教學(xué)設(shè)計(jì)課題最短路徑問題科目數(shù)學(xué)年級(jí)課時(shí)1課型新授課授課人教學(xué)分析課程標(biāo)準(zhǔn)分析通過具體實(shí)例了解軸對(duì)稱的概念，探索它的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分。能畫出簡單平面圖形（點(diǎn)、線段、直線、三角形等）關(guān)于給定對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形。了解軸對(duì)稱圖形的概念；探索等腰三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)，并利用軸對(duì)稱圖形，探究等邊三角形性質(zhì)，理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，能畫出直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，能寫出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形的對(duì)稱圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。探索等邊三角形的性質(zhì)定理；等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形（或有一個(gè)角是60°的等腰三角形）是等邊三角形。教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”的基礎(chǔ)上，借助軸對(duì)稱研究以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。初中數(shù)學(xué)中路徑最短問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。學(xué)情分析學(xué)生已學(xué)習(xí)過一些關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”，“垂線段最短”以及“三角形的兩邊之和大于第三邊”等知識(shí)。最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級(jí)的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的極值問題，更會(huì)感到陌生，無從下手。因此在教學(xué)過程中，教師要循序漸進(jìn)，不斷引導(dǎo)，配合直觀展示，結(jié)合實(shí)際生活，讓學(xué)生在興趣當(dāng)中掌握知識(shí)。資源環(huán)境分析多媒體教室教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)目標(biāo)能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。能做出一個(gè)圖形經(jīng)軸對(duì)稱變化后的圖形。能利用軸對(duì)稱變換解決日常生活中的實(shí)際問題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱和平移思想將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。難點(diǎn)：在實(shí)際題目中會(huì)運(yùn)用最短路徑解決問題。教法學(xué)法教法;本節(jié)課主要以教師主導(dǎo)，學(xué)生主體進(jìn)行教學(xué)，解決問題中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考方向，適當(dāng)時(shí)候進(jìn)行提示，讓學(xué)生在有頭緒的情況下，繼續(xù)延伸和探究，不斷思考討論和交流，找出解決問題的最好方法。學(xué)法：在具有啟發(fā)性的、感興趣的、有助自主學(xué)習(xí)和探索的問題情境下，學(xué)生在活動(dòng)豐富、思維積極的狀態(tài)中進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，組織好合作學(xué)習(xí)，教師在合作過程中進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生朝著有利于知識(shí)建構(gòu)的方向發(fā)展。學(xué)生在更直觀、更形象地情況下找到重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，使用多媒體課件輔助教學(xué)，更快速的探究最短路徑問題。教具資源ppt多媒體課件，動(dòng)態(tài)圖設(shè)計(jì)思路本節(jié)課采用教師引導(dǎo)，學(xué)生思考為主，不斷利用所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)解決問題的規(guī)律，并找到最短路徑。授課中以故事引入-探究實(shí)際-證明最短-變式運(yùn)用-鞏固提高為主線，讓學(xué)生感受解決最短路徑問題的方法，主要是利用軸對(duì)稱和平移的相關(guān)知識(shí)，以“兩點(diǎn)之間，線段最短”貫穿全局，不斷結(jié)合實(shí)際問題，讓學(xué)生真正的對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，切身體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)資源應(yīng)用設(shè)置情景，導(dǎo)入新課同學(xué)們，每天放學(xué)從咱們這棟教學(xué)樓去餐廳吃飯的時(shí)候，你是選擇樓下圓形草坪的哪條路去的餐廳呢？為什么這么選呢？今天讓我們一起探究在生活實(shí)際中該如何選擇最短路徑.學(xué)生回答：下樓后直走到餐廳的那條路。因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短”。結(jié)合實(shí)際生活，引發(fā)學(xué)生興趣，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課的喜愛以及清除本節(jié)課對(duì)實(shí)際生活的用處，從而可以讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的想去探究該課題。合作交流，探究新知探究一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：如圖：從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線最短？BABAlC你能利用軸對(duì)稱圖形找出最短距離嗎？（提示：可以先找出B點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)B′）點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．探究二：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．∴AC+BC＜AC′+BC′綜上：若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。處熞龑?dǎo)下，嘗試找出最佳路線。學(xué)生小組討論，交流后回答問題。1.學(xué)生嘗試轉(zhuǎn)換：設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小（如圖）．2.根據(jù)提示作圖。利用所學(xué)：“兩點(diǎn)之間線段最短”找出AC與CB和最小對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)。學(xué)生自行作圖，利用相關(guān)知識(shí)，嘗試證明，分享想法。采用故事引入，解決實(shí)際生活中數(shù)學(xué)問題。利用前期所學(xué)知識(shí)，深化理解，綜合運(yùn)用到題目上，對(duì)思維運(yùn)轉(zhuǎn)，邏輯能力都有重要提升。學(xué)生小組討論，不斷探究，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)腦和創(chuàng)新精神。運(yùn)用新知，深化理解（造橋選址問題）如圖，A地和B地在同一條河的兩岸，牧馬人要從A地過河到達(dá)B地，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）分析路徑的組成（AM+MN+NB），判斷線段MN的不變性與路徑最短的無關(guān)性，探討路徑最短的存在性。①再次利用幾何畫板軟件，通過改變MN的位置，讓學(xué)生觀察到MN永遠(yuǎn)固定，路徑的最短只考慮AM+NB最小即可。②改變橋MN的位置，利用幾何畫圖，論證橋在某個(gè)位置可使路徑最短位置的存在性.①學(xué)生在作圖紙上通過作圖找到造橋點(diǎn)的具體位置。②請(qǐng)學(xué)生代表在黑板上作圖，口述作圖方法和原理。學(xué)生歸納：通過平移將線段AM與NB連接起來，只要它們?cè)谕痪€段上就可利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”加以解決。平移變換，不改變線段長度的基礎(chǔ)上利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，再次體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想與一題多解思想。同時(shí)鍛煉學(xué)生的表達(dá)與歸納能力，展示的同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的自信心。鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練：如圖，∠XOY內(nèi)有一點(diǎn)P，在射線OX上找出一點(diǎn)M，在射線OY上找出一點(diǎn)N，使PM+MN+NP最短．思路：做P點(diǎn)關(guān)于直線ox的對(duì)稱點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于直線oy的對(duì)稱點(diǎn)P2,連接P1P2，與ox和oy的交點(diǎn)M,N為所求.學(xué)生作圖，上臺(tái)演板。運(yùn)用所學(xué)，鞏固練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況。布置作業(yè)課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？通過這些數(shù)學(xué)思想，你收獲了什么？學(xué)生總結(jié)后結(jié)合實(shí)際回答。鍛煉學(xué)生概括能力，通過交流梳理知識(shí)點(diǎn)。并認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于實(shí)際并應(yīng)用于實(shí)際。板書設(shè)計(jì)最短路徑問題知識(shí)點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短。二、轉(zhuǎn)化方法：軸對(duì)稱變換（探究一和二）平移變換（深化理解）教學(xué)反思授課中，學(xué)生能逐漸由簡單到復(fù)雜，逐步深入地理解找點(diǎn)問題，如何找最短路徑。學(xué)生利用軸對(duì)稱能正確做圖，找到要找的點(diǎn)，解決了最短路徑問題