第07講解三角形中角平分線、中線、垂線條件的應(yīng)用

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)01中線條件

如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB,AC,及∠A，求中線AD長(zhǎng).

1

②向量法：AD=ABAC,平方即可；

2

③余弦定理：鄰補(bǔ)角余弦值為相反數(shù)，即cos∠ADBcos∠ADC0

BD

注：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“”則可以考慮方法②或方法③.

CD

1

知識(shí)點(diǎn)02角平分線條件

△ABC中，AD平分∠BAC.

D

①角平分線定理：

ACCD

SBDhABhD

證法1（等面積法）ABD=12，得

SACDCDh1ACh2ACCD

注：h1為A到BC的距離，h2為D到AB,AC的距離.

證法2（正弦定理）

DCCDD

如圖，，,而sin∠1sin∠2,sin∠3sin∠4，整理得

sin∠3sin∠1sin∠4sin∠2ACCD

②等面積法

11A1A

SSSABACsinAABADsinACADsin

ABCABDADC22222

知識(shí)點(diǎn)03垂線條件

①等面積法：ADBCABACsin∠BAC

②ADABsin∠ABD=ACsin∠ACD

③acCOSBbCOSC

2

【考點(diǎn)一：角平分線條件】

一、單選題

1．（24-25高一下·福建福州·期中）在VABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，A的角平分線AD交BC邊于

點(diǎn)D．若2bc2acosC，b2，c1，則BD（）

377

A．1B．C．D．

733

【答案】C

2π

【分析】根據(jù)2bc2acosC，利用正弦定理邊化角求得A，再利用SSS，可得到

3ABCABDACD

2

AD，利用余弦定理求得答案.

3

【詳解】因?yàn)?bc2acosC，

由正弦定理得2sinBsinC2sinAcosC，則2sinAcosC2sinCcosAsinC2sinAcosC，

所以2sinCcosAsinC0，

1

因?yàn)閟inC0，所以cosA

2

2π

且0Aπ，所以A．

3

π

由題意可知：BADCAD，

3

因?yàn)镾ABCSABDSACD，

111

則bcsinBACcADsinBADbADsinCAD，

222

1313132

即121AD2AD，可得AD．

2222223

2

2222π77

在△ABD中，BD12cos，BD.

33393

故選：C.

2．（23-24高一下·江蘇南京·期中）在斜VABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知

asinAbsinBcsinC3bsinBcosC，若CD是ACB的角平分線，且CDAC2，則cosACB（）

1725

A．B．C．D．

818318

【答案】B

3C5

【分析】根據(jù)正余弦定理可得2a3b，即可根據(jù)等面積法可得BDAD，利用余弦定理可得cos，

226

由二倍角公式即可求解.

3

【詳解】解：由正弦定理可得asinAbsinBcsinC3bsinBcosC得a2b2c23b2cosC，

由余弦定理可得a2b2c22abcosC，

π

由于C,所以cosC0，

2

2a3b，

由于CDAC2，所以b2,a3，

1

aCDsinBCD

Sa3BD3

由于BCD2，BDAD，

S1b2AD

ACDbCDsinACD2

2

CC

由余弦定理可得BD23222232cos1312cos，

22

CC

AD22222222cos88cos，

22

3

BDAD，4BD29AD2，

2

CCC5

5248cos7272cos，cos，

2226

2

2C57

cosACB2cos121，

2618

故選：B

二、解答題

3．（24-25高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

sin2Acos2Bcos2C2sinBsinC.

(1)求角A的大??；

(2)若a3，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，求線段AD長(zhǎng)度的最大值.

2π

【答案】(1)

3

1

(2)

2

2222

【分析】（1）由cosB1sinB,cosC1sinC得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理有

a2b2c2bc，由余弦定理即可求解

22bc

（2）由余弦定理得3bcbc，利用基本不等式得bc1，由SABCSABDSACD得AD，由均

bc

4

值不等式即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)閟in2Acos2Bcos2C2sinBsinC，

所以sin2A1sin2B1sin2C2sinBsinC，

即sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，

由正弦定理得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，

b2c2a21

由余弦定理得cosA，

2bc2

2π

又A0,π，所以A.

3

2π

（2）因?yàn)閍3，A，

3

所以由余弦定理得a2b2c22bccosA，

即3b2c2bc，

所以3b2c2bc2bcbc3bc，

即bc1（當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)，等號(hào)成立），

因?yàn)镾ABCSABDSACD，

12π1π1πbc

所以cbsincADsinbADsin，解得AD，

232323bc

因?yàn)閎c2bc（當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)，等號(hào)成立），

bcbc11

所以ADbc（當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)，等號(hào)成立），

bc2bc22

1

所以AD長(zhǎng)度的最大值為.

2

4．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）記VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且

sin2Asin2Bcos2CsinπAsinπB1.

(1)求C；

(2)若a1，b2，求VABC內(nèi)切圓的半徑；

(3)設(shè)D是邊AB上一點(diǎn)，CD為角平分線且BD3AD，求cosB的值.

2π

【答案】(1)

3

3321

(2)

2

713

(3)

26

【分析】（1）根據(jù)正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，再結(jié)合余弦定理，即可求解；

（2）首先根據(jù)余弦定理求邊c，再根據(jù)等面積轉(zhuǎn)化求內(nèi)切圓半徑；

5

S△BCD

（3）首先根據(jù)求得a3b，再根據(jù)正弦定理求角B的三角函數(shù)值.

S△ACD

222

【詳解】（1）因?yàn)閟inAsinBcosCsinπAsinπB1，

所以sin2Asin2BsinAsinB1cos2Csin2C.

a2b2c21

由正弦定理得a2b2c2ab，所以cosC，

2ab2

2π

因?yàn)?Cπ，所以C.

3

（2）由（1）知a2b2c2ab，代入數(shù)據(jù)得c7.

13

因?yàn)閂ABC的面積SabsinC，

22

2S33321

所以VABC內(nèi)切圓的半徑r.

abc372

（3）因?yàn)锽D3AD，CD是角平分線，即sinBCDsinACD，

11

BDhBCCDsinBCD

SBC

因?yàn)椤鰾CD232，

S11AC

△ACDADhACCDsinACD

22

所以a3b

ab

由正弦定理可知，

sinAsinB

3bb

所以πsinB，

sinB

3

整理可得7sinB3cosB.

522

又因?yàn)閟in2Bcos2B1，即cosB1，

49

49

∴cos2B

52

π

且∵0B∴cosB0

3

713

解得cosB.

26

5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知VABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足

3cbsinA3acosB．

(1)求角A的大??；

BC

(2)若D是邊BC上一點(diǎn)，且AD是角A的角平分線，求的最小值．

AD

6

2π

【答案】(1)A

3

(2)23

2π

【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到tanA3，求出A；

3

bc

22

（2）利用余弦定理得到BCbcbc，由三角形面積公式和S△ABDS△ACDS△ABC求出AD，表達(dá)

bc

BCb2c2bc

出ADbc，利用兩次基本不等式求出最值.

bc

【詳解】（1）由題意知VABC中，3cbsinA3acosB，

故3sinCsinBsinA3sinAcosB

即3sin(AB)sinBsinA3sinAcosB，

即3(sinAcosBcosAsinB)sinBsinA3sinAcosB，

所以3cosAsinBsinBsinA0，

而B(niǎo)0,π，故sinB0，

故3cosAsinA0，即tanA3，

2π

又A0,π，故A；

3

（2）由余弦定理：BCb2c22bccosAb2c2bc，

又S△ABDS△ACDS△ABC，

111bc

所以cADsin60bADsin60bcsin120，所以AD，

222bc

BCb2c2bc2bcbcbc2bc

3323

所以ADbcbcbcbc，

bcbc

BC

當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為23.

AD

6．（23-24高一下·吉林·期末）法國(guó)偉大的軍事家、政治家拿破侖一生鐘愛(ài)數(shù)學(xué)，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿

破侖定理：“以任意的三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心恰為另一

3

個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bsinAacosBc，以AB，

3

BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心分別為D，E，F(xiàn).

7

(1)求角A；

(2)若a3，且DEF的周長(zhǎng)為9，求ADABAFAC；

93

(3)若DEF的面積為，求VABC的角平分線AM的取值范圍.

4

π

【答案】(1)A；

3

(2)9；

33

(3)(0,].

2

【分析】（1）由已知，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦公式計(jì)算得解.

（2）則（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出b2c2，再利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.

3bc

（3）由（2）中信息，利用三角形面積公式求出AM，再求出bc的范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求出范

bc

圍.

33

【詳解】（1）在VABC中，由bsinAacosBc及正弦定理得sinBsinAsinAcosBsinC，

33

3

又sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，則sinBsinAcosAsinB，

3

又sinB0，于是即tanA3，又0Aπ，

π

所以A.

3

π

（2）由（1）知A，由正DEF的周長(zhǎng)為9，得DF3，

3

πππ2π3333

依題意，DAF,ADABc,AFACb，

63633333

在△ADF中，由余弦定理得DF2AD2AF22ADAFcosDAF，

c2b2cb2

則92cos，即b2c2bc27，

33333

在VABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，即b2c2bc9，聯(lián)立解得b2c218，

ππ|AB|2|AC|2c2b2

所以ADABAFAC|AD||AB|cos|AF||AC|cos9.

66222

8

93

（3）由正DEF的面積為，得DF3，

4

由（2）知b2c2bc27，即(bc)2bc27，

1π1π1π3bc

由SABCbcsincAMsinbAMsin，得AM，

232626bc

2

3[(bc)27]272

于是AM3(bc)，又(bc)bc2727，則bc33，

bcbc

2

2bc23(bc)

又(bc)bc27()27，即27，解得bc6，因此33bc6，

24

2727

令函數(shù)f(x)x(33x6)，而函數(shù)yx與y在(33,6)上均單調(diào)遞增，

xx

333

則函數(shù)f(x)在(33,6]上單調(diào)遞增，從而0f(33)f(x)f(6)，則0AM，

22

33

所以AM的取值范圍是(0,].

2

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形中線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本

不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

【考點(diǎn)二：中線條件】

一、單選題

1．（24-25高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．其中a7,b1,c3，

則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為（）

133

A．B．C．13D．3

22

【答案】A

1

【分析】根據(jù)題意可得ADABAC，進(jìn)而結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、余弦定理求解即可.

2

1

【詳解】由題意，ADABAC，

2

2122

則ADABAC2ABAC，

4

211

則ADc2b22cbcosAc2b2b2c2a2

44

1113

2c22b2a21827，

444

1313

則AD，即AD.

22

故選：A.

9

2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且a3,BC邊上中線AD長(zhǎng)

為1，則bc最大值為（）

77

A．B．C．3D．23

42

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角互補(bǔ)余弦值之和等于0，然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方程求

7

出b2c2，然后利用基本不等式求出最值即可.

2

【詳解】由題意得ADBADCπ，

所以cosADBcosADC0，

3

又a3，且D是BC的中點(diǎn)，所以DBDC，

2

72

222c

在△中，ADBDc，

ABDcosADB4

2ADBD3

72

222b

在△中，ADCDb，

ADCcosADC4

2ADCD3

77

b2c2

所以，

cosADCcosADB440

33

22722777

即bc，得2bcbcbc，當(dāng)且僅當(dāng)bc取等號(hào)，

2242

故選：A

3．（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若

casinAcsinCbsinB,b3，則AC邊上中線長(zhǎng)度的最大值為（）

32433342

A．B．C．D．

2323

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理角化邊得到a2c29ac，結(jié)合基本不等式得到a2c218，再由中線長(zhǎng)公式求解.

【詳解】casinAcsinCbsinB，由正弦定理可得caac2b2，

1

即a2c2b2ac，則cosB,B0,,B，

23

a2c2

又b3，所以a2c29ac，因?yàn)閍c，當(dāng)且僅當(dāng)ac3時(shí)等號(hào)成立，

2

a2c2

所以a2c29，則a2c218．

2

10

2

設(shè)AC邊上中線的長(zhǎng)度為h，則2ha2c22accos2a2c292733，

3

33

所以AC邊上中線長(zhǎng)度的最大值為．

2

故選：C

4．（23-24高一下·浙江·期中）在銳角VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若B60，b2，

則邊AC上中線BD的取值范圍為（）

2121

A．,3B．,3

33

C．1,3D．1,3

【答案】B

21

【分析】利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算，推導(dǎo)出BDa2c2ac，然后利用正弦定理與三角恒

4

2

等變換公式，將BD表示為角A的三角函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)算出BD的取值范圍．

1

【詳解】因?yàn)锽D是VABC邊AC上的中線，所以BD(BABC)，

2

222

1122π122

則BDBABC2BABCca2cacosacac，

4434

acb243

由正弦定理得，

sinAsinCsinBsin603

4343

可得asinA，csinC，

33

2

116216216422

所以BDsinAsinCsinAsinC(sinAsinCsinAsinC)，

43333

2

而223132312，

sinCsin(AB)cosAsinAcosAsinAcosAsinA

22424

31312

sinAsinCsinAsin(AB)sinAcosAsinAsinAcosAsinA，

2222

2

4232312312

所以BDsinAcosAsinAcosAsinAsinAcosAsinA

342422

4232234π5

sinA3sinAcosA1cos2Asin2A1sin2A，

3433363

2ππ

0CA

π32ππ

因?yàn)閂ABC為銳角三角形，B，則，即A，

3π62

0A

2

11

ππ5π1π

所以2A，所以sin2A1，

66626

π24π524π57

所以當(dāng)A時(shí)，BD取得最大值sin3，BD的最小值大于sin，

33233633

72121

所以BD的最大值為3，最小值大于，即BD的取值范圍為,3．

333

故選：B．

二、解答題

5．（24-25高一下·貴州六盤(pán)水·階段練習(xí)）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為

2223

a,b,c,sinAsinBsinCsinAsinBsinC.

3

3c2a2b2

(1)證明：sinC；

2ab

(2)求C；

7

(3)若c19，邊AB上的中線CD，求邊a,b的長(zhǎng).

2

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

2π

(2)

3

(3)a3,b2或a2,b3

【分析】（1）利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊即可得證；

（2）利用余弦定理即可求解；

（3）在ACD和△BCD中有CDBCDAπ，利用余弦定理即可求解.

23

【詳解】（1）證明：由正弦定理得：a2b2c2absinC，

3

3c2a2b2

即sinC.

2ab

12

a2b2c2

（2）因?yàn)閏osC，

2ab

3

即cosCsinC.

3

則tanC3，

因?yàn)镃0,π，

2π

所以C.

3

2π

（3）因?yàn)镃，由余弦定理知：a2b22abcosCa2b2ab19，

3

CDBCDAπ,cosCDBcosCDA0，

22

c22c22

CDbCDa

22

即0，

cc

2CD2CD

22

7

CD,a2b213，

2

故ab19136，

解得：a3,b2或a2,b3.

6．（2025·浙江嘉興·二模）在銳角VABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知

a2ccosA2bccosB．

a

(1)求；

b

10

(2)若c2，AD2DB，CD，求VABC的面積．

3

1

【答案】(1)

2

15

(2)

4

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出sinB2sinA，結(jié)合正弦定理可求得結(jié)果；

（2）由平面向量的減法可得出3CD2CBCA，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合與余弦定理可得出關(guān)

于a、cosC的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出sinC的值，然后利用三角形的面積公式可求得VABC的

面積.

【詳解】（1）由a2ccosA2bccosB及正弦定理可得sinA2sinCcosA2sinBsinCcosB，

即sinBC2cosAsinC2sinACcosBsinC，

即sinBcosCcosBsinC2cosAsinC2sinAcosC2cosAsinCcosBsinC，

即sinBcosC2sinAcosC，

13

a1

因?yàn)镃為銳角，故cosC0，可得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，故.

b2

（2）因?yàn)锳D2DB，則CDCA2CBCD，故3CD2CBCA，

2222

所以9CD2CBCA4CBCA4CBCA，

即4a2b24abcosC8a28a2cosC10，即4a24a2cosC5①，

由余弦定理可得c2a2b22abccosC，即5a24a2cosC4②，

115

聯(lián)立①②可得a1，cosC，故sinC1cos2C，

44

1215

因此，S△absinCasinC.

ABC24

【考點(diǎn)三：垂線條件】

一、單選題

1．（23-24高一下·浙江·期中）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊BC上的中線、高線、

角平分線長(zhǎng)分別是ma，ha，la，則下列結(jié)論中錯(cuò)．誤．的是（）

A

12222bccos

A．ma2bcaB．2

2la

bc

2

(bc)2a2a2(bc)22a2b2c2a2b2c4

C．D．

haS

2a△ABC4

【答案】D

【分析】A中，由正弦定理可得中線ma的表達(dá)式，判斷出A的真假；B中，由三角形等面積法求出角平分

線la的表達(dá)式，判斷出B的真假；C中，由三角形等面積法求出高h(yuǎn)a的表達(dá)式，判斷出C的真假；D中，

由C選項(xiàng)的分析，可得三角形的面積的表達(dá)式，判斷出D的真假．

2

【詳解】A：設(shè)AD為BC的中線，由2ADABAC4ADc2b22bccosA可得,可得

222

22bca

222

bc2bc2(cb)a，

AD2bc

42

2(c2b2)a2

即m，所以A正確；

a2

B中，設(shè)A2，設(shè)AF為A的角平分線，所以BAFCAF，

111

由三角形等面積法可得ACABsin2ACAFsinABAFsin，

222

可得bc2sincosAF(bc)sin，

AA

2bccos2bccos

所以2bccos，即，所以正確；

AF2l2B

bcbcabc

14

11

設(shè)AE為BC邊上的高，由等面積法可得bcsinAaAE，

22

bcsinAb2c2a2

所以AE，因?yàn)閟inA1cos2A，由余弦定理可得cosA，

a2bc

(b2c2a2)2(2bcb2c2a2)(2bcb2c2a2)

所以1cos2A1，

(2bc)2(2bc)2

12222

2222

所以bc[(bc)a][a(bc)][(bc)a][a(bc)]，

AE2bc

a2a

[(bc)2a2][a2(bc)2]

即h，所以C正確；

a2a

1[(bc)2a2][a2(bc)2]

D中，由C可得Sah，所以D不正確．

ABC2a4

故選：D．

二、填空題

2．（24-25高一下·山東泰安·階段練習(xí)）在VABC中，ABC120，BA2，BC1，BD為VABC的一

條高線，則BD．

【答案】21

7

11

【分析】先利用余弦定理求出AC，再根據(jù)SBABCsinABCBDAC即可得解.

ABC22

【詳解】在VABC中，由余弦定理得AC2212221cos1207，

11

因?yàn)镾BABCsinABCBDAC，

ABC22

3

21

所以BABCsinABC21

BD2.

AC7