第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱師大附中高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.樣本數(shù)據(jù)91，80，86，88，100，93，86，95的第一四分位數(shù)為(

)A.87 B.86 C.94 D.932.已知復(fù)數(shù)z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)，則z?A.0 B.2i C.?2i D.23.某地區(qū)有1000家商鋪，其中大型商鋪50家，中型商鋪100家，其余為小型商鋪，為調(diào)查營業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個樣本容量為100的樣本，則應(yīng)抽取大型商鋪(

)A.33家 B.20家 C.5家 D.10家4.已知O為坐標(biāo)原點，若不重合的三點A(1,3)，B(m?1,4)，C(2,m+1)共線，則AC=(

)A.(1,?1) B.(1,1) C.(1,0) D.(0,1)5.已知m，n是不同的直線，α，β是不重合的平面，則下列說法正確的是(

)A.若m//α，則m平行于平面α內(nèi)的任意一條直線

B.若m//α，n//α，則m//n

C.若m⊥α，n⊥α，則m⊥n

D.若α//β，m⊥α，m//n，則n⊥β6.一個質(zhì)地均勻的骰子六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.連續(xù)拋擲這個骰子兩次，并記錄每次正面朝上的數(shù)字，記事件A=“兩次向上的數(shù)字都為3”，B=“兩次向上的數(shù)字之和是6”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.事件A與事件B相互獨(dú)立 B.事件A與事件B互斥

C.P(B)=112 7.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=6，A=π3，若△ABC有兩解，則a的取值范圍為(

)A.(33,+∞) B.(3,33)8.已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為35，則該正四棱臺的體積為(

)A.683 B.682 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若a=23，A=π3，則△ABC的外接圓的面積為16π

B.已知(a+b+c)(a+b?c)=(2+3)ab，則C=π3

C.若sin10.如圖，AC為圓錐SO的底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，母線SC=22，圓錐SO的側(cè)面積為42πA.SO=2

B.三棱錐S?ABC的體積最大值為83

C.若點B為弧AC的中點，則二面角S?BC?O的平面角大小為45°

D.若AB=BC，E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為2(3+1)

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為6，E，F(xiàn)分別是A.若FP//平面ABC1D1，則P點運(yùn)動軌跡長度為35

B.若FP=57，則P點運(yùn)動軌跡長度為233π

C.過B，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形的周長為6512.已知向量a，b滿足a?b=2，b=(?1,2)，則向量a在向量b13.已知z∈C，z1=3?4i，|z|=2，則|z?z14.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為線段AC的中點，點E在線段四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo))，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)估計此批棉花纖維長度的眾數(shù)；

(2)估計此批棉花纖維長度的下四分位數(shù)和中位數(shù)；(保留整數(shù))

(3)估計此批棉花纖維長度的平均數(shù).(保留整數(shù))16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB=PD．

(1)求證：PC⊥BD；

(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，求平面PBD與平面PCD所成角的余弦值．17.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B=π3，cosA=45，b=3．

(1)求sinC的值；

(2)求△ABC的面積；18.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點．

(1)證明：EF//平面PAB；

(2)若二面角P?AD?B為60°；

(i)證明：平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)棱PA上是否存在點Q，使CQ⊥EF，若存在，求19.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(b+c)cosA=a(cosB?cosC)．

(1)求證：A=2B；

(2)若△ABC為銳角三角形，D為AB中點，c=2．

(i)求sinB的取值范圍；

(ii)求CD的取值范圍．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)91，80，86，88，100，93，86，95

則小到大排列為：80，86，86，88，91，93，95，100，

由25%×8=2，得第一四分位數(shù)為86+862=86．

故選：B．

將給定數(shù)據(jù)由小到大排列，再利用第一四分位數(shù)的定義求得答案．2.【答案】B

【解析】解：由題意，z=2i1+i=2i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i，則z?=1?i，z?z?=2i．

3.【答案】C

【解析】解：依大型商鋪50家，中型商鋪100家，其余為小型商鋪，

可得分層抽樣的抽樣比為1001000=110，

所以應(yīng)抽取大型商鋪110×50=5(家)．

故選：4.【答案】A

【解析】解：由題意不重合的三點A(1,3)，B(m?1,4)，C(2,m+1)共線，

可得AB=(m?2,1),AC=(1,m?2)，

有(m?2)2=1，解得m=3或m=1，

當(dāng)m=3時，B(2,4)，C(2,4)重合，矛盾，

當(dāng)m=1時，A(1,3)，B(0,4)，C(2,2)都不重合，故m=1滿足題意，

所以AC=(1,?1)．

故選：A．

5.【答案】D

【解析】解：若m/?/α，則m平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線，但不是任意一條直線，所以A選項錯誤；

若m/?/α，n/?/α，則m與n平行過相交或異面，所以B選項錯誤；

若m⊥α，n⊥α，則m/?/n，所以C選項錯誤；

若α/?/β，m⊥α，m/?/n，則n⊥β，所以D選項正確．

故選：D．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)樣本空間為Ω，則n(Ω)=6×6=36，

事件A={(3,3)}，B={(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}，

依次分析選項：

對于A，易得A?B，P(A)=136，P(B)=536，則P(AB)=P(A)=136，

由于P(AB)≠P(A)P(B)，則事件A、B不相互獨(dú)立，A錯誤；

對于B，P(AB)=P(A)=136，事件A與事件B不互斥，故B錯誤；

對于選C：因為n(B)=5，所以P(B)=n(B)n(Ω)=536，故C錯誤；

對于D：因為n(AB)=n(A)=1，所以P(AB)=n(A)n(Ω)7.【答案】D

【解析】解：若△ABC有兩解，則bsinA<a<b，

結(jié)合b=6，A=π3，可得6sinπ3<a<6，

即33<a<6，a的取值范圍是(33,6).

8.【答案】C

【解析】解：作出示意圖如下：

其中OO1為正四棱臺的高，EE1為其斜高，

根據(jù)題意可得B1O1=2，BO=42，OO19.【答案】CD

【解析】解：A選項，若a=23，A=π3，則△ABC的外接圓的半徑為R=a2sinA=232×32=2，

△ABC的外接圓的面積為π×22=4π，故A選項錯誤；

B選項，已知(a+b+c)(a+b?c)=(2+3)ab，則(a+b)2?c2=(2+3)ab，

即a2+b2?c2=3ab，所以cosC=a2+b2?c22ab=3ab2ab=32，

10.【答案】ABD

【解析】解：對于A選項，圓錐SO的側(cè)面積為42π，即π?OC?SC=42π，

又SC=22，故OC=42SC=2，

由勾股定理得SO=SC2?OC2=2，故選項A正確；

對于B選項，因為AC為直徑，所以AB⊥BC，且AC=2OC=4，

由勾股定理得AB2+BC2=AC2=16，

VS?ABC=13S△ABC?SO=13×12AB?BC?2=13AB?BC≤16(AB2+BC2)=83，

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=22時，等號成立，

所以三棱錐S?ABC的體積最大值為83，故選項B正確；

對于C選項，取BC的中點D，連接OD，SD，

點B為弧AC的中點，所以O(shè)D/?/AB，

又AB⊥BC，所以O(shè)D⊥BC，

因為SB=SC，由三線合一得SD⊥BC，

所以∠SDO即為二面角S?BC?O的平面角，

其中AB=BC=22，故OD=12AB=2，

又SO=2，所以tan∠SDO=SODO=2，故∠SDO≠45°，故選項C錯誤；

對于D選項，若AB=BC，則△ABC為等腰直角三角形，且AB=BC=22，

又SA=SB=22，所以△SAB為等邊三角形，

將△SAB與△ABC沿著AB折疊到同一平面內(nèi)，如圖所示，

連接SC，交AB于點11.【答案】CD

【解析】解：對于選項A，取BC中點H，連接EH，EF，

若FP//平面ABC1D1，過點F作平面ABC1D1的平行平面EFH，

因為E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，所以EF/?/AD1，

又EF?平面ABC1D1，AD1?平面ABC1D1，

所以EF/?/平面ABC1D1，

同理EH/?/平面ABC1D1，因為EF∩EH=E，且EF，EH?平面EFH，

所以平面EFH/?/平面ABC1D1，

點P是底面ABCD內(nèi)一動點，P點運(yùn)動軌跡為線段EH，長度為6，故選項A錯誤；

對于選項B，若FP=57，則可看作以F為球心，半徑為FP=57的球與平面ABCD相交的圓的四分之一周長即為P點運(yùn)動軌跡，

在正方體中，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且FD=3，

設(shè)球與平面的截面圓半徑r=FP2?FD2=43，

則P點運(yùn)動軌跡長度為14×2πr=14×2π×43=23π，故選項B錯誤；

對于選項C，因為EF/?/AD1，AD1/?/B12.【答案】(?2【解析】解：已知向量a，b滿足a?b=2，b=(?1,2)，

則a?b=2，b=(?1,2)，

所以向量a在向量b上投影向量為|a13.【答案】7

【解析】解：由|z|=2，可設(shè)z=2cosθ+i?2sinθ，θ∈R，

又z1=3?4i，則|z?z1|=(2cosθ?3)2+(2sinθ+4)2=29?20sin(θ?φ)≤49=7，

其中當(dāng)cosφ=14.【答案】[【解析】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，易得四邊形ACC1A1為平行四邊形，

所以AC/?/A1C1，可得AC/?/平面A1BC1，

所以點O到平面A1BC1的距離等于點A到平面A1BC1的距離d，

又S△A1BC1=34A1B2=23，S△AA1B=12A15.【答案】22.5mm；

下四分位數(shù)約為19mm，中位數(shù)約為22mm；

23mm．

【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，區(qū)間[20,25)對應(yīng)的矩形最高，

所以估計此批棉花纖維長度的眾數(shù)為20+252=22.5mm；

(2)因為前兩組的頻率之和為0.01×2×5=0.1<0.25，前三組的頻率之和0.1+0.04×5=0.3>0.25，

所以估計此批棉花纖維長度的下四分位數(shù)在區(qū)間[15,20)，且為15+0.25?0.10.04=18.75≈19mm，

因為前三組的頻率之和0.3<0.5，前四組的頻率之和0.3+0.06×5=0.6>0.5，

所以估計此批棉花纖維長度的下四分位數(shù)在區(qū)間[20,25)，且為20+0.6?0.50.06≈22mm；

(3)估計此批棉花纖維長度的平均數(shù)為：

x?=7.5×0.05+12.5×0.05+17.5×0.2+22.5×0.3+27.5×0.25+32.5×0.1+37.5×0.05=23.25≈23mm．

16.【答案】證明過程見解析；

3105【解析】(1)證明：設(shè)AC，BD相交于點O，連接PO，

因為四邊形ABCD是菱形，所以AC，BD互相垂直且平分，

所以BD⊥AC，

因為PB=PD，O是BD中點，所以PO⊥BD，

又因為BD⊥AC，PO∩AC=O，PO，AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又因為PC?平面PAC，

所以PC⊥BD；

(2)以點O為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2，則B(3,0,0),C(0,1,0),D(?3,0,0),P(0,?1,2)，

所以BP=(?3,?1,2),BD=(?23,0,0)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面PBD的法向量，

則n⊥BPn⊥BD，則n?BP=?3x?y+2z=0n?BD=?23x=0，

令y=2，解得x=0，z=1，

故可取n=(0,2,1)，

設(shè)m=(x1,y1,z1)為平面PCD的法向量，

而CP=(0,?2,2),CD=(?3,?1,0)17.【答案】3+4310；

36+9350【解析】(1)根據(jù)題意可知，B=π3，cosA=45，

所以C=2π3?A,sinA=35，

所以sinC=sin(2π3?A)=32cosA+12sinA=32×45+12×35=3+4310；

(2)根據(jù)(1)可知，sinA=35,sinC=3+4310，

18.【答案】證明見解析．

(i)證明見解析．

(ii)棱PA上不存在點Q，使CQ⊥EF.理由見解析．

【解析】解：(1)證明：如圖，取PB中點M，連接MF，AM，

因為F為PC中點，

所以MF/?/BC，MF=12BC，

由已知有BC/?/AD，BC=AD．

又E為AD中點，

所以MF=AE，MF//AE，

所以四邊形AMFE為平行四邊形，

所以EF/?/AM，

又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，

所以EF/?/平面PAB．

(2)(i)證明：如圖，連接PE，BE，

因為PA=PD，BA=BD，

又E為AD中點，

所以PE⊥AD，BE⊥AD，

所以∠PEB為二面角P?AD?B的平面角，

在△PAD中，由AD=2，PA=PD=5，可解得PE=2，

在△ABD中，由AD=2，BA=BD=2，可解得BE=1，

在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60°，

由余弦定理，可解得cos∠PEB=PE2+EB2?PB22×PE×EB，

即cos60°=22+12?PB22×2×1，

所以PB=3，

從而∠PBE=90°，即BE⊥PB．

又BC/?/AD，BE⊥AD，

所以BE⊥BC，

所以BE⊥平面PBC，

又BE?平面ABCD，

所以平面PBC⊥平面ABCD．

(ii)棱PA上不存在點Q，使C