^2))=2√((4k-2)^2-4(1+k^2)(4k-2))/(1+k^2)=2√2，解得k=1，故B正確；圓心C(1,-2)，半徑r=√(1^2+(-2)^2)=√5，圓心C到直線l：y=x+1的距離d=|1-(-2)+1|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2，故C正確；k=1時，直線l與圓C相交于兩個不同的點，故D正確；由上述計算可知，直線l過圓C的圓心，故A錯誤。

三、填空題答案及解析

1.4,-1

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x+1，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(1±√3/3)=1-3(1±√3/3)^2+2(1±√3/3)+1=1-3(1±2√3/3+1)+2(1±√3/3)+1=1-3(2±2√3/3)+2(1±√3/3)+1=1-6±2√3+2±2√3+1=4±4√3/3，f(1)=4，f(-1)=-1，故極大值為4，極小值為-1。

2.1/2

解析：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2,b=√3,C=π/3，則cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(√3^2+1^2-2^2)/(2*√3*1)=1/2，cosB=cos(π-(A+C))=-cos(A+C)=-cosA*cosC+sinA*sinC=-1/2*1/2+√3/2*√3/2=1/2，故cos(A-B)=cosA*cosB-sinA*sinB=1/2*1/2-√3/2*√3/2=-1/2，題目可能存在錯誤。

3.36

解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1,a_5=9，則a_2=a_1+d=9-1=8，d=a_2-a_1=8-1=7，S_9=9/2*(a_1+a_9)=9/2*(1+8*7)=9/2*57=9*28.5=36，故答案為36。

4.√5/2

解析：復(fù)數(shù)z=1+i/(1-i)=((1+i)*(1+i))/((1-i)*(1+i))=(1+2i+i^2)/(1-i^2)=(1+2i-1)/(1+1)=2i/2=i，則|z|=|i|=√(0^2+1^2)=1，故答案為1，題目可能存在錯誤。

5.5

解析：圓O的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，即(x-3)^2+(y+4)^2=25，圓心O(3,-4)，半徑r=5，故答案為5。

四、計算題答案及解析

1.最大值為5，最小值為-1

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x+1，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(1±√3/3)=1-3(1±√3/3)^2+2(1±√3/3)+1=4±4√3/3，f(-1)=-1，f(3)=5，f(-1)=-1，f(3)=5，故最大值為5，最小值為-1。

2.面積為3√3/2

解析：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,C=π/3，則由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=3/2，c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=9+16-2*3*4*3/2=1，c=1，則△ABC的面積S=1/2*ab*sinC=1/2*3*4*√3/2=3√3/2。

3.q=2

解析：等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q(q≠1)，若a_1=1,S_3=7，則S_3=a_1(1-q^3)/(1-q)=1-q^3/(1-q)=7，解得q=2。

4.φ=π/4

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π/2），其最小正周期為π，則ω=2，f(π/4)=1，即sin(2π/4+φ)=1，sin(π/2+φ)=1，由于|φ|<π/2，則φ=π/4。

5.k=1

解析：直