第06講解三角形中的最值、范圍問(wèn)題

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舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

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知識(shí)點(diǎn)01解三角形中的最值、范圍問(wèn)題

1、三角形面積和周長(zhǎng)的最值、范圍問(wèn)題

（1）求周長(zhǎng)：三角形周長(zhǎng)等于三邊和，但是有的時(shí)候需要轉(zhuǎn)化

周長(zhǎng)abc(ab)ca(bc)(ac)b

111

（2）面積公式：SABCabsinCbcsinAacsinB

222

abc1

SABC(abc)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r.）

4R2

（3）求周長(zhǎng)的模型：

a2b2c22bccosA

(bc)2a22bc2bccosA

222

(bc)b2bcc

（4）基本不等式

abab

①a,bRab②ab()2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”號(hào))

22

1

（5）利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為內(nèi)角A、B、C有關(guān)的三角函數(shù)。

①和差角公式：sin()sincoscossin，cos()coscossinsin

②輔助角公式：asinbcosa2b2sin()

bab

（其中sin，cos，tan）．

a2b2a2b2a

2、解題思路步驟

b2c2a2bc22bca2

①利用基本不等式：cosA，再利用bc2bc及bca，求出bc

2bc2bc

b2c2a22bca2

的取值范圍或者利用cosA

2bc2bc

②利用三角函數(shù)思想：bc2RsinB2RsinC2RsinB2RsinAB，結(jié)合輔助角公式及三角函

數(shù)求最值

【考點(diǎn)一：與面積有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題】

一、解答題

1．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，

acosAC2cbcosBC.

(1)求角A的大??；

(2)若a6，求VABC面積的最大值.

2．（2024·山西·一模）VABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，其面積為S，且4Sb2c2a2.

(1)求A；

(2)已知a22，求S的取值范圍.

3．（24-25高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）記銳角VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知

atanC

csinB.

1tanC

(1)求B；

(2)若b2，求VABC面積的取值范圍.

ABC

4．（24-25高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tantan4．

22

(1)求C；

2

(2)若a2，求VABC的面積S的取值范圍．

【考點(diǎn)二：與周長(zhǎng)有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題】

一、解答題

1．（24-25高一下·貴州黔南·期中）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量

m(sinAsinB,c),n(ab,sinCsinA)，且mn．

(1)判斷VABC的形狀；

(2)若b2，求VABC周長(zhǎng)的最大值．

2．（23-24高一下·浙江金華·階段練習(xí)）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且向量m(ac,b-a)，

向量n(ac,b),mn．

(1)求角C；

(2)若c3，求VABC周長(zhǎng)的取值范圍．

3．（24-25高一下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知：VABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．

b

sinAsinCsinBsinC．

ac

(1)求角A：

(2)若a3，求VABC周長(zhǎng)的取值范圍．

4．（24-25高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知

2a3ccosB3bcosC．

(1)求角B的大小；

(2)若a2，且VABC為銳角三角形，求VABC的周長(zhǎng)的取值范圍．

【考點(diǎn)三：與邊有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題】

一、解答題

1．（2024·上海寶山·一模）在VABC中，已知b2c2a2bc.

(1)若sinC2sinB，且b2，求VABC的面積；

(2)若bc1,求a的取值范圍.

2．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中sinB2sinA，

c2a1．

(1)若a3，求VABC的面積；

(2)若VABC為鈍角三角形，求a的取值范圍．

3

3．（23-24高一下·重慶·期末）在銳角VABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccosA(2ba)cosC．

(1)求C的值；

a

(2)求的取值范圍．

b

4．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB2，點(diǎn)M，N是邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，

π

滿足MAN，記BAM.

6

1

(1)若sin，求MN的長(zhǎng)；

2

(2)求MN的最小值.

π

5．（24-25高一下·重慶·階段練習(xí)）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2csinAab．

6

(1)求C的大??；

(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且AD6，求a2b的取值范圍．

6．（24-25高一下·浙江·階段練習(xí)）已知VABC是銳角三角形，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，且有

3cosBCsin2A0．若在線段BC上的點(diǎn)M滿足AM1且MB2MC．

(1)求角A的度數(shù)；

(2)求證：3c26b22a29；

(3)求a的取值范圍．

【考點(diǎn)四：與角有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題】

一、單選題

1．（24-25高一下·福建泉州·期中）在VABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若bc1，2b2c2a2，

則當(dāng)角B取最大值時(shí)，VABC的周長(zhǎng)為（）

A．22B．23C．3D．32

2．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若

tanA

b22csinBc2a2，且a2，則的最大值為（）

tanBtanC

4

5151

A．52B．35C．D．

24

二、填空題

3．（24-25高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，且滿足：

b2a2ac0，則角A的取值范圍是．

三、解答題

4．（24-25高一下·遼寧·期中）已知VABC為銳角三角形，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，VABC滿足：

cos2Bcos2CsinBsinC1cos2A

(1)求角A的取值范圍；

(2)當(dāng)角A取最大值時(shí)，若AB3，求VABC面積的取值范圍．

5．（24-25高一下·新疆克拉瑪依·期中）已知，在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有

2

bca223bc．

(1)求A；

(2)若VABC為銳角三角形，求B的取值范圍；

1

(3)在（2）的條件下，已知a，求3bc的取值范圍．

2

一、單選題

1．（24-25高一下·河南洛陽(yáng)·期中）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c22a22b2，

則當(dāng)tanAB最大時(shí)，C等于（）

πππ2π

A．B．C．D．

6323

1

2．（24-25高一下·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2b2c2，且

3

26

sinA[,]，則tanB的取值范圍為（）

23

1

A．[,2]B．[2,3]C．[1,2]D．[3,23]

2

二、填空題

3．（24-25高一下·重慶·階段練習(xí)）在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

5

sin2Bsin2AsinAsinC，則tanAtanB的取值范圍為.

4．（24-25高一下·浙江紹興·期中）銳角VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，

4a223accosB3a2b2c2，且a1，則VABC周長(zhǎng)的取值范圍為

三、解答題

5．（23-24高一下·山東煙臺(tái)·期中）請(qǐng)?jiān)冖傧蛄縳cosC,c2a，yb,cosB，且xy；

②a2b2sinAb2c2sinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線上并解答．

在VABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足_______．

(1)求B的大?。?/p>

(2)若b2，求VABC周長(zhǎng)的取值范圍；

(3)若AC邊上的高為1，求VABC面積的最小值．

6．（24-25高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知a，b，c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，

acosC3asinCbc0.

(1)求角A；

(2)若b2，求ac的取值范圍.

7．（24-25高一下·重慶·階段練習(xí)）在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c且

bsinBbsinCcosAasinCcosBasinAcsinB．

(1)求角A的大小；

(2)求2cosBcosC的取值范圍．

8．（2024高一下·福建·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，已知acosB+bcosA=2ccosC

(1)求角C

(2)若a22b28，求邊c的取值范圍.

2cacosA

9．（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在銳角VABC中，角A,