24.1圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓24.1.1圓1.認(rèn)識(shí)圓，理解圓的本質(zhì)屬性.2.認(rèn)識(shí)弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，并了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.3.初步了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.重點(diǎn)：經(jīng)歷形成圓的概念的過(guò)程，理解圓及其有關(guān)概念.難點(diǎn)：理解圓的概念的形成過(guò)程和圓的集合定義.學(xué)習(xí)目標(biāo)圓是一種基本的幾何圖形，圓形物體在生活中隨處可見(jiàn)，例如：情境導(dǎo)入騎車(chē)運(yùn)動(dòng)車(chē)輪為什么做成圓形?做成三角形、正方形可以嗎？思考情景：一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字排開(kāi)．這樣的隊(duì)形對(duì)每一人都公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)當(dāng)排成什么樣的隊(duì)形？合作探究知識(shí)點(diǎn)一：探究圓的概念新知探究請(qǐng)你用圓規(guī)在練習(xí)紙上畫(huà)一個(gè)半徑為2cm的圓．畫(huà)一畫(huà)·rOA圓的旋轉(zhuǎn)定義

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.有關(guān)概念固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．

問(wèn)題

觀察畫(huà)圓的過(guò)程，你能說(shuō)出圓是如何畫(huà)出來(lái)的嗎？一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大?。霃较嗤瑘A心不同圓心相同，半徑不同確定一個(gè)圓的要素同心圓

等圓圓心確定其位置，半徑確定其大小．圓可以看成到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的.有間隙嗎？圓也可以看成是由多個(gè)點(diǎn)組成的到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上嗎？（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于

．（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在

．

圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．O·ACErrrrrD定長(zhǎng)r同一個(gè)圓上圓的集合定義想一想：從畫(huà)圓的過(guò)程可以看出什么呢？例1

矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O.求證：A、B、C、D在以O(shè)為圓心的同一圓上.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形，又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上.∴AO=OC=AC，OB=OD=BD.

典型例題弦：

·COAB連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如圖中的AC）叫做弦.經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的AB）叫做直徑．

1.弦和直徑都是線段.2.直徑是弦，是經(jīng)過(guò)圓心的特殊弦，是圓中最長(zhǎng)的

弦，但弦不一定是直徑.注意知識(shí)點(diǎn)二：圓的有關(guān)概念新知探究OABOAB探索：圓中最長(zhǎng)的弦是什么？為什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD【發(fā)現(xiàn)】直徑是最長(zhǎng)的弦1.根據(jù)圓的定義，“圓”指的是“圓周”，而不是“圓面”．2.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.附圖解釋?zhuān)骸OAB連接OC，在△AOC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有AO+OC>AC，而AB=2OA，AO=OC，所以AB>AC.歸納總結(jié)弧:·COAB圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．劣弧與優(yōu)弧·COAB半圓圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)?。訟、B為端點(diǎn)的弧記作

AB

，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．(小于半圓的弧叫做劣弧.如圖中的AC

;(大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.如圖中的ABC.(例2

如圖.(1)請(qǐng)寫(xiě)出以點(diǎn)A為端點(diǎn)的優(yōu)弧及劣弧;(2)請(qǐng)寫(xiě)出以點(diǎn)A為端點(diǎn)的弦及直徑;

弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直徑.(3)請(qǐng)任選一條弦，寫(xiě)出這條弦所對(duì)的弧.ABCEFDO劣弧：優(yōu)?。篈F,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(AED,(AEF.(答案不唯一，如：弦AF，它所對(duì)的弧是

，AF(AEF.(典型例題等圓:·COA能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.·CO1A容易看出：等圓是兩個(gè)半徑相等的圓.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.結(jié)論：等弧僅僅存在于同圓或者等圓中.可見(jiàn)這兩條弧不可能完全重合實(shí)際上這兩條弧彎曲程度不同“等弧”要區(qū)別于“長(zhǎng)度相等的弧”

如圖，如果AB和CD的拉直長(zhǎng)度都是10cm，平移并調(diào)整小圓的位置，是否能使這兩條弧完全重合？︵︵DCAB想一想：長(zhǎng)度相等的弧是等弧嗎？例3

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，連接CD，求∠ACD的度數(shù).∴∠ACD=90°-80°=10°.解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.∵CD=CB，∴∠BCD=180°-2×50°=80°.注意

在圓中常利用半徑相等得等腰三角形求角度.典型例題變式

如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度數(shù)．∴∠AOC=∠C+∠E=60°．解：如圖，連接OD.∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE.∴∠DOE=∠E=20°.∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°.∵OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°.連半徑，構(gòu)造等腰三角形練一練1.判斷下列說(shuō)法的正誤，并說(shuō)明理由或舉反例.(1)弦是直徑；(2)半圓是??；(3)過(guò)圓心的線段是直徑；(4)過(guò)圓心的直線是直徑；(5)半圓是最長(zhǎng)的弧；(6)直徑是最長(zhǎng)的弦；(7)長(zhǎng)度相等的弧是等弧.當(dāng)堂檢測(cè)2.

如圖，MN是半圓O的直徑，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D在半圓上，頂點(diǎn)B、C在直徑MN上.（1）求證：OB=OC；證明：如圖，連接OA，OD，∴OA=OD.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABO=∠DCO=90°.在Rt△ABO和Rt△DCO中，∴Rt△ABO≌Rt△DCO.∴OB=OC.（2）設(shè)⊙O的半徑為10，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

.10？x2x解析：設(shè)OB=x，則AD=BC=OB+OC=2x.在Rt△ABO中，解得x=∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x=xxxx變式：如圖，在扇形MON中，

，半徑MO=NO=10，正方形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D在半徑上，頂點(diǎn)A在圓弧上，求正方形ABCD的邊長(zhǎng).解：連接OA.∵四邊形ABCD為正方形，∴DC=CO.設(shè)OC=x，則AB=BC=DC=OC=x.又∵OA=OM=10，∴在Rt△ABO中，

，即