1.2函數(shù)及其表示1.2.1函數(shù)的概念第1課時函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是函數(shù)?函數(shù)的三要素是什么?2.函數(shù)的定義域是如何定義的?求函數(shù)定義域需注意什么?定義設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的__________,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有_________的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y=f(x),x∈A定義域x的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}對應(yīng)關(guān)系f唯一確定【思考】(1)對應(yīng)關(guān)系f一定是解析式嗎?提示:不一定.對應(yīng)關(guān)系f可以是解析式、圖象、表格,或文字描述等形式.(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系?提示:f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當x=a時,函數(shù)f(x)的值,是一個常量,而f(x)是自變量x的函數(shù),一般情況下,它是一個變量,f(a)是f(x)的一個特殊值.(3)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系嗎?提示:不能.只有非空數(shù)集之間才能建立函數(shù)關(guān)系.(4)對于一個函數(shù)y=f(x),在定義域內(nèi)任取一個x值,有幾個函數(shù)值與其對應(yīng)?提示:根據(jù)函數(shù)的定義,對于定義域內(nèi)的任意一個x,只有一個函數(shù)值與其對應(yīng).(5)在函數(shù)的定義中,值域與集合B有什么關(guān)系?提示:值域是集合B的子集.2.區(qū)間及有關(guān)概念(1)一般區(qū)間的表示.設(shè)a,b∈R,且a<b,規(guī)定如下:定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間______

{x|a<x<b}開區(qū)間______

{x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a,b)

{x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間______

[a,b](a,b)(a,b](2)特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)【思考】(1)數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎?提示:不能.區(qū)間是數(shù)集的一種表示方法,但并不是所有數(shù)集都能用區(qū)間表示,如{1,2,3,4},就不能用區(qū)間表示.(2)“∞”是一個數(shù)嗎?提示:“∞”是一個趨向符號,表示無限接近,卻永遠不能達到,不是一個數(shù).因此以“-∞”和“+∞”為區(qū)間的一端時,這一端點必須用小括號.(3)區(qū)間之間可以像集合之間那樣進行“交、并、補”運算嗎?若A=(1,+∞),B=(-∞,2],A∩B如何表示?提示:區(qū)間只是集合的一種表示形式,因此對于集合的“交、并、補”運算仍然成立.A∩B=(1,2].【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”. (

)(2)根據(jù)函數(shù)的定義,定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y.(

)(3)在函數(shù)的定義中,集合B是函數(shù)的值域. (

)(4)在研究函數(shù)時,除用符號f(x)外,還可用g(x),F(x),G(x)等來表示函數(shù). (

)提示:(1)×.f(x)是一個符號,“y=f(x)”是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示.(2)×.根據(jù)函數(shù)的定義,對于定義域中的任何一個x,在值域中都有唯一的y與之對應(yīng).(3)×.在函數(shù)的定義中,函數(shù)的值域是集合B的子集.(4)√.同一個題中,為了區(qū)別不同的函數(shù),常采用g(x),F(x),G(x)等來表示函數(shù).2.函數(shù)y=的定義域是 (

)A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.(-1,+∞) D.(-1,0)【解析】選C.要使y=有意義,則有x+1>0,解得:x>-1.所以該函數(shù)的定義域為(-1,+∞).3.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的定義域為________,值域為________.

【解析】由f(x)的圖象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5]

[-2,3]4.用區(qū)間表示下列集合:(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________.

(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________.

【解析】(1)由區(qū)間的定義可知:{x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為[10,100].(2)由區(qū)間的定義可知:{x|x>1}用區(qū)間表示為(1,+∞).答案:(1)[10,100]

(2)(1,+∞)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一函數(shù)關(guān)系的判斷(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是 (

)A.A=R,B=R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4},B={0,1},對應(yīng)關(guān)系如圖:C.A=R,B=R,f:x→y=D.A=Z,B=Z,f:x→y=2.設(shè)集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},則圖中能表示P到Q的函數(shù)的是 (

)

A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)C.(1)(4) D.(3)3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,5],則在同一坐標系中,函數(shù)f(x)的圖象與直線x=1的交點個數(shù)為 (

)A.0 B.1 C.2 D.0或14.下列各題的對應(yīng)關(guān)系是否給出了實數(shù)集R上的一個函數(shù)?為什么?①f:把x對應(yīng)到3x+1;②g:把x對應(yīng)到|x|+1;③h:把x對應(yīng)到;④r:把x對應(yīng)到.【解析】1.選B.A錯誤,x2+y2=1可化為y=±,顯然對任意x∈A,y值不唯一.B正確,符合函數(shù)的定義.C錯誤,2∈A,在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).D錯誤,-1∈A,在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).2.選C.根據(jù)函數(shù)的定義,在定義域內(nèi)的任何一個x值,都唯一對應(yīng)一個y值,故(1)、(4)正確;(2)中定義域內(nèi)的1對應(yīng)了2個函數(shù)值,(3)中定義域(1,2]內(nèi)的x值,沒有對應(yīng)的y值,故(2)、(3)錯誤.3.選B.函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,5],則在同一坐標系中,函數(shù)f(x)的圖象與直線x=1的交點個數(shù)為1.4.①是實數(shù)集R上的一個函數(shù).它的對應(yīng)關(guān)系f是:把x乘3再加1,對于任意x∈R,3x+1都有唯一確定的值與之對應(yīng),如x=-1,則3x+1=-2與之對應(yīng).同理,②也是實數(shù)集R上的一個函數(shù).③不是實數(shù)集R上的函數(shù).因為當x=0時,的值不存在.④不是實數(shù)集R上的函數(shù).因為當x<0時,的值不存在.【解題策略】1.判斷一個對應(yīng)是否是函數(shù)的方法2.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的步驟(1)任取一條垂直于x軸的直線l.(2)在定義域內(nèi)平行移動直線l.(3)若l與圖形有且只有一個交點,則是函數(shù);若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點,則不是函數(shù).如圖所示:【補償訓(xùn)練】

1.如圖可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是(

)【解析】選D.觀察圖象可知,A,B,C中任取一個x的值,y有可能有多個值與之對應(yīng),所以不是函數(shù)圖象.D中圖象是函數(shù)圖象.2.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四種對應(yīng)關(guān)系中,存在函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.根據(jù)函數(shù)的定義可知,集合A中每一個實數(shù)在B中都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng),其中①③均滿足函數(shù)的定義.3.下列對應(yīng)是否是函數(shù)?①x→,x≠0,x∈R;②x→y,其中y2=x,x∈R,y∈R.【解析】①是函數(shù).因為任取一個非零實數(shù)x,都有唯一確定的與之對應(yīng),符合函數(shù)定義.②不是函數(shù).當x=1時,y=±1,即一個非零自然數(shù)x,對應(yīng)兩個y的值,不符合函數(shù)的概念.類型二求函數(shù)的定義域(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】1.函數(shù)y=的定義域為 (

)A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}2.設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)=的定義域為M,則?RM= (

)A.{x|x≥2或x=-1} B.{x|x<2且x≠-1}C.{x|x≥2} D.{x|x>2或x=-1}3.若將長為a的鐵絲折成矩形,則矩形面積y關(guān)于一邊長x的解析式為________,此函數(shù)的定義域為________.

4.求函數(shù)y=的定義域.【解析】1.選D.由題意可知解得0≤x≤1.2.選A.由解得x<2且x≠-1,所以M={x|x<2且x≠-1},所以?RM={x|x≥2或x=-1}.3.已知矩形的一邊長為x,則另一邊長為(a-2x),所以y=x·(a-2x)=-x2+ax,由得0<x<,故定義域為.答案:y=-x2+ax

4.要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足解得x≤1,且x≠-1,即函數(shù)的定義域為{x|x≤1,且x≠-1}.【解題策略】已知函數(shù)的解析式,求函數(shù)的定義域(1)本質(zhì):求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍.(2)常見題型①如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.②如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.③如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.④y=x0要求x≠0.⑤如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集).⑥對于由實際問題的背景確定的函數(shù),其定義域還要受實際問題的制約.【補償訓(xùn)練】1.函數(shù)y=的定義域是A,函數(shù)y=的值域是B,則A∩B=________(用區(qū)間表示).

【解析】要使函數(shù)解析式y(tǒng)=有意義,只需x≠2,即A={x|x≠2};函數(shù)y=≥0,即B={y|y≥0},則A∩B={x|0≤x<2,或x>2}.答案:[0,2)∪(2,+∞)2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的定義域為________.

【解析】觀察函數(shù)的圖象,圖象上所有點的橫坐標構(gòu)成的集合為(0,1)∪(1,2],即為定義域.答案:(0,1)∪(1,2]3.求下列函數(shù)的定義域:(1)y=2+.(2)y=.(3)y=(x-1)0+.【解析】(1)當且僅當x-2≠0,即x≠2時,函數(shù)y=2+有意義,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}.(2)函數(shù)有意義,當且僅當解得1≤x≤3,所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}.(3)函數(shù)有意義,當且僅當解得x>-1,且x≠1,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>-1,且x≠1}.類型三函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)角度1求值問題

【典例】1.已知f(3x+1)=4x+3,則f(4)= (

)A.6

B.7

C.8

D.9 2.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB,其中點O,A,B的坐標分別為(0,0),(1,2),(3,1),則f(f(3))的值為________.

【思路導(dǎo)引】1.注意到f(4)=f(3×1+1)就可以利用f(3x+1)=4x+3求f(4).2.根據(jù)圖象確定自變量x=1和x=3時,對應(yīng)的函數(shù)值即可求f(f(3)).【解析】1.選B.由3x+1=4,得x=1,所以f(4)=f(3×1+1)=4×1+3=7.2.據(jù)圖象知,f(3)=1,f(f(3))=f(1)=2.答案:2角度2求函數(shù)解析式問題

【典例】(2020·龍巖高一檢測)如圖所示,用長為1的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓形的框架,若半圓的半徑為x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.【思路導(dǎo)引】先由題設(shè)條件,列出x與y的關(guān)系式,即可得出函數(shù)解析式,再結(jié)合實際意義即可得出定義域.【解析】AB=2x,的長為πx,于是AD=,所以y=2x·

即y=-x2+x.由得0<x<,所以此函數(shù)的定義域為.【解題策略】函數(shù)求值的方法及關(guān)注點(1)方法:①求f(a):已知f(x)的解析式時,只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值.②求f(g(a)):已知f(x)與g(x),求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.(2)關(guān)注點:用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值,否則函數(shù)無意義.【題組訓(xùn)練】1.若函數(shù)f(x)滿足f(2x-1)=x+1,則f(3)=________.

2.若f(x)=ax2-,a為正實數(shù),且f(f(