第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年安徽省宣城市高一下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=2i(1+i)的虛部為(

)A.?2 B.2 C.?2i D.2i2.向量a=(m?1,1)，b=(2,m)，則“m=2”是“a//bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.二進制是以2為基數(shù)代表系統(tǒng)的二進制，通常用0和1表示.二進制011(2)化為十進制的計算公式如下：011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若從二進制數(shù)000(2)，001(2)A.14 B.13 C.124.已知非零向量m，n滿足|m|=2，|n|=4，|m+n|=5A.532m B.516m C.5.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是A.102海里 B.103海里 C.206.一圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，下列說法不正確的是(

)A.圓臺的母線長是20cm B.圓臺的高是103cm

C.圓臺的表面積是1100πcm7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosC=(2b?c)cosA，若角A的平分線AD的長為1，則4b+cA.3 B.23 C.3二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。8.若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，則m//n

B.若α⊥β，m⊥β，m?α，則m//α

C.若m⊥β，m?α，則α//β

D.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β9.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次，下列說法正確的是(

)A.樣本空間中一共含有4個樣本點

B.事件“兩次正面向上”發(fā)生的概率是14

C.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”是互斥事件

D.10.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若A=45°，a=2，b=22，則△ABC只有一解

B.若AB?BC>0，則△ABC為鈍角三角形

C.若△ABC的外心為O，AB=3，AC=5，則AO11.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是的BC，CD中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列結(jié)論正確的是(

)

A.AH⊥EF

B.三棱錐H?AEF的外接球的體積為26π

C.點H到平面AEF的距離為23

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位數(shù)等于其極差，則2a+b=

．13.已知一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為2的菱形A′B′C′D′，且O′D′=2，則原平面圖形的周長為

．14.已知復(fù)數(shù)z1=2sinθ?3i，z2=1+(2cosθ)i，i為虛數(shù)單位.若θ∈[π2,π]，復(fù)數(shù)z1，z2四、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且△ABC的周長為3bsin(1)求角A;(2)若△ABC外接圓的面積為4π，求△ABC面積的最大值．16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AA(1)求點A到平面MBC1(2)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC1M?若存在，求出17.(本小題15分)

為普及消防安全知識，某校開展了“消防知識競賽”活動，共有1000名學(xué)生參加此次競賽活動，現(xiàn)從參加該競賽學(xué)生中隨機抽取了100名，統(tǒng)計他們的成績，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“消防達人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計參加這次競賽的學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)?;(2)若在抽取的100名學(xué)生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為消防達人的概率;(3)已知[80,90)組的方差為9，[90,100]組的方差為6，試估計參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差(每個分組區(qū)間內(nèi)平均數(shù)取區(qū)間中點，結(jié)果保留小數(shù)點后一位)．18.(本小題17分)

在直角梯形ABCD中，已知AB//DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點M，且BE=λBC，DF=(1?λ)DC，λ∈[0,1](1)當λ=12時，求AE(2)當λ=23時，求DM(3)求|AF+19.(本小題17分)

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PA=4，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求證：PA⊥平面ABCD;(2)求二面角A?PD?B的余弦值;(3)點M在正方形ABCD內(nèi)(包括邊界)，若平面PAM⊥平面PDM，且∠ADM∈[π4,π3答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，則復(fù)數(shù)z=2i(1+i)的虛部可求．【解答】

解：∵z=2i(1+i)=?2+2i，

∴復(fù)數(shù)z=2i(1+i)的虛部是2．

故選B．2.【答案】A

【解析】解：當a/?/b時，(m?1)m=2，

∴m=?1或m=2，

所以“m=2”是“3.【答案】C

【解析】解：由題意得，000(2)=0，

001(2)=1，

010(2)=0×22+1×21+0×20=2，

110(2)=1×22+1×21+0×∴二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于3的數(shù)有三個，∴任選一個二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)大于3的概率為36故選：C．4.【答案】C

【解析】解：因為

m=2

，

|n|=4

，

所以

(m+n)2=所以

m

在

n

上的投影向量為

m?n故選C．5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

如圖，由題意可得AB=20海里、∠ACB=45【解答】解：如圖，由題意得，∠BAC=30得∠ACB=45°，

在?ABC中，由正弦定理，得故選A．6.【答案】D

【解析】解：如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為C，因為扇環(huán)的圓心角為180°，

所以C=π·?SA，又C=10×2π，所以SA=20，同理SB=40，

故圓臺的母線AB=SB??SA=20，A正確；

高?=AB2?(20?10)2=103，B正確；

表面積S=12π·SB7.【答案】C

【解析】解：因為acosC=(2b?c)cosA，

由正弦定理可得：sinAcosC=(2sinB?sinC)cosA，

移項得到sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，

根據(jù)兩角和的正弦公式sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，且A+B+C=π，

所以A+C=π?B，sin(A+C)=sin(π?B)=sinB.

則sinB=2sinBcosA，因為B∈(0,π)，sinB≠0，所以cosA=12，

又因為A∈(0,π)，所以A=π3．

因為AD是角A的平分線，所以∠BAD=∠CAD=π68.【答案】CD

【解析】解：由m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，得：

對于A，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得m/?/n，故A正確;

對于B，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)得m/?/α，故B正確;

對于Ct，若m⊥β，m?α，則α⊥β，故C錯誤;

對于D，若m?α，n?α，m/?/β，n/?/β，則α與β相交或平行，故D錯誤．

故選：CD9.【答案】ABD

【解析】解：對于A，樣本空間為{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4個樣本點，故A正確；

對于B，由A可得，事件“兩次正面向上”發(fā)生的概率是14，故B正確；

對于C，兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

對于D，兩個事件有且僅有一個發(fā)生，是對立事件，故D正確．

故選：ABD10.【答案】AB

【解析】解：對于A，由正弦定理2sin45°=22sinB，則sinB=1，

因為0<B<180°，所以B=90°，△ABC只有一解，故A正確；

對于B，若AB?BC>0，則cos?AB，BC?>0，則π?B為銳角，

也即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故B正確；

對于C，因為BC=AC?AB，所以AO?BC=AO?(AC?AB)=AO?AC?AO?AB，

由于O在AB的垂直平分線上，AO在AB方向上的投影為12|AB|，

故AO?AB=12|AB|211.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得HA、HE、HF三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

由HA⊥HE，HA⊥HF，HE∩HF=H，HE、HF?平面HEF，

∴HA⊥平面HEF，又EF?平面PEF，

∴HA⊥EF，故A選項正確；

對于C，△AEF的面積為S△AEF=12EF?AE2?(12EF)2

=12×2×(5)2?(122)2=22×32=32，

設(shè)點H到平面AEF的距離是?，

由正方形的邊長為2，因此HE=HF=1，HG=22，

AG=22?22=322，AH=AG2?HG2=2，

所以三棱錐A?HEF的體積為13S△AEF??=13S△HEF?AH

=1312.【答案】10

【解析】解：因為10×0.7=7，

所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位數(shù)為6+b2，其極差為8?a，

所以6+b2=8?a，

解得2a+b=10．

故答案為：13.【答案】4【解析】解：由題可知，O′D′=A′D′=2，∠A′O′D′=45°，∴O′A′=22．

還原直觀圖可得原平面圖形，如圖所示，

則OD=2O′D′=4，OA=O′A′=22，AB=DC=2，

∴AD=OA2+OD14.【答案】[2?【解析】解：由題意a=(2sinθ,?3)，b=(1,2cosθ)，

等式(λa?b)·(a?λb)=0成立，

即(2λsinθ?1,?3λ?2cosθ)·(2sinθ?λ,?3?2λcosθ)=0，

即(2λsinθ?1)?(2sinθ?λ)+(?3λ?2cosθ)?(?15.【答案】解：(1)因為△ABC的周長為3bsinCsinB+sinC?sinA，

可得a+b+c=3bsinCsinB+sinC?sinA，

由正弦定理，可得a+b+c=3bcb+c?a，即(b+c)2?a2=3bc，

整理得b2+c2?a2=bc，

又由余弦定理，可得cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=1【解析】詳細解答和解析過程見【答案】16.【答案】解：(1)因為三棱柱ABC?A1B1C1是正三棱柱，

所以AA1⊥平面A1B1C1，

因為MC1?平面A1B1C1，

所以AA1⊥MC1，

又因為M是A1B1的中點，所以MC1⊥A1B1，

因為AA1∩A1B1=A1，AA1，A1B1?平面ABB1A1，

所以MC1⊥平面ABB1A1，

又MB?平面ABB1A1，

所以MC1⊥MB，

點M為A1B1的中點，

所以MC1=22?12=3，MB=12+42=17，

所以S△MBC1=12×MC1×MB=512，

V【解析】詳細解答和解析過程見【答案】17.【答案】解：(1)平均數(shù)為(45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.030+85×0.020+95×0.010)×10=72.5，

由頻率分布直方圖可知，成績在[40,50)內(nèi)的頻率為0.005×10=0.05，

成績[50,60)在內(nèi)的頻率為0.015×10=0.15，

成績在[60,70)內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，

成績[70,80)在內(nèi)的頻率為0.030×10=0.3，

所以成績在70分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2=0.4，

成績在80分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，

所以成績的中位數(shù)一定在[70,80)內(nèi)，即70+0.5?0.40.030≈73.3，

因此估計參加這次競賽的學(xué)生成績的中位數(shù)為73.3；

(2)因為6×0.30.3+0.2+0.1=3，

6×0.20.3+0.2+0.1=2，

6×0.10.3+0.2+0.1=1，

所以從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100)內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人，2人，1人，

其中有3人為消防達人，設(shè)為a，b，c，有3人不是消防達人，設(shè)為d，e，f，

則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，

有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共15種，

其中2人均為航天達人為(a,b)，(a,c)，(b,c)共3種，

所以被選中的2人均為消防達人的概率為315=15；

(3)[80,90)內(nèi)的頻率為0.020×10=0.2，

[90,100]內(nèi)的頻率為0.010×10=0.1，

[80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85，[90,100]內(nèi)的平均數(shù)為95，

[80,100]內(nèi)的平均數(shù)為0.20.2+0.1×85+0.10.2+0.1×95=【解析】詳細解答和解析過程見【答案】18.【答案】解：(1)AE=AB+BE=AB+λBC

=AB+λ(BA+AD+DC)

=AB?λ(2)當λ=23時，設(shè)AM=xAE，DM=yDB，AM=∵AB，AD不共線，∴59x=y23(3)因為A