第39頁（共39頁）2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）尖子生專題復(fù)習(xí)《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程ln(ax+b3)=x2+19（其中a、A．9e2 B．4e2 C．e2 D．e2．（2025春?富民縣校級月考）大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：m/s）可以表示為v=12log3O100，其中OA．1100 B．1000 C．900 D．8003．（2025?江蘇模擬）若函數(shù)f（x）＝ax﹣21﹣x+1（a＞0）存在兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(0，14)∪(1C．(14，14．（2025春?廣西期中）隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務(wù)．某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（x≥2）萬條時，推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率約為p=xx+1，平臺軟件收入為40000p元．已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100A．16 B．17 C．18 D．195．（2025?河北校級一模）近幾年，我國在電動汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動汽車的核心技術(shù)是動力總成，而動力總成的核心技術(shù)是電機(jī)和控制器，我國永磁電機(jī)的技術(shù)已處于國際領(lǐng)先水平．某公司計劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機(jī)生產(chǎn)線，第一年需要安裝、人工等費用24萬元，從第二年起，包括人工、維修等費用每年所需費用比上一年增加8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元．則引進(jìn)該生產(chǎn)線后總盈利的最大值為（）A．204萬元 B．220萬元 C．304萬元 D．320萬元6．（2025春?山東校級期中）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a≤x0≤b），使得f(x0)=f(b)-f(a)b-a，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[a，bA．5e3 B．7e3 C．97．（2025?新縣校級模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在R上偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)=516x2，0≤x≤2(1A．(1，54) B．(0，54)8．（2025?湖南模擬）在資源有限的情況下，種群數(shù)量N（t）隨時間t（單位：天）的變化滿足邏輯斯蒂模型：N(t)=K1+(KN0-1)e-rt，其中常數(shù)K為環(huán)境容納量，N0為種群初始數(shù)量，r為比增長率．生態(tài)學(xué)家高斯（G．F．Gause）曾經(jīng)做過單獨培養(yǎng)大草履蟲的實驗：初始時，在培養(yǎng)液中放入5個草履蟲，觀察到t參考數(shù)據(jù)：x23571113171923lnx0.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?廣東校級月考）設(shè)a→，b→，c→A．關(guān)于x的方程a→xB．關(guān)于x的方程a→xC．關(guān)于x的方程a→xD．關(guān)于x的方程a→（多選）10．（2024秋?深圳校級期末）已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（x﹣1）＝f（3﹣x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，則（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（log35）＞f（log58） C．當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）＝1﹣2x﹣2 D．方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有10個解（多選）11．（2025?廣元模擬）若函數(shù)f（x）＝x3+|ax+b|有三個不同零點，則（）A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)b＜0 C．|a|3﹣3b可以等于﹣1 D．|a|3﹣3b可以等于1（多選）12．（2025?淮濱縣二模）已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣2，則（）A．f（2023）＝0 B．f（x）的值域為[﹣1，2] C．f（x）在[4，6]上單調(diào)遞減 D．f（x）在[﹣6，6]上有8個零點三．填空題（共4小題）13．（2024秋?貴州校級期末）已知函數(shù)f(x)=2-2x，x≤1，x2-4x+5，x＞1，14．（2025春?長樂區(qū)校級月考）19，28，37，46，55，64，73，82，91中最大的數(shù)字是；179，278，377，?，773，782，791中最大的數(shù)字是．（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.9）15．（2025春?漣源市月考）定義min{a，b}是a，b中的較小者．已知函數(shù)f(x)=x2-mx+14，g(x)=log12x，若h（x）＝min{f（x），g（x）}，16．（2025?天津校級模擬）已知函數(shù)f(x)=a+3+4x-|四．解答題（共4小題）17．（2025春?浙江月考）如果函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）＝f（﹣x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”；（1）判斷函數(shù)y＝sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請說明理由；（2）已知y＝f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，當(dāng)x≤0時，f（x）＝（x+t）2，t∈R，求y＝f（x）在[0，1]上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)y＝g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當(dāng)-12≤x≤12時，g（x）＝|x|．若y＝g（x）與y＝mx（m18．（2025春?南海區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝2cosx．（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2π（3）x∈[π3，11π6]時，函數(shù)g（x19．（2024秋?廣東期末）已知函數(shù)h（x）＝ex，函數(shù)y＝φ（x）的圖象與函數(shù)y＝h（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，令f（x）+g（x）＝h（x），其中f（x），g（x）分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)．（1）求y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的最大值；（2）求證：g(（3）求證：δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x僅有1個零點x0，且φ（ex0）＜h（x0+lnx0）．20．（2024秋?溫州期末）某市軌道交通S1線是全國第一條制式市域鐵路，運營五年來累計客運量已突破5500萬．經(jīng)市場調(diào)研測算，S1線列車載客量p（t）與發(fā)車間隔t（單位：分鐘）有關(guān)．當(dāng)4≤t＜16時，載客量為k（16﹣t）2+50t（k為常數(shù)），且發(fā)車間隔t＝4時的載客量為344人；當(dāng)16≤t≤20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為800人．（1）為響應(yīng)低碳出行，要求載客量達(dá)到滿載的一半及以上，列車才發(fā)車，則列車發(fā)車間隔至少為多少分鐘？（2）已知甲、乙兩站間列車票價為2元，發(fā)一趟車的固定支出為560元，當(dāng)發(fā)車間隔為多少分鐘時，S1線列車在運營期間每分鐘的收益最大，并求出最大值．

2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）尖子生專題復(fù)習(xí)《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCADABAC二．多選題（共4小題）題號9101112答案CDACADAB一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程ln(ax+b3)=x2+19（其中a、A．9e2 B．4e2 C．e2 D．e【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；對數(shù)方程求解．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】C【分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為at+13【解答】解：設(shè)f（x）的零點為t，則ln(at+13b)-t2+設(shè)P（a，b）為直線l：tx+坐標(biāo)原點O到直線l的距離為h=et2+19t2+下求h的最小值，令t2+19=m(m≥1所以g（m）在(13，1)為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，即g（m）min＝g（此時1=t2+19此時a2+b2的最小值為e2，此時OP⊥l．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的問題，屬于中檔題．2．（2025春?富民縣校級月考）大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：m/s）可以表示為v=12log3O100，其中OA．1100 B．1000 C．900 D．800【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】當(dāng)v＝1時，代入v=12【解答】解：因為v=12log3由題意可得，當(dāng)v＝1時，12log3O100即log3O100=2，則O所以O(shè)＝900．故選：C．【點評】本題主要考查了對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?江蘇模擬）若函數(shù)f（x）＝ax﹣21﹣x+1（a＞0）存在兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(0，14)∪(1C．(14，1【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】A【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出g（x）＝ax與h（x）＝21﹣x﹣1相切時的a的值，根據(jù)a的值分段討論，利用指數(shù)函數(shù)的增長速度判斷交點個數(shù)．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax﹣21﹣x+1，（a＞0）存在兩個不同的零點，令f（x）＝0?ax﹣21﹣x+1＝0?ax＝21﹣x﹣1，即g（x）＝ax與h（x）＝21﹣x﹣1有兩個不同的交點，又g'（x）＝axlna，h'（x）＝﹣21﹣xln2，令g'（0）＝h'（0），即lna＝﹣2ln2?a=1此時g（x）＝ax與h（x）＝21﹣x﹣1相切于點（0，1），又g（0）＝h（0）＝1，所以（0，1）既是g（x）＝ax與h（x）＝21﹣x﹣1交點又是切點，當(dāng)0＜當(dāng)x＞0時，g（x）＝ax從y＝1遞減到y(tǒng)＝0，函數(shù)h（x）＝21﹣x﹣1從y＝1遞減到y(tǒng)＝﹣1，由于g（x）＝ax遞減較快，在x＞0處與h（x）＝21﹣x﹣1相交一次，當(dāng)x＜0時，當(dāng)x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，但g（x）＝ax的增長速度比h（x）＝21﹣x﹣1快，因此兩者會在x＜0處相交一次，所以在x＞0和x＜0各有一個交點，加上固定零點x＝0，總共有兩個不同的零點，當(dāng)14當(dāng)x＞0時，g（x）＝ax的遞減速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，因此g（x）＝ax始終位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以無交點，當(dāng)x＜0時，x→﹣∞，ax→+∞，21﹣x﹣1→+∞，但g（x）＝ax的增長速度比h（x）＝21﹣x﹣1慢，因此兩者會在x＜0處相交一次，所以在x＜0處有一個交點，加上固定零點x＝0，總共有兩個不同的零點．當(dāng)a=12時，令2﹣x＝2?2﹣x﹣1?x＝0，即僅在x當(dāng)a＞12時，當(dāng)x＞0時，g（x）＝ax的遞減速度比h（x）＝21﹣x因此g（x）＝ax始終位于h（x）＝21﹣x﹣1上方，所以無交點，當(dāng)x＜0時，ax的增長速度進(jìn)一步降低，無法與h（x）＝21﹣x﹣1交，所以僅有一個零點，不滿足題目要求，數(shù)a的取值范圍為(0，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的問題，屬于中檔題．4．（2025春?廣西期中）隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務(wù)．某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（x≥2）萬條時，推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率約為p=xx+1，平臺軟件收入為40000p元．已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100A．16 B．17 C．18 D．19【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】D【分析】由y=【解答】解：設(shè)收益為y元，則y=當(dāng)y′＞0時，2＜x＜19，當(dāng)y′＜0時，x＞19，即函數(shù)y=40000xx+1-100x，即當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為19萬條時，該軟件能獲得最高收益．故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2025?河北校級一模）近幾年，我國在電動汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動汽車的核心技術(shù)是動力總成，而動力總成的核心技術(shù)是電機(jī)和控制器，我國永磁電機(jī)的技術(shù)已處于國際領(lǐng)先水平．某公司計劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機(jī)生產(chǎn)線，第一年需要安裝、人工等費用24萬元，從第二年起，包括人工、維修等費用每年所需費用比上一年增加8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元．則引進(jìn)該生產(chǎn)線后總盈利的最大值為（）A．204萬元 B．220萬元 C．304萬元 D．320萬元【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】設(shè)引進(jìn)設(shè)備n年后總盈利為f（n）萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費用，第n年的成本為an，構(gòu)成一等差數(shù)列，由等差數(shù)列前n公式求得第n年總成本，這樣可得總盈利f（n），由二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值；【解答】解：設(shè)n年后總盈利為f（n）萬元，去掉引進(jìn)費用，第n年的成本為an萬元，易知{an}為等差數(shù)列，則前n年的成本之和為[24n所以得到f（n）＝100n﹣[24n+4n（n﹣1）+196]＝﹣4n2+80n﹣196＝﹣4（n﹣10）2+204，n∈N*，故當(dāng)n＝10時，可以得到盈利最大值f（n）max＝204，故總盈利的最大值為204萬元．故選：A．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．6．（2025春?山東校級期中）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a≤x0≤b），使得f(x0)=f(b)-f(a)b-a，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[a，bA．5e3 B．7e3 C．9【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運算求解；新定義類．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于直線y＝m與函數(shù)g(x)=x2ex-3【解答】解：因為函數(shù)y=x2ex-m令f(所以方程f(x)=x2即m=x2ex令g(x)=x2ex將問題轉(zhuǎn)化為直線y＝m與函數(shù)g(x)=x2ex則g'令g′（x）＞0，解得0＜x＜2；所以函數(shù)g(x)=x2令g′（x）＜0，解得2＜x＜3，所以函數(shù)g(x)=x2所以當(dāng)x＝2時，函數(shù)g（x）取得最大值g(2)=且g(0)=02故6e又4e﹣3≈7.87312，故符合題意的只有B．故選：B．【點評】本題考查了“平均值函數(shù)”的定義及性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7．（2025?新縣校級模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在R上偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)=516x2，0≤x≤2(1A．(1，54) B．(0，54)【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】A【分析】首先根據(jù)f（x）的性質(zhì)畫出函數(shù)f（x）圖象，然后把函數(shù)y＝f（x）﹣m僅有4個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）與y＝m有4個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：當(dāng)0≤x≤2時，f(x)=516當(dāng)x＞2時，f(x)=(1又函數(shù)f（x）是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱作出函數(shù)f（x）圖象：因為函數(shù)y＝f（x）﹣m僅有4個零點，所以函數(shù)y＝f（x）與y＝m有4個交點，根據(jù)圖象可知：1＜m＜54故選：A．【點評】本題考查函數(shù)零點，屬于中檔題．8．（2025?湖南模擬）在資源有限的情況下，種群數(shù)量N（t）隨時間t（單位：天）的變化滿足邏輯斯蒂模型：N(t)=K1+(KN0-1)e-rt，其中常數(shù)K為環(huán)境容納量，N0為種群初始數(shù)量，r為比增長率．生態(tài)學(xué)家高斯（G．F．Gause）曾經(jīng)做過單獨培養(yǎng)大草履蟲的實驗：初始時，在培養(yǎng)液中放入5個草履蟲，觀察到t參考數(shù)據(jù)：x23571113171923lnx0.6931.0991.6091.9452.3982.5652.8332.9443.135A．1.38 B．1.53 C．1.77 D．2.03【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】將已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型，求出K的值，再利用指對互化以及對數(shù)運算求解即可．【解答】解：已知初始時，在培養(yǎng)液中放入5個草履蟲，則N0＝5，又t＝2時，種群數(shù)量為120；t＝4時，種群數(shù)量為360，則K1+(則e-因此(K整理得7K2﹣2680K＝0，解得K=26807或K因此-2解得r≈1.77．所以大草履蟲種群的比增長率約為1.77．故選：C．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，屬中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?廣東校級月考）設(shè)a→，b→，c→A．關(guān)于x的方程a→xB．關(guān)于x的方程a→xC．關(guān)于x的方程a→xD．關(guān)于x的方程a→【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】CD【分析】對于A，由題設(shè)知對任意向量c→存在唯一的有序數(shù)對（m，n）使c→=ma→+nb→對于B，取反例c→=2a對于C，判斷當(dāng)(m+n對于D，假設(shè)A、B、C共線，可得AB→=λBC→，整理得OC→=(1+1λ)OB→-1λ【解答】解：對于A，因為向量a→，b→，c→是平面內(nèi)共始點的三個非零向量，且兩兩不共線，x以向量a→，b→作為一組基底，那么對任意向量c→，存在唯一的有序數(shù)對（m，n對于選項A，根據(jù)a→x2那么有m＝﹣x2，n＝﹣x，因為﹣x與n一一對應(yīng)，因此方程不可能兩個實數(shù)解，所以選項A錯誤；對于選項B，如果取c→=2a→+3對于選項C，當(dāng)m+n=-x對于選項D，設(shè)向量a→，b→，c→的公共始點為O假設(shè)A，B，C三點共線，那么必存在實數(shù)λ使AB→所以AO→+OB因為向量a→，b→，c→因此OC→=(1+1因此-x=-兩式相加可得﹣x2﹣x＝1，即x2+x+1＝0，方程無實數(shù)解，與題設(shè)矛盾，因此假設(shè)不成立，所以三個向量終點不可能共線，所以選項D正確．故選：CD．【點評】本題考查函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?深圳校級期末）已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（x﹣1）＝f（3﹣x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，則（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（log35）＞f（log58） C．當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）＝1﹣2x﹣2 D．方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有10個解【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；抽象函數(shù)的奇偶性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】AC【分析】通過對函數(shù)關(guān)系的化簡以及奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A選項；由x∈[0，1]時函數(shù)解析式以及函數(shù)的關(guān)系，寫出x∈[1，2]時的函數(shù)解析式，從而知道函數(shù)在x∈[1，2]上的單調(diào)性，判斷l(xiāng)og35，log58的大小關(guān)系即可判斷B選項；同理寫出x∈[2，3]時函數(shù)解析式，判斷C選項；寫出x∈[3，4]時函數(shù)解析式，從而得到函數(shù)|f（x）|，lgx的函數(shù)圖象，即可找到方程解的個數(shù)，判斷D選項．【解答】解：因為f（x﹣1）＝f（3﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x），即f（﹣x）＝f（x+2），又因為函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故A正確；當(dāng)x∈[1，2]時，則2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝22﹣x﹣1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，又因為loglg3所以log35＞log58，所以f（log35）＜f（log58），故B錯誤；令x∈[2，3]，則x﹣2∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝1﹣2x﹣2，故C正確；令x∈[3，4]，則x﹣2∈[1，2]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝1﹣24﹣x，作出函數(shù)y＝|f（x）|，y＝lgx的函數(shù)圖象，如圖所示：故方程|f（x）|﹣lgx＝0恰有9個解，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了奇函數(shù)的單調(diào)性、周期性，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．（多選）11．（2025?廣元模擬）若函數(shù)f（x）＝x3+|ax+b|有三個不同零點，則（）A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)b＜0 C．|a|3﹣3b可以等于﹣1 D．|a|3﹣3b可以等于1【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】AD【分析】通過對不同a取值下不同區(qū)間的分類討論，得出符合三個不同零點的情況，即可根據(jù)f(【解答】解：由題意，f（x）＝x3+|ax+b|的定義域為R，當(dāng)x＞0時，x3＞0，|ax+b|≥0，∴f（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上沒有零點，∴f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，當(dāng)a＝0時，f（x）＝x3+|b|在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，∴不可能有三個零點，即a≠0，當(dāng)a≠0時．f(若ba∵x∈（﹣∞，0]，則x+∴|x此時f(f'（x）＝3x2﹣|a|．令f'（x）＝0，解得：x=-|當(dāng)x＜-|a|3時，f'（x）＞0；當(dāng)-|a|3＜x∴函數(shù)在(-∞，-|a故f（x）不可能有三個不同零點，若ba＞0當(dāng)-ba≤x≤0時，f(x)=x3+|a|(x+∴函數(shù)在[-當(dāng)x＜-ba時，f(x)=x3-|a|(x+令f'（x）＝0，解得：x=-|當(dāng)-|a|3≥-ba此時，f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，此時，f（x）不可能有三個不同零點，不合題意，舍去．當(dāng)-|a|3＜-ba時，即|令f'（x）＞0，解得：x＜-令f'（x）＜0，解得：-|∴函數(shù)f（x）在(-∞，-|a|3且當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→0時，f（x）→|b|，且|b|＞0．∴若函數(shù)有三個零點，則有f(-|a|f(∴2|a|3|a∴|a∴|a∴|a|3﹣3b可以等于1，不可以等于﹣1，故C錯誤，D正確；A，B項，f(解得：ba＞0，即ab＞0，故A故選：AD．【點評】本題考查分類討論，去絕對值，函數(shù)的求導(dǎo)，考查學(xué)生的計算能力，理解和分析問題的能力，具有很強(qiáng)的綜合性．（多選）12．（2025?淮濱縣二模）已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），其周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣2，則（）A．f（2023）＝0 B．f（x）的值域為[﹣1，2] C．f（x）在[4，6]上單調(diào)遞減 D．f（x）在[﹣6，6]上有8個零點【考點】函數(shù)的零點；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)；函數(shù)的奇偶性．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】AB【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性，周期性即單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：定義在R上的偶函數(shù)f（x），其周期為4，所以f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，A正確；當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣2單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)的值域為[﹣1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域為[﹣1，2]，所以B正確；當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f（x）在[4，6]上單調(diào)遞增，所以C錯誤；令f（x）＝2x﹣2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（﹣1）＝0，由于函數(shù)的周期為4，所以f（5）＝f（﹣5）＝0，f（3）＝f（﹣3）＝0，所以f（x）在[﹣6，6]上有6個零點，所以D錯誤．故選：AB．【點評】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?貴州校級期末）已知函數(shù)f(x)=2-2x，x≤1，x2-4x+5，x＞1，若關(guān)于x【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1，2）．【分析】設(shè)t＝f（x），f（t）＝a，作出函數(shù)y＝f（t）的簡圖，結(jié)合函數(shù)圖象，分情況列出不等式求解即可．【解答】解：設(shè)t＝f（x），所以f（f（x））＝a，即為f（t）＝a，則y＝f（t）的圖象如圖所示：當(dāng)a＜0時，f（t）＝a無解；當(dāng)0≤a＜1時，f（t）＝a有一個解，設(shè)為t1，由圖可知0＜t1≤1，當(dāng)t1＝f（x）時，f（x）＝t最多2個解，不成立；當(dāng)1＜a＜2時，f（t）＝a有三解，設(shè)為t1＜0＜t2＜2＜t3，由圖可知1＜t2＜2，所以t1＝f（x）無解，t2＝f（x）有三解，t3＝f（x）有一解，故滿足題意．當(dāng)a≥2或a＝1時，顯然不滿足題意；綜上所得，實數(shù)a的取值范圍為：（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．14．（2025春?長樂區(qū)校級月考）19，28，37，46，55，64，73，82，91中最大的數(shù)字是46；179，278，377，?，773，782，791中最大的數(shù)字是2060．（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6，ln7≈1.9）【考點】對數(shù)運算求值．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】46；2060．【分析】分別構(gòu)造函數(shù)y＝x10﹣x（0＜x＜10），y＝x80﹣x（0＜x＜80），然后兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）＝（10﹣x）lnx，與g（x）＝（80﹣x）lnx的單調(diào)性與最值解決問題．【解答】解：對于第一個空：設(shè)y＝x10﹣x，（0＜x＜10），兩邊取對數(shù)得lny＝（10﹣x）lnx，再令函數(shù)f（x）＝（10﹣x）lnx，（0＜x＜10），f′（x）＝﹣lnx+10x-1，易知f'（x）單調(diào)遞減，又f'（4）＞0，f'（5）＜0，因此f（x）max＝max{f（4），f（5f（4）＝6ln4＝12ln2，f（5）＝5ln5＝5（1﹣ln2）＝5﹣5ln2，f（4）﹣f（5）＝17ln2﹣5＞0，所以f（4）最大，即46最大；對于第二個空：設(shè)y＝x80﹣x（0＜x＜80），兩邊取對數(shù)得lny＝（80﹣x）lnx，再令函數(shù)g（x）＝（80﹣x）lnx，則g'（x）=-lnx+80x-又g'（19）＞0，g'（21）＜0，g'（20）≈0，因此g（x）max＝g（20）＝60ln20，所以最大的數(shù)是2060．故答案為：46；2060．【點評】本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于中檔題．15．（2025春?漣源市月考）定義min{a，b}是a，b中的較小者．已知函數(shù)f(x)=x2-mx+14，g(x)=log12x，若h（x）＝min{f（x），g（x）}，【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】(1，【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）和g（x）的大致圖象，結(jié)合圖象分析可知當(dāng)方程h（x）＝0有3個不同的解時，方程f（x）＝0有2個小于1的正數(shù)解，再構(gòu)建不等式組求解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在同一坐標(biāo)系中的大致圖象如圖：因為h（x）的定義域為（0，+∞）．由于h（x）＝0有3個不同的解，因此g（x）＝0有1個解且為1，f（x）＝0有2個小于1的正數(shù)解．因此m解得m∈(1，故答案為：(1，【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2025?天津校級模擬）已知函數(shù)f(x)=a+3+4x-|x+a【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：函數(shù)f(x得|x+a|-4x-a設(shè)g（x）＝|x+a|-4x-a，h（x則函數(shù)g（x）=-不妨設(shè)f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，當(dāng)x＞﹣a時，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x-4x得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此時x2＝﹣1，x3＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6+46-2a＝3，解得a=116，滿足f（x）＝若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，則f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有兩個不同的解，不妨設(shè)x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x-4x-2a＝3的兩個解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由設(shè)f（x）＝0的3個根為x1，x2，x3成差數(shù)列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1+332（舍去）或a＝﹣③﹣a＞4，即a＜﹣4時，f（x）＝0最多只有兩個解，不滿足題意；綜上所述，a=116，或﹣1【點評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)零點個數(shù)進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度極大．四．解答題（共4小題）17．（2025春?浙江月考）如果函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）＝f（﹣x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”；（1）判斷函數(shù)y＝sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請說明理由；（2）已知y＝f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，當(dāng)x≤0時，f（x）＝（x+t）2，t∈R，求y＝f（x）在[0，1]上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)y＝g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當(dāng)-12≤x≤12時，g（x）＝|x|．若y＝g（x）與y＝mx（m【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解；新定義類．【答案】（1）具有，a＝2kπ+π，k∈Z；（2）當(dāng)t＜12，ymax=(1-t（3）m＝±12025【分析】（1）根據(jù)題意先檢驗sin（x+a）＝sin（﹣x）是否成立，即可檢驗y＝sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”；（2）由y＝f（x）具有“P（0）性質(zhì)，可得f（x）＝f（﹣x），結(jié)合x≤0時的函數(shù)解析式，可求x≥0的函數(shù)解析式，結(jié)合t的范圍判斷函數(shù)y＝f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值；（3）由題意可得g（1+x）＝g（﹣x），g（﹣1+x）＝g（﹣x），據(jù)此遞推關(guān)系可推斷函數(shù)y＝g（x）的周期，根據(jù)交點周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m，以及g（x）的解析式．【解答】解：（1）由sin（x+a）＝sin（﹣x），得sin（x+a）＝﹣sinx，根據(jù)誘導(dǎo)公式得a＝2kπ+π（k∈Z）．所以y＝sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a＝2kπ+π（k∈Z）；（2）因為y＝f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，所以f（x）＝f（﹣x），設(shè)x＞0，則﹣x＜0，f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x+t）2＝（x﹣t）2，f（x）=(由二次函數(shù)的對稱性可得，在[0，1]上，當(dāng)t＜12時，x＝1時，最大值ymax＝（1﹣t當(dāng)t≥12時，當(dāng)x＝0時，最大值ymax＝（3）因為y＝g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，所以g（1+x）＝g（﹣x），g（﹣1+x）＝g（﹣x），所以g（x+2）＝g（1+1+x）＝g（﹣1﹣x）＝g（x），從而得到y(tǒng)＝g（x）是以2為周期的函數(shù)．又當(dāng)12≤x≤32時，-1g（x）＝g（x﹣2）＝g（﹣1+x﹣1）＝g（﹣x+1）＝|﹣x+1|＝|x﹣1|＝g（x﹣1），再設(shè)n-1當(dāng)n＝2k（k∈Z），則2k則-1g（x）＝g（x﹣2k）＝|x﹣2k|＝|x﹣n|；當(dāng)n＝2k+1（k∈Z），則2k則12g（x）＝g（x﹣2k）＝|x﹣2k﹣1|＝|x﹣n|，所以g（x）=-x+n，所以對于n-12≤x≤n+12（n∈Z），都有而n+1所以g（x+1）＝|（x+1）﹣（n+1）|＝|x﹣n|＝g（x），所以y＝g（x）是周期為1的函數(shù)．①當(dāng)m＞0時，要使y＝mx與y＝g（x）有2025個交點，只要y＝mx與y＝g（x）在[0，1012）有2024個交點，而在[1012，1023]有一個交點．所以y＝mx過（20252，1從而得m=1②當(dāng)m＜0時，同理可得m=-③當(dāng)m＝0時，不合題意．綜上所述m＝±12025【點評】本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，綜合考查構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．18．（2025春?南海區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝2cosx．（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2π（3）x∈[π3，11π6]時，函數(shù)g（x【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】（1）T＝2π；[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．（2）當(dāng)x=-2π3時，f（3）[-【分析】結(jié)合余弦函數(shù)y＝cosx的圖象和性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）f（x）＝2cosx的最小正周期為：T=根據(jù)2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，那么f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ，2kπ+π]，其中k∈Z．（2）由于x∈[-2π3，π6]，因此cosx因此當(dāng)x=-2π3時，函數(shù)f（3）當(dāng)x∈[π3，f（x）＝m有解，因此m∈所以g（x）＝f（x）﹣m有零點，那么可得m∈【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2024秋?廣東期末）已知函數(shù)h（x）＝ex，函數(shù)y＝φ（x）的圖象與函數(shù)y＝h（x）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，令f（x）+g（x）＝h（x），其中f（x），g（x）分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)．（1）求y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的最大值；（2）求證：g(（3）求證：δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x僅有1個零點x0，且φ（ex0）＜h（x0+lnx0）．【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)的最值；判定函數(shù)零點的存在性；由函數(shù)零點所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）ee；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）通過y＝h（x），y＝φ（x）的單調(diào)性即可判斷；（2）由函數(shù)奇偶性求得g(x)=（3）由零點存在性定理確定x0∈(e-2【解答】解：（1）因為函數(shù)y＝φ（x）的圖象與函數(shù)y＝h（x）＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以φ（x）＝lnx，所以y＝h（x）φ（x）＝lnx?ex，?x1，x2∈[1，e]，x1＜x2，所以0＜h（x1）＜h（x2），0≤φ（x1）＜φ（x2），所以h（x1）φ（x1）＜h（x2）φ（x2），所以y＝h（x）φ（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以y＝h（x）φ（x）在[1，e]上的值域為[0，ee]，即y＝h（x）φ（x）最大值為ee；（2）證明：因為f（x）+g（x）＝h（x），即f（x）+g（x）＝ex①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝h（﹣x），即f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，又因為f（x），g（x）分別為奇函數(shù)，偶函數(shù)，所以﹣f（x）+g（x）＝e﹣x②，由①+②得，g(由①﹣②得，f（x）=e所以g=e≥2=e即g(x1)+g(x所以g(（3）證明：因為δ（x）＝φ（x）+φ（x+2）+x＝lnx+ln（x+2）+x，所以定義域為{x|x＞0}且單調(diào)遞增，因為δ(因為ln(所以δ（e﹣2）＝lne﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＝﹣2+ln（e﹣2+2）+e﹣2＜﹣1+e﹣2＜0，由零點存在定理得，存在唯一零點x0∈(e-2，所以lnx0+ln（x0+2）+x0＝0，要證φ(令λ(顯然函數(shù)λ（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，因為x0所以λ(因為e3＜33＝27＜32＝25，所以e35＜所以λ(所以1+ln原式得證．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于中檔題．20．（2024秋?溫州期末）某市軌道交通S1線是全國第一條制式市域鐵路，運營五年來累計客運量已突破5500萬．經(jīng)市場調(diào)研測算，S1線列車載客量p（t）與發(fā)車間隔t（單位：分鐘）有關(guān)．當(dāng)4≤t＜16時，載客量為k（16﹣t）2+50t（k為常數(shù)），且發(fā)車間隔t＝4時的載客量為344人；當(dāng)16≤t≤20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為800人．（1）為響應(yīng)低碳出行，要求載客量達(dá)到滿載的一半及以上，列車才發(fā)車，則列車發(fā)車間隔至少為多少分鐘？（2）已知甲、乙兩站間列車票價為2元，發(fā)一趟車的固定支出為560元，當(dāng)發(fā)車間隔為多少分鐘時，S1線列車在運營期間每分鐘的收益最大，并求出最大值．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）列車發(fā)車間隔至少為6分鐘．（2）發(fā)車間隔為16分鐘時，列車在運營期間每分鐘的收益最大，最大值為65元．【分析】（1）根據(jù)題意求出k的值，再求出p（t）的解析式，令p（t）≥400，即可求出t的取值范圍；（2）根據(jù)題意，求出列車在運營期間每分鐘的收益y關(guān)于t的函數(shù)解析式，再求出y的最大值即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝4時，p（4）＝k（16﹣4）2+50×4＝344，解得k＝1，所以p(當(dāng)4≤t＜16時，由p（t）＝（16﹣t）2+50t≥400，得t2+18t﹣144≥0，解得t≥6或t≤﹣24（舍去）；當(dāng)16≤t≤20時，p（t）＝800≥400恒成立，綜上，t≥6，所以列車發(fā)車間隔至少為6分鐘．（2）設(shè)列車在運營期間每分鐘的收益為y（t），則y(當(dāng)4≤t＜16時，函數(shù)y=2則y＜2當(dāng)16≤t≤20時，y(所以ymax所以發(fā)車間隔為16分鐘時，列車在運營期間每分鐘的收益最大，最大值為65元．【點評】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)的最值的求法，考查運算求解能力，屬中檔題．

考點卡片1．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．2．函數(shù)的最值【知識點的認(rèn)識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識點是常考點，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．3．函數(shù)的奇偶性【知識點的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．4．抽象函數(shù)的奇偶性【知識點的認(rèn)識】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．5．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n6．對數(shù)運算求值【知識點的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解題方法點撥】﹣利用對數(shù)定義直接求值．﹣利用換底公式log﹣結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)，如loga（mn）＝logam+logan、loga(【命題方向】常見題型包括計算對數(shù)值、簡化復(fù)雜對數(shù)表達(dá)式、利用對數(shù)性質(zhì)解決實際問題．計算：14lg解：原式＝lg2﹣1+33×23+lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2故答案為：10．7．對數(shù)方程求解【知識點的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n【解題方法點撥】﹣利用對數(shù)的基本性質(zhì)和運算規(guī)則，將對數(shù)方程化簡為指數(shù)方程或代數(shù)方程．﹣當(dāng)兩邊都有對數(shù)時，利用對數(shù)等式logax＝logay得到x＝y(tǒng)．﹣逐步化簡方程，求解未知數(shù)．﹣驗證解是否滿足原方程．【命題方向】常見題型包括簡單對數(shù)方程、復(fù)合對數(shù)方程、涉及實際應(yīng)用的對數(shù)方程．方程ln（log2x）＝0的解是_____．解：∵ln（log2x）＝0，∴l(xiāng)og2x＝1，解得x＝2，8．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=29．函數(shù)的零點【知識點的認(rèn)識】一般地，對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點．即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)．【解題方法點撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點x1；③計算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時零點x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時零點x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)（2）～（4）【命題方向】零點其實并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個零點．這個考點屬于了解性的，知道它的概念就行了．10．函數(shù)零點的判定定理【知識點的認(rèn)識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．11．判定函數(shù)零點的存在性【知識點的認(rèn)識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．函數(shù)f（x）＝2x3﹣4x+1在區(qū)間[﹣2，2]上是否存在零點？若存在，有幾個零點？解：由f（x）＝2x3﹣4x+1，得f′（x）＝6x2﹣4＝2（3x2﹣2），∴當(dāng)x∈（﹣2，-63）∪（63，2）時，f′（x當(dāng)x∈（-63，63）時，f′（x∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣2，-63），（63單調(diào)減區(qū)間為（-63，又f（﹣2）＝﹣7＜0，f（-63）=869+1＞0，f（63）=-8∴函數(shù)f（x）＝2x3﹣4x+1在區(qū)間[﹣2，2]上存在3個零點．12．由函數(shù)零點所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù)【知識點的認(rèn)識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．若函數(shù)f（x）＝a+log7x在區(qū)間（1，7）上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為_____．解：因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，7）上為增函數(shù)，所以若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，7）上有零點，則f（1）＜0，f（7）＞0，所以a＜0，a+1＞0，所以﹣1＜a＜0．故答案為：（﹣1，0）．13．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【知識點的認(rèn)識】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．14．根據(jù)實際問題選擇函