2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理1任務3

曲線擬合曲線擬合關聯(lián)函數(shù)的選擇和線性化線性最小二乘法采用Excel曲線擬合采用自編軟件曲線擬合2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理2任務3曲線擬合☆將離散的數(shù)據(jù)描述成數(shù)學表達式的方法稱曲線擬合，或者說經驗建模。

一、關聯(lián)函數(shù)的選擇和線性化實測數(shù)據(jù)關聯(lián)成數(shù)學模型的方法一般有以下幾種:①具有一定的理論依據(jù),可直接根據(jù)機理選擇關聯(lián)函數(shù)的形式。②尚無任何理論依據(jù),但已有一些經驗公式可選擇?！顭崛莸慕涷灩?cp=a+bT+cT2+dT3③沒有任何經驗可循的情況

對于此類情況，通常只能將實驗數(shù)據(jù)畫出圖形與已知函數(shù)圖形進行比較，選擇圖形接近的函數(shù)形式作擬合模型?！罘磻獎恿W方程:☆反應速率常數(shù)方程(Arrhenius方程):2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理3任務3曲線擬合☆將離散的數(shù)據(jù)描述成數(shù)學表達式的方法稱曲線擬合，或者說經驗建模。

一、關聯(lián)函數(shù)的選擇和線性化實測數(shù)據(jù)關聯(lián)成數(shù)學模型的方法一般有以下幾種:①具有一定的理論依據(jù),可直接根據(jù)機理選擇關聯(lián)函數(shù)的形式。②尚無任何理論依據(jù),但已有一些經驗公式可選擇。③沒有任何經驗可循的情況

對于此類情況，通常只能將實驗數(shù)據(jù)畫出圖形與已知函數(shù)圖形進行比較，選擇圖形接近的函數(shù)形式作擬合模型?！顚τ谝恍┓蔷€性模型，應事先將其變換成線性形式，即線性化處理;☆表1-9列出了化工中常用的幾種函數(shù)類型及線性化的方法。此表中所列均為單變量問題，經線性化處理后的線性模型均可統(tǒng)一用式(1-4)表示,即:Y=A+BX

（1-4）2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理4任務3曲線擬合☆表1-9常用函數(shù)線性化方法2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理5任務3曲線擬合☆常用函數(shù)線性化舉例冪函數(shù):y=axb兩邊取對數(shù):lgy=lga+blgx令:Y=lgy,X=lgx,A=lga,B=b則

Y=A+BX

指數(shù)函數(shù):y=aebx兩邊取對數(shù):lny=lna+bx令:Y=lny,X=x,A=lna,B=b則:Y=A+BX

返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理6任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(一)一元線性模型中待定系數(shù)的確定☆彈簧在彈性限度內荷重與長度之間的關系遵循胡克定律y

=a+bx (1-8)☆實驗測定彈簧在彈性限度內荷重與長度之間的數(shù)據(jù)荷重xi(kg)0246810121416長度yi(cm)30.0031.2532.5833.7135.0136.2037.3138.7940.04

由實驗數(shù)據(jù)作圖可得一組直線,如圖1-16☆要解決的問題:如何使擬合的函數(shù)式(1-8)計算值與實驗值一致!即對任一點i而言,使:

i=yi－

yi

=yi－(

a+bxi)稱“殘差”最小!☆最佳效果:每點

i=0,不可能,

i=0?

可能出現(xiàn)“+”,“－”相抵,解決措施?

i=0,但數(shù)學上不太好處理,解決方法☆最小二乘原理就是使殘差的平方和最小!2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理7任務3曲線擬合二、線性最小二乘法思考:一元函數(shù)如何求其極值如:現(xiàn)有一長度為Lm的繩子,請設計一種最佳的圍法使其繞一固定的墻壁圍得最大的面積？如：L=8m時，Smax=8m22025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理8任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(一)一元線性模型中待定系數(shù)的確定2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理9任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(一)一元線性模型中待定系數(shù)的確定稱xi的離差,平方和稱yi的離差,平方和兩離差乘積表1-11數(shù)據(jù)計算舉例2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理10任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(一)一元線性模型中待定系數(shù)的確定——表1-11數(shù)據(jù)計算舉例2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理11任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(二)線性相關系數(shù)與顯著性檢驗☆兩個變量大致呈線性關系時才適宜直線模型去擬合數(shù)據(jù);☆線性最小二乘法只適宜處理變量x與y具有相關的問題,這樣關聯(lián)的函數(shù)才有意義!①相關系數(shù)(r):描述兩個變量線性關系的密切程度的指標。

r=1所有數(shù)據(jù)都在回歸直線上,x與y完全相關時存在確定的線性函數(shù)關系。如圖1-20中的（D）。2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理12任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(二)線性相關系數(shù)與顯著性檢驗☆r只表示x與y的線性關系的密切程度,當r很小或為零時,并不表示x與y不存在其他關系。如圖1-20中的(E),x,y呈某種曲線關系;②對于非線性模型擬合的效果常用另一指標——相關指數(shù)來衡量，記作R2

R21,R2值越接近于1，擬合曲線效果越好，當R2=l時，說明yi與yi

趨于—致，實測點完全落在擬合曲線上。

③對于一個具體問題,只有當

r

大到一定程度時方可用回歸直線來近似表示x與y之間關系。表1-15給出了r的起碼值,它與觀測次數(shù)n及顯著性水平

有關,當

r

大于表中相應的值時,所回歸的直線才有意義。如:當n－2=3時,即用5個數(shù)據(jù)來回歸直線時,相關系數(shù)r至少為0.878,所得直線方程的置信度為95%。

2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理13任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(二)線性相關系數(shù)與顯著性檢驗☆表1-15相關系數(shù)r與顯著性水平

的關系

☆置信度:也稱可靠度,置信水平,置信系數(shù),是指正確的概率;☆顯著性水平

:是指犯錯的概率。兩者關系:置信度=1-

n－2

=5%

=1%n－2

=5%

=1%n－2

=5%

=1%10.9971.000140.4970.623270.3670.47020.9500.990150.4820.606280.3610.46330.8780.959160.4680.590290.3550.45640.8110.917170.4560.575300.3490.44950.7540.874180.4440.561400.3040.39360.7070.834190.4330.549500.2730.35470.6660.798200.4230.537600.2500.3252025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理14任務3曲線擬合二、線性最小二乘法(二)線性相關系數(shù)與顯著性檢驗例1-5某化學反應的速度常數(shù)k與絕對溫度T的實驗數(shù)據(jù)如表1-12第一、二列所示，試用線性最小二乘法進行關聯(lián)。解:反應速度常數(shù)與絕對溫度的關系一般服從Arrhenius方程,即:k=k0exp(－E/RT)的形式為非線性函數(shù),需進行線性化處理返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理15任務3曲線擬合三、采用Excel曲線擬合(1)單元格驅動計算擬合——例1-5、1-6、1-7(2)Excel自帶的功能主要步驟:步驟1:打開Excel，將數(shù)據(jù)按列依次輸入;步驟2:選中表中數(shù)據(jù)區(qū),選擇“插入\圖表”

“XY散點圖”,按照圖表向導的步驟添加圖的標題、x軸、y軸等,再將所生成的散點圖放在同一電子表格內。步驟3:右擊圖中數(shù)據(jù)點,選擇“添加趨勢曲線”,在“類型”中選擇,如“線性”,在“選項”中選擇“顯示公式”、“顯示R平方項”,按“確定”,得其結果。返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理16任務3曲線擬合四、采用Delphi自編軟件曲線擬合

(1)曲線擬合軟件的構成

(2)曲線擬合軟件具體應用舉例

返回2025/7/25單元1數(shù)據(jù)處理1