初中數學競賽講座奧數精講《方程與方程組》 2 3含字母系數的一次方程 7 217學會配方 298認識一元二次方程 9一元二次方程的判別式 4110一元二次方程的整數根 4711一元二次方程的應用 12一元二次方程知識圖 13根與系數的關系及其應用 69 76 8 18二(多)元一次方程的整數解 習題解答 大多數人總會認為如下的問題：字母a表示什么?數字1是什么?都是極為平凡的問題?？墒牵阍谧屑毲贫嗽?，用腦想一想，感覺不那么簡單，而且想來很有趣，難道不是嗎?!字母a表示什么呢?轉換你看問題的角度，用a“丈量”你學習的足跡，發(fā)現a真的很豐富很生動。你會說，a是26個英文字母表中排第一的字母；a可以代表正整數，可以代表分數，代表無理數、實數……a還可以代表一個算數算式，一個多項式如x-2,x2+3x-2,代表分式如,代表無理式如√x2-2……a還可以代表一個幾何圖形及其周長與面積……你想a是什么,它就是什么。由此可以明白，a可表示單數“一”,也包含著“all”。因此，你看a,不能僅僅看成是一個“一”,而是要看到“一切”。其實，我們每個人都容易擁有一切，只需用你的眼光。但是，我們常常把自己框限于一個小小天地里，因此就會感覺到學的不夠靈活，不夠輕松。讓我們從現在開始，轉換觀念，由“一”想及“一切”,則你必勝于“千里之外”,不戰(zhàn)而勝，且“勝于無形”之中。說到數1,與以上的認識一樣，它也預示著“看我1,不起眼，我卻可以代表一切”。讀者在閱讀這種小冊子時，首先要做的，就是你的眼睛：“看a不是a”,“看1不是1”?？础癮”應認為是你曾經的所有，能做到嗎?親愛的讀者們。試舉幾個具體例子，運用上述理念來進一步認識這些例子，并談談你自己的感受。2一元一次方程的求解讓我們一起來玩列式游戲吧!將數2和3、字母x,用等號“=”及四則運算符號“十、一、×、÷”中一個連接起來，可以得到哪些式子?相信你可以寫出很多個式子。由前一講“a和1”的理解，你可以將它們歸為四類，一類式子是形如x=a±b,x=a×b,x=a÷b,這一類式子可以直接利用算術計算得x的結果；第二類式子形如x+b=c;第三類式子形如ax=c(a≠0);第四類式子形如對于x+b=c,可以用加法與減法互為逆運算來計算，若一個數加上數b等于數c,則這個數等于c減去b,即x=c-b。當我們用未知數x來認識等式x+b=c時，就稱為一元一次方程x+b=c,上述運算過程，又可以看作是將方程中的項b從等號的左邊移至右邊且改變符號，使含未知數x的項在等號的左邊，已知數的式子在等號的右邊。這個過程，在解方程中叫做移項，得x=c+(-b),即方程x+b=c的解為x=c-b。對于ax=c,在a≠0的條件下，利用乘除互逆運算關系得,即從方程的角度可以將上述過程看作是方程兩邊同除以a(a≠0),得.,即方程ax=c(a≠0)的解為同樣地，對于第四類式子先在兩邊同乘以x,得a=cx,化為第三類式子從而求得至此，我們會解方程ax=c(a≠0)和x+b=c了，如方程的解就容易得到了，前者在方程兩邊同時除以2,后者把-3移到等號右邊，則這兩個方程的解分別為x=4。再回首，多看一眼ax=c,可以認識到ax+0=c;多看一眼x+b=c,可以認識到1·x+b=c。據此，你自然想問若將“0”換為數b,將“1”換為a得到形如ax+b=c的方程可以求解嗎?例如，方程3x-5=4如何求解呢?必然地想到利用解形如方程ax=c,x+b=c的基本解法。首先，將-5改變符號后，移至等號右邊，得其次在方程3x=9的兩邊同時除以3,得x=3。將x=3代入原方程，驗算知等式成立。(這一步在解多項式方程時可以略去，但在解分式方程時需將求得結果代回到原方程驗算等式是否成立。這一步驟又稱為檢驗。)所以，方程3x-5=4的解為x=3。因此，我們又會解方程ax+b=c(a≠0)了。嘗試總結解方程ax+b=c的步驟，并思考在解方程ax+b=c(a≠0)時是否還可先兩邊同除a,故原方程的解為x=-8。解法2方程兩邊同除,得故原方程的解為x=-8?；舅悸防?的方程與例1相比要復雜得多，因為它需要通過代數式的運算(合并同類項)解方程可化為移項得8x=-8。兩邊同除8,得x=-1。故原方程的解為x=-1。說明通過解例2,你能總結出解類似于例2的較為復雜的方程的步驟嗎?例3小明在解方程3a-2x=15(x為未知數)時，誤將-2x看作是+2x,得方程的解為x=3,基本思路先按題設將方程改寫為3a+2x=15,然后利用方程的解的意義即x=3使得等式成立，從而求得a。最后解題設中的方程。解這個關于a的一元一次方程，得a=3。于是題中方程為9-2x=15。故原方程的解為x=-3。例4解方程基本思路別急，多讀題。通常的做法是去括號，先去小括號再去中括號……,運算較繁。但是，你再讀一遍，發(fā)覺可嘗試先去中括號(因為,可以簡捷簡化方程式。得故原方程的解為說明(1)請讀者嘗試按通常做法解此方程，并指出按通常做法處理較為復雜方程時的優(yōu)點之處。(2)解方程的過程不必拘泥于一定將含未知數的項移至方程式等號的左邊。上述求解中，還可以將含未知數x的項X移至等號右邊，移至等號右邊，而數1移至左邊，即基本思路先移項3,再用絕對值的意義分情況討論，注意舍去不合題設的x(即增解)。當x+1≥0時，有x≥-1,且x+1=2,得x=1。當x+1<0時，有x<-1,且x+1=-2,得x=-3。將x=1和x=-3代入原方程，知x=1和x=-3均為原方程的解。3.解方程：4.解方程：3含字母系數的一次方程在第2講中，我們主要討論了一元一次方程ax=b(a≠0)的求解，這里a,b是給定的數，知道了關于x的方程在a≠0的情形下方程的解為方程ax=b又稱為含字母系數的一元一次方程。方程ax=b對于a=0和b=0,可變形為0●x=0,這表明x有無數多個值滿足此等式，即方程有無數多個解；對于a=0,且b≠0,方程變形為0·x=b,此等式不成立，這表明方程無解。因此，方程ax=b解的情形為：a≠0時方程有唯一解，為a=0且b=0時方程有無數多利用上述結果可以方便地求解若干較為復雜的含字母系數的一元一次方程。例1解關于x的方程：4a2-x=2ax+1?；舅悸芬祈椶D化為Ax=B的形式，利用平方差公式分解4a2-1,然后討論字母不同取值下方程的解的情況。解移項得(2a+1)x=4a2-1。利用4a2-1=(2a-1)(2a+1),方程又可變形為故時，方程有唯一解，為x=2a-1;,方程有無數多個解。例2解關于x的方程m2(1-x)=mx+1?；舅悸贩抡绽?變形方程。注意不要漏掉方程的解的討論情況。解原方程變形為m2-m2x=mx+1。移項得(m2+m)x=m2-1,當m≠0且m≠-1時，方程的解為當m=0時，原方程變?yōu)?●x=-1,方程無解；方程有無數多個解，其解為任意數。故m≠0且m≠-1時，方程有唯一解，為m=0時，方程無解；m=-1時，方程有無數多個解。例319個糖果盒排成一列，正中間的盒子放a個糖果。從這里向右，每個盒子比前一個多m個糖果；從這里向左，每個盒子依次比前一個多n個糖果(a,m,n都是正整數)。如果糖果的總數是1995個，且a≥36,求a的值?；舅悸钒搭}設得到糖果總數為19a+45m+45n,然后利用因數分解及整除性，求得結果。解由題設得糖果總數為a+(a+m)+(a+2m)+…+(a+9m)+(a+n又19a+45(m+n)=1995,則有因為a,m,n都是正整數，19是質數，所以m+n一定是19的倍數，但須小于105,從而有又題設中a≥36,所以a為60。關于x的方程ax=b,逆向思考，我們可以有如下結論：若方程有唯一解，則a≠0;若方程有無數多個解，則a=0,且b=0;若方程無解，則a=0且b≠0。例4若abc=1,解方程基本思路注意到ab+a中每項含有a,則嘗試將1代換為abc,這樣可以簡化式子;同樣地，將abc代換為1,可變形式子從而簡化方程形式求得結果。解利用abc=1,可將原方程變形為4一元一次方程的應用現在，你已經會解一元一次方程了。你能否運用一元一次方程知識來處理一些實際問題呢?事實上，我們是可以的。因為處理實際問題時，我們只要多讀題，善于用字母表示出實際問題中所涉及的對象和關系，并轉化為一元一次方程，就變得易于解決了。有時，為了盡快地理解思路，需借助圖表揭示實際問題中的關系，而迅捷地轉化為一元一次方程。從學習數學語言的角度看，處理實際問題就是需要我們學會玩語言的“三角”轉換，即實際文字語言、符號語言與圖表語言之間的轉化。讓我們從現在起努力學會玩“語言三角”吧!例1某商店一種商品的進價降低了8%,而售價保持不變，可使得商店的利潤率提高十個百分點，問：原來的利潤率是百分之幾?基本思路慢讀，逐句理解清楚?；仡櫋斑M價”,就是商店購進商品時的價格，可以大膽地嘗試用字母表示，這里可以用a表示原來的進價，“進價降低了8%”就是現在的進價為a×(1-8%)。“售價”就是實際銷售的價格，“利潤”是因銷售商品而賺的錢，即利潤=售價一進價，“利潤率”就是利潤與進價的百分比值。用x%表示原來利潤率，則原來的售價為“利潤+進價”=x%·a+a,于是由“售價保持不變，可使商店的利潤率提高10%”,可得現在利潤率為x%+10%,從而有,而“售價一現進價”=(a+a●x%)-a×(1-8%),所以就得到式子：a+a●x%-a×(1-8%)=[a×(1-8%)]·(x%+10%),從而轉化為含字母系數的一元一次方程了，求解此方程得結果。解設原來的進價為a元，原利潤率為x%。由題設知原售價為(1+x%)a元，現在進價為(1-8%)a元，利潤率為x%+10%=(x+10)%,而現在的售價仍為(1+x%)a,所以現在利潤=(1+x%)a-(1-8%)a元，從而有可化為(1+x%)-(1-8%)=(1-8%)(x+10)%,解得x=15。答：原來的利潤率是15%。例2“婦人洗碗在河濱，路人問她客幾人?答曰不知客數目，六十五碗自分明，二人共食一碗飯，三人共吃一碗羹，四人共肉無余數，請君細算客幾人?”(摘自《孫子算經》)基本思路用x表示客人數，“二人共食一碗飯”知飯碗用只，“三人共吃一碗羹”知羹碗用了只，“四人共肉無余數”知肉碗用了只，共有碗65只，則易于列出等式。解設客人有x人，則飯碗用了只，羹碗用了只，肉碗用了只。于是，根據題設得方程解得x=60。答：客人有60人。例310個人圍成一個圓圈做游戲。游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來。若報出來的數如圖4-1所示，則報3的人心里想的數是。(2009年全國初中數學競賽題)基本思路設報3的人心里想的數是x,報5的人心里想的數是a,那么報4的結果是a與x的平均數，即得a=4×2-x=8-x。這樣就可以知道報5的人心里想的數為8-x。同樣的道理，報7的人心里想的數是6×2-(8-x)=x+4,報9的人心里想的數為8×2-(x+4)=12-x,報1的人心里想的數為2×10-(12-x)=x+8,報3的人心里想的數為2×2-(x+8)=-x-4,而這等于x,得到方程。解設報3的人心里想的數是x,則報5的人心里想的數應是4×2-x=8-x。同理可知報7的人心里想的數是x+4,報9的人心里想的數是12-x,報1的人心里想的數是x+8,報3的人心里想的數是-4-x。于是得解得x=-2。例4如圖，一個高為10cm、半徑為6cm的圓柱，以每分鐘轉一圈的速度旋轉。一個寬為3cm的刷子從圓柱側面的頂端以每分鐘移動1cm的速度垂直向下移動。那么刷子刷過圓柱側面50%的面積所花的時間是分鐘。(2011年“時代杯”江蘇省中學數學應用與創(chuàng)新邀請賽題)圖(1)圖(2)圖4-2基本思路刷子第一圈刷過的側面展開圖如圖(2)。圓柱側面展開圖為矩形，圓柱高10cm為矩形的寬，長為2π×6=12π(cm)。第一圈刷子刷過側面展開圖為平行四邊形ABCD。第2圈刷子垂直向下移動1cm,得到一個小平四邊形帶BCEF,其面積為1×2π×6=12π(cm2)。如此繼續(xù)下當它是圓柱側面的50%時，就可以得到等式即方程。解設刷子經過t分鐘刷過圓柱側面50%的面積。為10cm。于是有答：刷子刷過圓柱側面50%的面積所花的時間為3分鐘。說明畫一個草圖如圖(2)用以發(fā)現面積增加的規(guī)律。這是便捷解決實際問題的有益建議。例5一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛。在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間。過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t=。(2010年全國初中數學競賽題)基本思路解這些較復雜的提，建議大膽用字母表示若干對象及其之間的數量關系，并借助于“又過了5分鐘，小轎車追上了客車”,表明小轎車用10+5=15(分鐘)追上了客車，即(10+5)(a-c)=2S;“貨車經過x分鐘追上客車”即x(a-c)=S。上述三個式子聯立，消解設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為a,b,c千米/分，并設貨車經過x分鐘追上客車，則由題意得x(b-c)=S。由10(a-b)=S及15(a-c)=2S得,則例6一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數相等，起初，每輛汽車乘了22人，結果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上。已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車?有多少名旅客?這里k為正整數；又“每輛車最多只能容納32人”,即k≤32。這樣消去S,并結合x,k為正整數且k≤32可得所求結果。解設起初有汽車x輛，開走一輛空車后平均每輛車所乘的旅客為k名。由題意知22x+1=k(x-1),x≥2,k≤32,所以因為k為正整數，所以為整數。而23為素數，那么x-1=1,或x-1=23,得x=2,或答：起初有24輛汽車，529名旅客。1.已知一個多邊形的內角和等于其外角和的3倍，求此多邊形的邊數。2.0~9這10個數字每個恰用一次，組成若干個數，它們的和為100。問有多少種方法?3.甲、乙兩個機器人同時從起點出發(fā)，沿跑道勻速向終點行進。電子記錄儀表明：當甲距離終點1米時，乙距離終點2米；當甲到達終點時，乙距離終點1.01米。那么,跑道的長度為米。4.旅行者從下午3時步行到晚上8時，他先走平路，然后上山，到達山頂后就按原路下山，再走平路返回出發(fā)地。若他走平路每小時行4千米，上山每小時行3千米，下山每小時行6千米，問旅行者一共行多少千米?5.如圖為一個階梯的縱截面，一只老鼠沿長方形的兩邊A→B→D的路線逃跑，一只貓同時沿階梯 (折線)A→C→D的路線去捉，結果在距離點C1.5米的D處，貓捉住了老鼠。已知老鼠的速度是貓的,問：A→C的長度是多少米?6.游泳者在河中逆流而上，所帶水壺于橋A下被水沖走，繼續(xù)向前游了20分鐘后他發(fā)現水壺遺失，于是立即返回，在橋A下游距橋A2千米的橋B下追到水壺，求該河水流的速度。7.梅林中學租用兩輛小汽車(設速度相同)同時送1名帶隊老師及7名九年級的學生到縣城參加數學競賽，每輛限坐4人(不包括司機)。其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現故障，此時離截止進考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h,人步行的速度是5km/h(上、下車時間忽略不計)。(1)若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；(2)假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性。5二(多)元一次方程組解二(多)一次方程組的基本思想就是“消元”,將二(多)元一次方程組轉化為一元一次方基本思路用代入消元法，將x=-1-3y代入另一方程3x-y=7,或將y=3x-7代入方程解法1由方程3x-y=7得y=3x-7,代入方程x+3y=-1,得解得x=2,代入y=3x-7得y=-1。解法2將方程3x-y=7兩邊同乘以3,得將x=2代入方程x+3y=-1,得2+3y=-1,解得y=-1。(1)當時，方程組有唯一一組解(3)當時，方程組無解。例2已知關于x的方程2a(3x+2)-1=(2b+1)x有無數多個解，求a與b的值。解由題設關于x的方程可變形為故基本思路用代入消元法，對于含字母的式子去乘或除方程解由方程①得2y=1+a-ax,代入②得當(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1時，方程③有唯一解代入2y=1+a-ax,得當(a-2)(a+1)=0,且(例4設m,n是給定的實數，已知關于x,y的方程組與有相同的解，求m,n的值。(2011年“時代杯”江蘇省中學數學應用與創(chuàng)新邀請賽題)關于m,n的方程組。例5求方程組·的解的組數。(2007全國初中數學競賽解若x≥0,則題設方程組轉化為得||-y=-6,而|y|-y≥0,所以不存在|y|-y=-6,從而推知x≥0時原方程組無解。若x<0,則題設方程組轉化為于是|y|+y=18,解得y=9,從而求得x=-3。所以，原方程組的解為只有1組解。(2011年全國初中數學競賽題)基本思路將題設中等式看作是關于x,y的二元一次方程組，解得x,y關于z的式子，然后代入x2+y2+z2中得到一個關于z的一元二次式，則可利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2及完選D。2.關于x,y的兩個方程組和具有相同的解，求a,b的值。3.已知關于x,y的方程組,問a為何值時，方程組有無數多組解?a為何值時，只有一組解?4.對于任意的數a,b,關于x,y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a-b都有一組公共解，這組5.甲、乙兩人解二元一次方程組由于甲看錯了方程①中的a而得到方程組的解為乙看錯了方程②中的b而得到的解為求正確的a,b值，并求出原方程組的解。6.解方程組7.解方程組9.若x?,x?,x?,x?和x?滿足方程組試確定3x?+2x?的值。6二(多)元一次方程組的應用應用二(多)元一次方程組來解決實際問題時，首要的依然是多讀題，善于用字母將題中對象及關系表示出來，進而利用等式基本性質簡化所求問題的代數式(即二(多)元一次方程組),求得例1雞兔共100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只?(摘自《孫子算經》)解設雞有x只，兔有y只，則由題意知所以，雞有80只，兔有20只。說明上述問題時雞兔同籠問題，在小學里運用假設法及算術知識處理了與本題類似的問題。但是其處理的方式較之代數的解法(設未知數，列出方程組)來說較難(同學們可以再體會一下)。代數的方法具有統一性，各種各樣的問題可以用同樣的方法處理，而且復雜的應用題，特別是涉及例2小王沿街勻速行走，發(fā)現每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車。假設每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是分鐘。(2008年全國初中數學競賽題)基本思路大膽用字母表示，令同向行駛的相鄰兩車的間距為s米，18路公交車和小王行走的解設18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則6x-6y=s每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則3x+3y=s由①,②可得s=4x,所以答：18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘。例3有四個正整數，其中任三個數的算術平均數與第四個數的和，分別等于29,23,21,17,則這四個數中最大的一個是_o基本思路分別令四個數為x,y,z,w,列出四元一次方程組，解這個方程組。解設四個數分別為x,y,z,w,則由題設知上述四個方程相加得2(x+y+z+w)=9因為所以由29>23>21>17知道,得w>z>y>x,即w是最大數。于是，由得解得w=21。所以，這四個數中最大的一個是21。說明在上述解答過程中，可以直接由x+y+z+w=45及上述方程組中的每個方程分別求例4某紙品加工廠制作了甲、乙兩種無蓋的長方體小盒，如圖6-1,然后又利用邊角料裁出了正方形硬紙片150張，長方形硬紙片300張，并且長方形的寬與正方形邊長相等，如圖6-2,再將這些硬紙片全部用于制作這種小盒，還可做成甲、乙兩種小盒各多少個?甲基本思路甲種小盒每個由1張正方形紙片和4張長方形紙片組成，乙種小盒每個由2張正方形紙片和3張長方形紙片組成，因此，可令甲、乙兩種小盒的個數分別為x,y,那么甲種小盒共需要x張正方形紙片及4x張長方形紙片，乙種小盒共需要2y張正方形紙片及3y張長方形紙片，從而得到x,y的方程組。解設可做成甲、乙兩種小盒各x個，y個，則x個甲種小盒需要x張正方形紙片和4x長方形紙片，y個乙種小盒需要2y張正方形紙片和3y張長方形紙片。于是，由題設得解得答：可做成甲、乙兩種小盒各30個、60個。例5A,B,C三人各有糖若干粒，要求互相贈送。先由A給B,C,所給的糖數等于B,C原來各有的糖數，依同法再由B給A,C現有糖數，后由C給A,B現有糖數，互送后每人恰好各有64粒，問原來三人各有糖多少粒?基本思路體重條件較為復雜，列出一個表來揭示相互間的等量關系，這是一個轉化實際問題的基本方式，在大膽設元A,B,C三人各有糖x,y,z粒之下，仔細列表正確表示出變化過程中的量的關系。z解設A,B,C三人原來各有x,y,z粒糖，依題意可列出下表：zABC原有xyZ第一次贈送后第二次贈送后第三次贈送后由此可得解得答：原來甲有糖104粒，乙有糖56粒，丙有糖32粒。說明在解決實際問題時，需常想到列表或畫一個示意圖。這時可以簡捷得到解題思路的良好方式。例6一個時鐘有時針與分針但鐘面上并沒有數字。在早上T時刻，鐘在鏡子中的影像顯示出早上X時刻，且X比T遲了5小時28分，問T是早上幾時幾分。基本思路首先知道在時針上每小時時針移動30°,將兩個時刻的時間關系轉化為圓上圓心角之間的關系，列出關于兩個時刻時針所對應角度a,β的方程組，解出a,β之后，再對應到時刻T解由題設，兩個時刻T與X之差為5小時28分，設(從12點處出發(fā)順時針方向計算)X時刻時針對應的角度為α,T時刻時針對應的角度為β,則在針面上它們所對應的角度之差是,所以對應的T時刻為3時16分。答：T是早上3時16分。例7一個十位數字為0的三位數，它恰好等于它的數字和的67倍；交換它的個位與百位數字后得到一個新的三位數，它恰好又是數字和的m倍，求m的值?；舅悸防檬M位制知識可設百倍、個位上數字分別是x,y,得出關于x,y的方程組，整體析出x+y,從而直接求得m。解設原三位數的百位數字為x,個位數字為y,由題意得答：m的值為34。例8有一片牧場，草每天都勻速地生長(草每天增長的量相等)。若再牧場上放牧24頭牛，則6天吃完牧草；若放牧21頭牛，則8天吃完牧草。設每頭牛每天吃草的量都是相等的。問：(1)如果放牧16頭牛，那么幾天可以吃完牧草?(2)要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛?基本思路本題是熟知的“牛吃草問題”。需考慮草每天的增長量y,每頭牛每天的吃草量x,牧場原有的草量a和16頭牛z天吃草量或w頭牛吃草量之間的關系，逐步列出方程組。解(1)設每頭牛每天吃草量為x,草每天增長量為y。牧場原有的草量為a,16頭牛z天可以根據題意得x>0,y>0,z>0,③-②得且①④⑤(2)設放牧w頭牛，牧草永遠吃不完，則必須使w頭牛每天吃的草量不大于草每天的增長量，即所以至多放牧12頭牛。xow≤y⑥答：若放牧16頭牛，則18天可以吃完牧草；要使牧草永遠吃不完，至多放牧12頭牛。說明“問什么,設什么”,這是解決實際問題的基本要求，不是表述轉化實際問題為代數問題用較多字母表示出題中量與量之間關系，是處理實際問題的良例9現有含糖15%的糖水20克，含糖40%的糖水15克，另有足夠多的糖和水，要配制成含糖20%的糖水30克。(1)試設計多種配制方案；(2)試對你的各種配制方案作一評價，哪一種用糖最省?哪一種現有糖水的浪費最少?基本思路溶液的配置方案可以是：只用糖與水；不用含糖40%的糖水；不用含糖15%的糖水；兩種糖水各用10克等。分別列出上面四種方案所對應的二元一次方程組，然后解方程組，并比較相解(1)因為有兩種不同含糖量的糖水和足夠多的糖和水供配制之用，于是可以有下面四種方案(還可有其他方案):設用糖x克，用水y克，則,解得②將含糖15%的糖水20克全用上，但不用含糖40%的糖水。設用糖x克，用水y克，則③將含糖40%的糖水15克全用上，但不用含糖15%的糖水。由于含糖40%的糖水15克中有糖6克，而所要配制的含糖20%的糖水30克也有糖6克，數量相等，所以只要用含糖40%的糖水15克再加水15克即可。④用兩種糖水各10克。設用糖x克，用水y克，則,解得(2)上述各種解法中，第③種方法用糖最深(不用糖)。第②、④種方法與其他方法比較，現有糖水用得最多(浪費最少),有沒有比現在糖水浪費更少的方法?理想的方法是30克糖水均由現有糖水構成，即不加糖和水。設用含量15%的糖水x克，含糖40%的糖水y克，則但含糖15%的糖水總共才有20克(<24克),故此解答不切實際，由于缺少的4克15%的糖水中的糖分可用40%的糖水補充，所以最省的方法應是只加水，不加糖。設用現有糖水用y克，其中含糖15%的糖水x克，加水a克，則即用15%的糖水20克，40%的糖水7.5克，加水2.5克，可使現有糖水浪費最少。1.有若干只雞和兔子同籠，它們共有88個頭，244只腳，問雞和兔各有多少只?2.一項世博工程，由甲乙兩個工程隊合作7個月可以完成，現兩隊合作5個月后，甲隊所有隊員及乙隊人數的調整做其他工作，又過了6個月由剩下的人把工程完成。如果甲乙單獨做，那么甲需要幾個月，乙需要幾個月?3.汽車以每小時72千米的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷多遠?(聲音的速度以340米/秒計算)4.有兩種鐵礦石，甲鐵礦石含鐵68%,乙鐵礦石含鐵63%,現要配制含鐵65%的混合鐵礦石100噸，兩種鐵礦石應各取多少噸?5.小強問叔叔有多少歲，叔叔說：“我像你這么大時，你才4歲；你到我這么大時，我就40歲了?！眴栃姾褪迨褰衲旮魇嵌嗌贇q?6.一批貨物準備運往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可以租用。已知甲、乙、丙三輛車每次運貨量一定，如果甲、乙兩車單獨運這批貨物，則甲車運送的次數是乙車運送次數的2倍；如果同時租用甲、丙兩車，用相同次數運完這批貨物時，甲車運了180噸；如果同時租用乙、丙兩車，用相同次數運完這批貨物時，乙車運了270噸。如果同時租用甲、乙、丙三車，用相同次數把這批貨物運完，貨主應付這三輛車車主運費各多少元(每運1噸付運費20元)?7.一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛多少千米。(2009全國初中數學競賽題)覺去。月亮出來了，其中的一只猴子偷偷地跑過來，扔掉多余的一個桃子，剩下的桃子正好可以平均分成五份，它抱起自己應得的一份，回去睡覺了。過了一會兒，另一只猴子跑過來，也扔掉一個(1)問原來的那一堆桃子至少應該是多少個?(2)若第三、第四、第五只猴子，它們來了以后也是和前面兩個猴子一樣，扔掉一個，然后拿走自己的一份。問原來的桃子至少有多少個?最后至少剩下多少個桃子?9.一旅游團50人到一旅舍住宿，旅舍的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每晚20元，二人間的每人每晚30元，單人間的每晚50元。(1)若旅游團共住滿了20間客房，問三種客房各住了幾間?怎樣住消費最低?(2)該旅游團中，若安排是夫妻的住二人間，單身的(成人)住三人間，小孩可隨父母住在一起。現已知有4對夫妻各帶了1個小孩，單身的30人，其中男性17人，有2名單身神經衰弱患者要求住單人間，問這一行人共需多少間客房?在小學里，我們就學過“一個數加2等于6,求這個數”這樣的問題，如果用方程表示就是這里的x表示所求的數。解這個方程，對大家來說，是一件輕松而又容易的事，在①中移項就可以得到但是，如果是“一個數的平方加2,等于6,求這個數”,那么又如何求呢?同樣地，我們可以設所求的數為x,則有x2+2=6,我們知道，2的平方等于4,-2的平方也等于4,所以x=2或x=-2。因此，對于x2=4,用根式表示就是x=±√4,即x=±2。一般地，對于x2=a(a≥0),就有x=±√a。讓我們換個角度來認識①與②的關系，我們發(fā)現②式可以看作是①式中x“生長”為x2得到的，即現在，對“x2”中的x來玩“生長”,那么,我們能得到什么樣的結果呢?看著x2=4,想著x生長為x-3,這個等式又變成怎樣的形式呢?我們用流程圖表示就是即這個③式即方程x2-6x+5=0將如何求解呢?回頭看剛才的“生長過程”,認識“來而不往非理也”。我們發(fā)現：可以先利用完全平方公式配成平方，然后用根式的定義(x2=a,求得方程的解，也就是：得x=±√a)③是“x2+bx+c=0”。那么,解這個方程x2+bx+c=0的關鍵就是配方。如何熟練地對二元三項式進行配方呢?關鍵在于熟練地運用a2+2ab+b2=(a+b)2,即看到a2+b2想到找2ab,或者看到a2+2ab想到找b2。試著：看a2b2+1找2ab,看a2+b2也找2ab,是否就可以分解了。思考嘗試看a2b2+4ab想到找4,你能順利地分解因式嗎?你得到怎樣的體會?解由a?=4b?想到4a2b2,則有由于a>1,b>1,所以(a-b)2+b2>1,(a+b)2+b2>1。其一，問自己，什么樣的整數a與b,使得a?+4b?是質數(除1及自身外無其他約數)?其二，問自己，a?+4b?可以寫成四個數的平方和嗎?如果能，這四個數可以不同嗎?解原式整理為x+y+z-2√x-a√y-1-2√z-2=0,看x-2√x,(y-1)-2√y-1,(x-2√x+1)+[(y-1)-2√y-1+1]+[(√x-1=0,√y-1-1=0,√z-2-1=0,思考你能運用第1講中的“觀念”,得到類似于例3的問題，并努力嘗試解決它們嗎?例4說明n2+n+1(n是正整數)不是完全平方數?；舅悸钒刺嶙h，考慮n2+n+1介于兩個連續(xù)數的平方之間，努力尋找這樣的兩個平方解由于n2<n2+n+1<n2+2n+1=(n+1)2,所以n2+n+1不是完全平方數。思考(1)試判別n2+n+1(n是正整數)是否一定不是完全平方數?(2)你會解決“n2+r(1≤r≤2n,n,r是正整數)不是完全平方數”的問題嗎?例5已知一個四邊形的四條邊長分別為a,b,c,d,它們滿足等式解努力得到一些完全平方式，看到a?+b?想到-2a2b2,看到c?+d?想到-2c2d2。a?+b?+c?+d?-4abcd二恰好有a2b2+2abcd+c2d2是完全平方式，所以由得(a?-2a2b2+b?)+(c?-2c由于a,b,c,d都是正數，所以a=b=c=d。1.已知x2+y2+4x-6y+13=0,其中x,y均是實數，求x+2y的值。3.試確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的實根的個4.實數a,b滿足關系a2b2+a2+b2+1=4ab,試求a+b的值。6.已知a,b,c是三角形ABC的三邊長，且滿足8認識一元二次方程①①因此，求解具體的一元二次方程的解，就可以利用公式直接計算得到，即用公式來求解方例2設a=√7-1,則代數式3a3+12a2-6a-12的值為(。(A)243a2+12a2-6a-12=3a(6-2a)+1例3設c是實數，已知x2-3x+c=0的一個解的相反數是方程x2+3x-c=0求方程x2-3x+c=0的解設x?是方程x2-3x+c=0的一個解，則-x。是方程x2上述兩式相減得2c=0,所以c=0。于是方程x2-3x+c=0變?yōu)閤2-3x=0,從而得此方程的解是例4已知b,c為方程x2+bx+c=0的兩個根，且c≠0,b≠c,求b,C?；舅悸穼,c代入方程得兩個等式，簡化變形為關于b求得b,從而由c=-b-1得c的值。解因為b,c是方程x2+bx+c=0的兩個根，所以由c2+bc+c=0及c≠0得c=-b-1,把它代入b2+b2+c=0得于是b=1,c=-b-1=-2?；舅悸氛矸匠虨樾稳鏏x2+Bx+C=0的形式，考慮A是否為0,進而分別求解。若a2-a=0,即a=0,1,則題中方程是一次方程，a=0時x=0;a=1若a2-a≠0,即a≠0,1,則題中方程時一元一次方程，可以解得例6已知三個關于x的一元二次方程恰有一個公共實數根，則的值為()。(2007年全國初中數學競賽題)基本思路將公共實數根x。代入三個方程式得到關于a,b,c三個恒等式，經過變形(三式相加)得a+b+c=0,進而簡化,得值。解設x?是它們的一個公共實數根，則因為所以a+b+c=0。于是故選D。說明還可以利用公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),得到結果。例7已知a,b為正整數，關于x的方程x2-2ax+b=0的兩個實數根x,x?,關于y的方程y2-2ay+b=0的兩個實數根為y,y?,且滿足x?y?-x?Y?=2008。求b的最小值。(2008年全國初中數學競賽題)基本思路用求根公式分別求出兩個方程的根并運算xy?-x?y?,分情形計算，得到符合題設條解關于x的方程x2-2ax+b=0的根為a±√a2-b,關于y的方程y2-2ay+b=0的根為當x=a+t,x?=a-t,y?=-a+t,y?=-a-t時，有xy?-x?Y?=0,當x=a-t,x?=a+t,y?=-a-時，有xy?-x?y?=0,當x=a-t,x?=a+t,y?=-a+t,時，得xy?-x?y?=4at;當x=a+t,x?=a-t,y?=-a-t,y?=-a+t時，得xy?-x?Y?=-4at,不滿足條件。因為a,b為正整數，所以a2-b且t>0。為正整數，即t2為整數，又為有理數，所以t為整數，及at=502,得從而知b的最小值為2512-4,即62997.20世紀的考古工作發(fā)現，早在公元前1700年，居住在美索不達米亞的人們已經有了高度發(fā)展的數學文化，其中包括六十進位制和勾股定理的知識。他們知道勾股定理是在畢達哥拉斯以前一千年，他們已經有了解二次方程的辦法。巴比倫人將二次方程的解法化為一種正規(guī)形式，其正規(guī)形式已知兩個數b和c,滿足xy=c,x+y=b,求x,y。(2)將此數平方；(3)從中再減去c;(4)對所得的結果開平方；(5)再加b的一半得出所求兩數中的一數；從b中減去這個數得出另一數。bx=(x+y)x=x2+xy=x2+c?x2-bx巴比倫人關于正規(guī)形式的五個步驟用近代的他們是如何推出這一公式的呢?我們現在無從知道，因為那么遙遠的年代的遺存物太少了。1.設b,c是整數，當x依次去1,3,6,11時，小明算得多項式x2+bx+c的值分別為3,5,21,93。經驗證，只有一個結果是錯誤的，這個錯誤的結果是(。2.關于x的一元二次方程3x2+2ax-a2=0的一個解是-1,求a的值。3.設關于x的方程x2+5x+b=0的兩個實數根為x,x?,且|x?-x?|=3,則b=。(2010年“時代杯”江蘇省中心數學應用與創(chuàng)新邀請賽題)5.方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0(a≠c)有相同的根a,求a。(2002年重慶市初中數學競賽題)是其中的兩條線段(如圖),求x可取值的個數。(提示：利用勾股定理列方程)。9一元二次方程的判別式好像不是，如方程x2-x+1=0,通過配方后，它卻是,而這是不可能成立的，這說明此方程無實數解。那么,滿足什么條件的方程就一定有實數解呢?我們已經知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以通過配方轉化為根據平方根的定義，當b2-4ac≥0時，方程才有實數根；當b2-4ac<0時，方程無實數根。人們把b2-4ac稱為一元二次方程的判別當=b2-4ac=0時，那么方程有兩個相同的根(稱為重根);當=b2-4ac>0由此可知，的正負性尤如“玉門關”,關聯著方程有無實數根。因此說，有方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有。。反之有。,就可聯想到某個一元二次方程。具有例1已知a,b,c是三角形的三邊，試判別方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0基本思路方程的判別式?？煞纸鉃?b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(a+b+c),利用三角形三邊之間的關系，知<0。=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-因為a,b,c是三角形的三邊，所以即b-c-a<0,b-c+a>0,b+c-a>0。于是<0,即方程無實數根。基本思路二元方程看作關于一個元(如x)的二次方程，由x,y為實數，利用判別式≥0,得-3(y-1)2≤0,即少元(如一元)”的意識。解方程x+y=x2-xy+y2+1可以變形為關于x的一元二次方程要使得此方程有實數解x,則必有因為所以基本思路利用判別式≥0,并將判別式進行配方化簡得解因為原方程有實根，所以得得即從而有所以故當a=1,時，原方程有實根。原方程兩邊都乘以2,并展開，得2x2+4x+4ax+6a2+8ab+因為(x+2)2,(x+2a)2,2(a+2b)2均非負，所以從而即當a=1,時，原方程有實根x=-2。例4設a,b,c是不全相等的實數，三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0能同時有相等實數根嗎?基本思路假設三個方程同時有相等的實數根，則三個判別式同時為0,從而其和也為0,推得4(b2-ac)=4(c2-ab)=4(a2-bc)=0,,所以得a=b=c。這與條件矛盾，因此所給方程不能同時有相等實數根。說明還可如下論述：設三個方程的判別式分別為△?、△?、△3,由a,b,c不全相等，得+a?+a?=4(b2-ac)+4(c2-a所以△?、△?、△?中至少有一個大于0,即至少有一個方程有不等實數根。若在處理問題時，單獨處理各個式子有困難，則需有意識“考慮它們的和(或積)是否易于得好等于這個四位數。(2003年全國初中數學聯賽題)基本思路由題意可以得到前兩位數x與后兩位數y滿足方程(x+y)2=100x+y。然后仿照例2求得y≤25。進而考慮2005-99y在y≤25情形下何時為完全平方數。解設前后兩個兩位數分別為x、y,則10≤x、y≤99。由題意得根據題意，上述關于x的方程必有實數解，則有又x,y均為整數，且x=50-y±√2500-99y,那么2500-99y必是完全平方數，而完全平方數的末位數字僅可能為0,1,4,5,9。顯然，y不可能等于12,22,13,23,17,18;而對于y=11,21,14,24,15,16,19,10,20,都不能使得2500-99y是完全平方數，所以只有y=25,此時2500-99y=25。于是x=30或20。故所求四位數為2025或3025。例6已知是b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個實數根，求ab的取值范圍。(2004年全國初中數學聯賽題)基本思路ax2+bx+c=0可以變形為解x?=b2-4ac是方程ax2+bx+c=0的實根，則由b2-4ac≥0得x?≥0,并且即即得所以1-8ab≥0,即,且當時，等號成立。如當時，就滿足題中要求。故ab的取值范圍為1.k是什么實數時，方程kx2-(2k+1)x+k=0有兩個不相等的實數根?2.已知方程2x(kx-4)-x2+6=0無實數根，求k的取值范圍。3.已知關于x的方程.有實數根，其中a為實數，求a2?12-x2012的值。4.對于實數u,v,定義一種運算“*”為u*v=uv+v。若關于x的方程.有兩個不同的實數根，求實數a的取值范圍。(2008年全國初中數學競賽題)5.已知關于x,y的方程：,求它的實數解。6.已知三角形的三邊的長為a,b,c,且方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有兩個相等的實數根，試判斷此三角形的形狀。7.在△ABC中，AB=AC=m,BC=n,求證：方程4x2-8mx+n2=0有兩個不相等的實數根。8.已知關于x的方程.(1)求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根；(2)如果等腰三角形的一腰和底邊長分別是這個方程的兩個根，求實數k的取值范圍。10一元二次方程的整數根所以或解得或所以a=xx?=0或16。a=0或16。解得或因為原方程至少有一個整數根，所以a必為1,3,5,即例3關于x,y的方程x2+xy+2y2=29的整數解(x,y)(2009年全國初中數學競賽題)基本思路看作關于x的一元二次方程，用判別式≥0且為完全平方數，列表枚舉。解可將原方程視為關于x的二次方程，將其變形為由于該方程有整數根，則判別式≥0,且是完全平方數。解得,于是0149▲4顯然，只有y2=16時，△=4是完全平方數，符合要求。當y=4時，原方程為x2+4x+3=0,此時x?=-1,x?=-3;當y=-4時，原方程為x2-4x+3=0,此時x?=1,x?=3。例4已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整數，求整數n的值。則有所以，滿足題意的整數n可以是-18,-8,0,10。思考你能用其他方法來解此例嗎?試比較各種方法的適用性和簡捷性。例5已知三個整數a,b,c之和為13,且求a的最大值和最小值，并求出此時相應的解設則b=ax,C=ax2,于是由a+b+c=13,得因為a≠0,所以又a,b,c是整數，那么上述方程的解必為有理數，所以有當a=16時，,解得,則amx=16,b=-12,c=9,或amax=16,例6若1≤p≤20,I≤q≤10,且方程4x2解設x?,x?為方程的兩個根，則因為x,x?均為奇數，所以x+x?為偶數，x?x?為奇數。所以q=4。從而又是偶數且,則或4,即p=8或p=16。例7已知關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1,求a+b+c的值。(2011年全國初中數學競賽題)基本思路由題意列出α+β=-a,(a+1)(β+1)=a,得(α+2)(β+2)=3,對于α≤β,得α與β的值，從而求出a,b,c。解設方程x2+ax+b=0的兩根為α+1,β+1。即所以的兩個根為α,β,其中α,β為整數，且α≤β,則方程x2+cx或又因為a=-(a+β),b=aβ,c=-[(α+1)+(β+1)],所以a=0,b=-1,c=-2;或者a=8,故a+b+c=-3,或29。例8試求方程4x2-40[x]+51=0的全部實解數，此處[x]表示小于或等于實數x的最大整數。令x=[x]+B,這里O≤B<1,則[x]≤x<[x]+1。于是4x2-40x+51≤4x2-40[x]+51=0,且4x2-40(x-1)+51>4x2-40[x]+51=0。從而可知滿足遠方的實數x必須滿足且有[x]=2,3,7,8。 例9求滿足2p2+p+8=m2-2m 或p|(m+2)。(1)若p|(m-4),令m-4=kp,得k2<3,從而k=1或k=-1。(2)若p|(m+2),令m+2=kp,k是正整數。得k(k-1)<3,從而k=1,或2。由于p(2p+1)=(m-4)(m+2)是奇數，所以k≠2,從而k=1。習題10 4.已知a,b都是正整數，試問關于x的方程是否有兩個整數解?如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明。(2007年全國初中數學競賽題)5.已知a?,a?,a?,a?,a?是滿足條件a?+a?+a?+a?+a?=9的五個不同的整數，若b是關于x的方程(x-a)(x-a?)(x-a?)(x-a?)(x-a?)=2009的整數根，求b的值。(2009年全國初中數學競賽6.如圖，正方形EFGH內接于△ABC,設BC=ab(ab是一個兩位數),EF=c,三角形高AD=d。已知a,b,c,d是從小到大的四個連續(xù)正整數，試求△ABC的面積。7.若m,n都是整數，求證：方程x2+10mx-5n+3=0沒有整數根。8.設方程ax2+bx+c=0,系數a,b,c都是奇數，證明：這個方程無整數根。9.是否存在素數p,q,使得關于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理數根?(2008年全國初中數學競賽題)10.求方程x2+y2=208(x-y)的所有正整數解。(2008年全國初中數學競賽題)11一元二次方程的應用利用一元二次方程知識，可以解決許多或涉及數學本身的、或涉及生活實際的、或涉及科學技術方面的問題。運用一元二次方程解決問題的過程，就是我們常說的數學建模過程。其解題過程可以用下面的流程圖表示：實實際解釋結果檢驗模型求解列一元二次方程信息數學語言化確立有用信息多選題在這里要特別強調的是“多讀題”,根據大量的學生在解答應用題的實際過程表情，運用一元二次方程解決問題的難點，不在于解一元二次方程，而在于多讀題，深刻理解題意，轉換等量關系。通過多讀題，可以知道實際應用問題中包含的背景，注意題中背景，不是現實生活中的背景；通過多讀題，確立題中每句話的數學含意；通過多讀題，大膽用字母表示各對象，仔細列出關系式，把相關文字語言數學化；通過多讀題，整體把握數學化語言(數學式)之間的關系；通過多讀題，校正建立的一元二次方程式；通過多讀題，確立方程的解的實際有效性。實踐下列幾例，以理解上述觀念，從而感悟：數學，說不盡，無窮好。例1今有方池一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與水齊，問水深葭長各幾何?(摘自《九章算術》)(翻譯成現代語言，就是：有一個正方形的池塘，邊長為一丈(我國古代長度單位：一丈等于10尺，現在的1米等于3尺),池中央生長著一根蘆葦，比水面高出一尺，把蘆葦拉到岸邊，恰與水面平齊，問水有多深?蘆葦有多長?)基本思路如圖，令AC=x,則對直尺。設水深AC=x尺，則蘆葦長AB=(x+1角三角形ACD。于是，由勾股定理得解得x=12。答：水深1丈2尺，葭長1丈3尺。這是我國古代數學的重要成就。在印度也有類似的古題，印度數學家婆斯加羅(1141~1225)的著作這個問題與《九章算術》中的“引葭赴岸”題如出一轍，但時間比“引葭赴岸”晚了一千多年(公元3!9世紀，中國佛教盛行，中印兩國之間往來頻繁，這道題大約就在這時傳入了印度)。例2(古印度蜂群問題)有一群蜜蜂，一部分飛進了枸杞葉里，其個數等于全體總數的一般的解設x表示所求的蜜蜂個數，按題意得方程經檢驗，72個蜜蜂符合要求。答：這群蜜蜂一共有72個。例3(歐拉與農婦賣雞蛋問題)兩個農婦一共帶著100個雞蛋去市場上賣，兩人蛋數不同，但賣得的錢數是一樣的。于是第一個農婦對第二個農婦說：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣得15個錢。”第二個農婦答道：“但是你的雞蛋如果換給我，我就只能賣得?！?這里的“錢”是指一種德國古代的貨幣Kpeuzer)試問每人各有多少個雞蛋?解設第一個農婦有x個雞蛋，那么第二個農婦有100-x個。如果第一個農婦有100-x個雞蛋，則她可以賣得15個錢。這就是說，第一個農婦所賣出雞蛋的即因負根在本題中沒有實際意義，所以，可知第一個農婦帶了40個雞蛋，第二個農婦帶了60個答：第一個農婦有40個雞蛋，第二個農婦有60個雞蛋。是第二個農婦的k倍。于是，可知第一個農婦所得錢數應該是第二個農婦的k2倍，即現在，只要把100個雞蛋分為3:2的比就行了。如此我們求出第一個農婦有40個雞蛋，而第二個農婦有60個雞蛋。例4(名畫“難題”)波格達諾夫·別列斯基的名畫“難題”(圖17-2),畫中“難題”的內畫中問題利用了10,11,12,13,14這五個數具有一種有趣的特征：結合100+121+144=365,所以很容易心算出畫里那個式子的結果是2。代數使我們有辦法推廣這個有趣的數列特征問題。這樣的五個連續(xù)整數的數列是唯一的嗎?還有沒有其他的五個連續(xù)整數，其中前三個的平方和也等于后兩個的平方和呢?解設x是由大到小排列的五個數中的第二個，則有整理得解得所以具有所要求的數列有兩組。圖17-2思考如果設x表示所求由小到大五個數中的第一個，能得到同樣的結果嗎?請你試一試。例5象棋比賽共有奇數個選手參加，每位選手都與其他選手比賽一盤，記分辦法：勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負一盤得0分。已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數，求參加此次比賽的選手人數?；舅悸纷⒁獾矫勘荣愐槐P，比賽雙方共得1分，于是可知，不論比賽的勝負狀況如何，總得分應當等于比賽場數。這樣就排除了“勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負一盤得0分”造成的不知各場比賽的勝負情況的干擾。每位選手都與其他選手比賽一盤，共計比賽盤數也就是總得分數應如何計算呢?如果一共有k人參加比賽，則每人都要比賽k-1場，于是k人比賽場次應為k(k-1)。但每場比賽都有2人參加，因此分別被兩人計算過，故實際比賽場次應為令x+2人參加比賽，x人平均分為n,得到方程x2-(2n-3)x-14=0。解設共有x+2人參加比賽，則共比賽場，除2人外其余x人共得分為,其平均分設為n分，則得方程整理得由于人數x必須為正整數，且2n-3為整數，故x必為14的正約數，即x只可能等于1,2,7,又x為奇數，故x=1或7。顯然x=1不合題意，故x=7。以x=7檢驗，共計比賽(場),有2人共得8分，其余7人共得28分，平均每人答：參加比賽的選手共有9人。說明若設人數為x人，其余的選手每人平均得n分，則得方程這個方程比解答中的方程較繁。為解此方程，可考慮為完全平方數。由于2n-3為奇數，則為奇數平方，令=(2m-1)2(m為正奇數)。于是有解得或其中n=4為滿足題意的解。仍得上解。例6(小站設在哪里?)在一段筆直的鐵路線的一邊，離它20千米的地方有一個村子B,如圖17-3所示?，F在要設一個小站C,使得由A到B的路程，沿鐵路AC走再沿公路CB走，兩段合起來所需時間最短。已知沿鐵路每分鐘走0.8千米，沿公路每分鐘走0.2千米，問這小站應該設在哪圖17-3解我們用a表示由A至BD的垂足D間的距離AD,用x表示CD,則AC=AD-CD=a-x,沿鐵路走AC一段路程所需時間等于沿公路走CB一段路程所需時間等于這個總和(用m表示)應該是最小的。兩邊乘以0.8得 由k=0.8m-a,得m數值最小時k也達到最小的數值，反之亦然。(應該知道：k>0,因為所以x=5.16。故這個小站應該設在離D點大約5千米的地方，不論a=AD有多長。但是這個解只有在x<a時才有意義，因為在列方程式時是把a-x這個式子看作是正數的。若x=a=5.16,則小站根本不需要設立，只要沿公路走向大站就行了。在距離a短于5.16千米說明本例告訴我們，在利用數學工具解決實際問題時，要對所得結果加以討論或論證。如果例7(修建房屋)在只剩一堵墻的破屋基礎上要求修建新屋(修四面墻),舊墻長12米，新屋面積預定為112平方米。這項工程的經濟條件是：(1)修理舊墻的費用相當于砌新墻的25%;(2)拆舊墻的一部分，利用舊料來砌新墻，這費用相當于用新料砌新墻的50%。圖17-4(第二面墻長度為y米),如圖17-4所示。若新料砌新墻的費用每米為a,則修理x米舊墻的費用為,用舊料(12-x)米長的新墻費用為,砌第二面墻的其余部分費用為a[y-(12-x)],即a(y+x-12),砌第三面墻的費用為ax,砌第四面墻的費用為ay。上式在7ax+8ay最小時取得最小值。已知房子的面積xy=112平方米，所以那么即時S取得最小值，于是由xy=112,得又舊墻長12米，那么所拆部分為12-x≈12-11.3=0.7(米)。說明這里利用了a+b≥2√ab,等號當且僅當a=b時成立。例8設四位數abcd是一個完全平方數，且ab=2cd+1,求這個四位數。解設abcd=m2,則32≤m≤99。即由于67是素數，那么m+10與m-10中至少有一個是67的倍數。若m+10=67k(k是正整數),因為32≤m≤99,所以k=1,則m+10=67,即m=57。檢驗知572=3249,不合題意，舍去。若m-10=67k(k是正整數),同理，k=1,則m-10=67,即m=77。例9已知正n邊形共有n+3條對角線，其周長為x,對角線長的和為y,求的值。解正n邊形的對角線的條數為,那么有解得