1．等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角__________（簡寫成“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互__________（簡寫成“三線合一”）．等腰三角形的其他性質：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對__________”）．數(shù)學語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．【注意】（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等．因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等邊三角形及其性質等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是__________三角形．等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于__________．【注意】（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質．4．等邊三角形的判定判定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個角是60°的__________三角形是等邊三角形．5．含30°角的直角三角形的性質一在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的__________．【注意】（1）該性質是含30°角的特殊直角三角形的性質，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質，更不能應用．（2）這個性質主要應用于計算或證明線段的倍分關系．（3）該性質的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和將15°的角轉化后，再利用這個性質解決問題．6．最短路徑問題1．求直線異側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置．2．求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置．K知識參考答案：1．相等，重合2．相等，等邊3．等邊，60° 4．等腰5．一半K—重點等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質K—難點等腰三角形中的分類討論問題K—易錯等腰三角形“三線合一”性質的應用一、等腰三角形的性質和判定1．應用“三線合一”性質的前提條件是在等腰三角形中，且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角平分線，若是一腰上的高與中線就不一定重合．2．等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線（或底邊上的高、底邊上的中線）所在的直線是它的對稱軸．【例1】如圖，AD⊥BC，D是BC的中點，那么下列結論錯誤的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等邊三角形【答案】D【解析】因為AD⊥BC，D是BC的中點，所以△ABD與△ACD關于直線AD對稱，由軸對稱的性質可知△ABD≌△ACD，∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，但不能得到△ABC是等邊三角形，故選D．【例2】已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個等腰三角形的頂角是A． B．C． D．或【答案】D【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一點，EF∥AD交CA的延長線于F．求證：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．二、等邊三角形的性質和判定判定等邊三角形時常用的選擇方法：若已知三邊關系，一般選用（1）；若已知三角關系，一般選用（2）；若已知該三角形是等腰三角形，一般選用（3）．【例4】下列推理中，錯誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形【答案】B【例5】如圖，已知OA=5，P是射線ON上的一個動點，∠AON=60°．當OP=__________時，△AOP為等邊三角形．【答案】5【解析】已知∠AON=60°，當OP=OA=5時，根據有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得△AOP為等邊三角形．故答案為：5．三、含30°角的直角三角形的性質含30°角的直角三角形的性質是求線段長度和證明線段倍分關系的重要依據．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于A．4cm B．2cmC．3cm D．1cm【答案】C四、最短路徑問題通常利用軸對稱變換將不在一條直線上的兩條或多條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的選擇.【例7】公園內兩條小河MO，NO在O處匯合，兩河形成的半島上有一處景點P（如圖所示）．現(xiàn)計劃在兩條小河上各建一座小橋Q和R，并在半島上修三段小路，連通兩座小橋與景點，這兩座小橋應建在何處才能使修路費用最少？請說明理由．【解析】如圖，作P關于OM的對稱點P′，作P關于ON的對稱點P″，連接P′P″，分別交MO，NO于Q，R，連接PQ，PR，則P′Q=PQ，PR=P″R，則Q，R就是小橋所在的位置．理由：在OM上任取一個異于Q的點Q′，在ON上任取一個異于R的點R′，連接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，則PQ′=P′Q′，PR′=P″R′，且P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q+QR+RP″，所以△PQR的周長最小，故Q，R就是我們所求的小橋的位置．1．等腰三角形的一個內角是，則它頂角的度數(shù)是A． B．或 C．或 D．2．一個等邊三角形的對稱軸共有A．1條 B．2條 C．3條 D．6條3．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A等于A．30° B．40° C．45° D．36°4．如圖，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．則CE長為A．6 B．9 C．3 D．85．如圖，△ABC是等邊三角形，P為BC上一點，在AC上取一點D，使AD=AP，且∠APD=70°，則∠PAB的度數(shù)是A．10° B．15° C．20° D．25°6．如圖，在中，為的中點，，則__________．7．等腰三角形的一腰的中線把三角形的周長分成16cm和12cm，則等腰三角形的底邊長為______．分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，D在邊AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__________°．9．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC，試說明：AO⊥BC．10．如圖，在△ABC中，，是邊上的中線，于，試說明．11．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長為奇數(shù)．（1）求△ABC的周長；（2）判斷△ABC的形狀．12．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分別以AB，AC為邊作兩個等腰三角形ABD和ACE，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．（1）求∠DBC的度數(shù)．（2）求證：BD=CE．13．如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，則∠BPC等于A．20° B．30° C．35° D．40°14．如圖，在等腰中，，在BC上截取，作的平分線與AD相交于點P，連接PC，若的面積為，則的面積為A． B． C． D．15．如圖，△ABC中，AB=14，AM平分∠BAC，∠BAM=15°，點D、E分別為AM、AB的動點，則BD+DE的最小值是__________．16．如圖，在中，，D是AB上的點，過點D作交BC于點F，交AC的延長線于點E，連接CD，，則下列結論正確的有__________（將所有正確答案的序號都填在橫線上）．①；②；③是等邊三角形；④若，則．17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分線．（1）求證：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周長是a，BC=b，求△ACD的周長（用含a，b的代數(shù)式表示）18．（2018·浙江湖州）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是A．20° B．35° C．40° D．70°19．（2018·江蘇宿遷）若實數(shù)m、n滿足，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是A．12 B．10 C．8 D．620．（2018·黑龍江綏化）已知等腰三角形的一個外角為，則它的頂角的度數(shù)為__________．21．（2018·青海）如圖，將繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到，連接AD，若，則__________．22．（2018·四川甘孜州）直線上依次有A，B，C，D四個點，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可構成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長為__________．23．（2018·廣西桂林）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是__________．1．【答案】BB．2．【答案】C【解析】一個等邊三角形有3條對稱軸．故選C．3．【答案】D【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=2∠A．∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2∠A．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠A，由三角形內角和定理，得∠A+2∠A+2∠A=180°，即∠A=36°．故選D．6．【答案】55°【解析】為的中點，，所以∠BAC=70°，∠C==55°．故答案為：55°．7．【答案】cm或12cm【解析】設等腰三角形的腰長是x，底邊是y，根據題意得或，解得或，經檢驗，均符合三角形的三邊關系．因此三角形的底邊是cm或12cm．故答案為：cm或12cm．8．【答案】80【解析】∵AB=BD=DC，∴∠A=∠BDA，∠DBC=∠C=40°，又∵∠BDA=∠DBC+∠C，∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°．故答案為：80．9．【解析】∵，，，∴≌，∴，又∵，即△ABC是等腰三角形，∴AO⊥BC．10．【解析】∵，是邊上的中線，∴，，又∵，∴，∴，∴．12．【解析】（1）∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC==70°．∵AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DBA==45°，∴∠DBC=70°+45°=115°．（2）∵AB=AD，AC=AE，AB=AC，∴AB=AC=AD=AE．又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．13．【答案】B14．【答案】A【解析】∵BD=BA，BP是∠ABC的平分線，∴AP=PD，∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，∵△ABC的面積為8cm2，∴S△BPC=×8=4cm2，故選A．15．【答案】7【解析】作點E關于AM的對稱點H，則DE=DH，所以BD+DE=BD+DH，當BH⊥AC時，BH的值最小，即BD+DE的最小值是垂線段BH的長．因為∠BAC=30°，∠AHB=90°，所以AB=2BH，所以BH=7，即BD+DE的最小值是7．故答案為：7．16．【答案】①②④【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B，故①正確；∴CD=BD，∵AD=BD，∴CD=AB，故②正確；∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等邊三角形，故③錯誤；若∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正確．故答案為：①②④．17．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=36°，18．【答案】B【解析】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．19．【答案】B【解析】由題意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，B．20．【答案】或【解析】∵等腰三角形的一個外角為，∴與13