微分方程第七章—積分問題—微分方程問題

推廣微分方程的基本概念第一節(jié)第七章引例1.一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動規(guī)律為說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.例1.

驗證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.是兩個獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程第七章分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為例3.求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解:例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時例6.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h隨時間t的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由h降到對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:兩端積分,得利用初始條件,得因此容器內(nèi)水面高度h與時間t有下列關(guān)系:第三節(jié)齊次方程一、齊次方程*二、可化為齊次方程第七章一、齊次方程形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0時,

y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))例2.解微分方程解: