PAGE1素養(yǎng)拓展03直線與圓中的距離最值（范圍）問題知識點01：常用距離公式1、點到點的距離公式：平面內(nèi)兩點，間的距離公式為：．2、點到直線的距離公式：點到直線的距離．3、直線到直線的距離公式：兩條平行直線，，它們之間的距離為：．知識點02：三點共線最值問題1、點A、B在直線l同側(cè)，點P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點A、P、B'共線時取到)，點B'是點B關(guān)于直線2、點A、B在直線l同側(cè)，點P在直線l上，則|AP?BP|max=AB(當(dāng)點3、點A、B在直線l異側(cè)，點P在直線l上，則|AP?BP|max=AB'(當(dāng)點A、P、B共線時取到)，點B'是點B關(guān)于直線 知識點03：點與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問題1、若點M在圓內(nèi)，則MNmin=M2、若點M在圓外，則MNmin=M3、圓上一點到圓外一定直線的距離最值若直線l與圓⊙O相離，圓上一點P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，r為圓半徑，則PEmin=P知識點04：代數(shù)式的幾何意義最值（范圍）問題1、形如，可以轉(zhuǎn)化為過點和點的動直線斜率；2、形如，可以轉(zhuǎn)化為點和點的距離的平方；3、形如，可以轉(zhuǎn)化為動直線縱截距知識點05：直線與圓的位置關(guān)系最值（范圍）問題設(shè)點M是圓C內(nèi)一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點的直徑垂垂直的弦弦長為【題型01：點到直線的距離】一、單選題1．（24-25高二下·浙江·月考）若為圓內(nèi)的一個動點，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根兩點之間線段最短可得線段和的最小值.【詳解】由題意知為圓的直徑，根據(jù)兩點之間線段最短，的最小值為4故選:D.2．（2025·北京·三模）經(jīng)過點，半徑為2的圓的圓心為A，則點A到直線的距離最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先確定圓心的軌跡方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離最大值.【詳解】已知圓經(jīng)過點，半徑為，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓心到點的距離為，即，化簡可得，所以圓心的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓.可得原點到直線的距離為：，所以點到直線的距離最大值為原點到直線的距離加上圓的半徑，即.故選：B.二、填空題3．（24-25高二上·陜西寶雞·期末）已知點M，N在直線上運動，且，點P在圓上，則的面積的最大值為．【答案】15【分析】設(shè)圓心C到直線的距離為d，P到直線l的距離為，當(dāng)最大時，則，最后由三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓心C到直線的距離為d，P到直線l的距離為，又圓心坐標(biāo)為，所以，又半徑為，則當(dāng)最大時，，此時的面積也最大，最大值為．故答案為：15.4．（24-25高二下·云南西雙版納·期中）已知點M，N為圓上兩點，且，點P在直線上，點Q為線段中點，則的最小值為【答案】2【分析】根據(jù)題意可得Q在以為圓心，1為半徑的圓上，求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值即可.【詳解】由題意，圓可化為,∴圓C是以為圓心，半徑的圓，∵，點Q為線段中點，∴，即Q在以為圓心，1為半徑的圓上，∴求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，∵圓心到直線距離，∴，∴，故答案為：2.5．（23-24高二上·重慶·期中）已知在直線上，則的最小值為．【答案】3【分析】根據(jù)，即表示直線上的點到原點距離，由點到直線的距離公式計算，即可得結(jié)果.【詳解】因為表示點到原點的距離，而點在直線上，所以的最小值即為原點到直線的距離，.所以的最小值為3.故答案為：.6．（24-25高二下·上海·期中）已知為圓上一動點，則的最大值為．【答案】8【分析】設(shè)，由題意直線與圓有公共點，通過圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可以求解.【詳解】設(shè)，則在直線上，又因為在圓上，所以直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，解得.所以的最大值為.故答案為：.【題型02：兩點間的距離】一、單選題1．（24-25高二上·四川綿陽·期末），函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)距離公式，利用的幾何意義求最小值.【詳解】表示的幾何意義為平面內(nèi)的點到定點的距離，表示的幾何意義為平面內(nèi)的點到定直線的距離，所以表示的幾何意義是動點到定點和到定直線的距離和，如圖，過點作直線的垂線，垂足為點，當(dāng)點在線段時，最小，最小值為.故選：C二、填空題2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若實數(shù)滿足，則的最大值是．【答案】/【分析】利用兩點間距離幾何意義求解最值.【詳解】設(shè)點，由實數(shù)滿足可得：點在以原點為圓心，以為半徑的圓上，設(shè)點，則的幾何意義為動點到定點的距離，由，則點在圓外，結(jié)合圖形可知，.的最大值是.故答案為：.

3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）直線：與直線：交于點Q，m是實數(shù)，O為坐標(biāo)原點，則的最大值是．【答案】【分析】利用兩點間距離公式求出，再分析得到最值即可.【詳解】因為：與直線：的交點坐標(biāo)為，所以，若最大，則最小，則最小，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時，所以的最大值是．故答案為：4．（24-25高二上·河北石家莊·期末）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】利用平面上兩點間線段最短和兩點間距離公式的幾何意義即可求解.【詳解】.記點、點、點和點，因為，，所以的幾何意義為：表示正方形內(nèi)的點到點、點、點和點四點的距離之和.因為的幾何意義為：正方形內(nèi)的點到點和點的距離之和.所以當(dāng)點在線段（不包含點和點）上時，點到點和點的距離之和最小，即取得最小值，為.因為的幾何意義為：正方形內(nèi)的點到點和點的距離之和.所以當(dāng)點在線段（不包含點和點）上時，點到點和點的距離之和最小，即取得最小值，為.綜上可得：當(dāng)點是線段與的交點時，和同時取得最小值，均為.所以的最小值為.故答案為：.【題型03：平行線間的距離】一、單選題1．（24-25高二上·江蘇徐州·月考）已知分別是直線與上的動點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得的最小值即為兩平行直線與的距離，代公式計算可得．【詳解】，直線與平行，的最小值，即為兩平行直線與的距離，化直線方程為，由平行線間的距離公式可得故選：B．2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，兩點的坐標(biāo)分別為，，若兩平行直線，分別過點A，B，則，間的距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上的點到平行線之間的距離，可結(jié)合圖形分析，間的距離的最大值為，即可求得.【詳解】解：由題可知，，如圖，兩平行直線，分別過點A，B，因為，所以，間的距離即點到直線的距離，由圖可知，當(dāng)，垂直時，，間的距離取最大值，即最大值為，又由兩點間的距離公式可知，.故選：D．3．（24-25高二下·上?！ぴ驴迹┮阎獙崝?shù)滿足，，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩平行直線距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，是直線上的點，是直線上的點，則兩直線平行，的最小值是平行直線之間的距離的平方，可得最小值為.故選：D二、填空題4．（23-24高二上·云南臨滄·月考）設(shè)，已知直線，過點作直線，且，則直線與之間距離的最大值是.【答案】5【分析】求出直線恒過點，從而得到兩平行線的最大距離為點與點的距離，得到答案.【詳解】由于直線，整理得：，故，解得，即直線恒過點，則過點作直線，且，則最大距離為點與點的距離，即.故答案為：5三、解答題5．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩條平行直線與分別過點與點，、之間的距離為，求的最大值，并指出此時、的方程．【答案】的最大值為，此時，.【分析】由兩直線平行且過定點，可知，根據(jù)取等時直線、與直線的位置關(guān)系可得直線方程.【詳解】因為兩條平行直線與分別過點與點，所以兩平行線間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)直線、均與直線垂直時等號成立，此時，所以，所以，也即；，也即.【題型04：三點共線最值（含將軍飲馬問題）】一、單選題1．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關(guān)于直線的對稱點為，則最短路程為.根據(jù)點關(guān)于直線的對稱問題，列方程組，可求得，再應(yīng)用兩點間的距離公式求即可.【詳解】如圖，作點關(guān)于直線的對稱點為，

則，解得，所以.則“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：C.2．（24-25高二上·黑龍江大慶·月考）已知點，直線，在直線上找一點使得最小，則這個最小值為（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】利用對稱求關(guān)于直線對稱點為，結(jié)合將軍飲馬模型求最小值.【詳解】令關(guān)于直線對稱點為，則，可得，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，故最小值為10.故選：D3．（24-25高二上·河南·月考）已知，，點是直線上的一點，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點關(guān)于直線的對稱點，則為直線與直線的交點時，滿足條件，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則中點在直線上，即①，直線與直線垂直，即②，解得，即點關(guān)于直線的對稱點為，又，所以，所以直線的方程為，即，由，解得，，所以當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為．故選：B．4．（24-25高二下·上海寶山·期中）已知圓，圓分別是圓、上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】作出圓關(guān)于軸對稱的圓，利用對稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及兩點間線段最短求出最小值.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，作圓關(guān)于軸對稱的圓，其圓心因此，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與軸的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C5．（2025·遼寧·三模）函數(shù)（）的最小值（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】當(dāng)時，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線上點P到直線的距離與到點的距離之和，作出圖象，結(jié)合圖象及點到線的距離公式求解即可.【詳解】當(dāng)時，，可視為與兩點間的距離，則P是直線上的動點，，可視為點到直線的距離，設(shè)與y軸交于點，過點P作，垂足為B，畫出示意圖如下：則待求為的最小值，當(dāng)三點共線，且時，點A到直線的距離為所求的最小值，此時，.故選：B.6．（24-25高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知動點在直線上，點是坐標(biāo)原點，點是圓上的動點，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】求出點C關(guān)于直線的對稱點，把的最大值轉(zhuǎn)化為點到圓心距離加半徑，再求出到兩個定點距離差的最大值即可作答.【詳解】點在直線上，圓的圓心，半徑，而點在圓上，則，因此，令點關(guān)于直線對稱點，，則有，解得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點共線，且點在線段上時取等號，直線方程為，由，解得，即直線與直線交于點，所以當(dāng)點與重合時，，.故選：C【題型05：點與圓的位置關(guān)系中的】一、單選題1．（24-25高二下·浙江·月考）若為圓內(nèi)的一個動點，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根兩點之間線段最短可得線段和的最小值.【詳解】由題意知為圓的直徑，根據(jù)兩點之間線段最短，的最小值為4故選:D.2．（24-25高二下·貴州遵義·期中）已知點滿足，點，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析出點的運動軌跡，判斷線段最大值時點所在位置，求出長度.【詳解】因為，變形得，所以軌跡是以為圓心，以為半徑的圓的上半部分，如圖所示，則當(dāng)與點重合時線段長度最大，可知當(dāng)與點重合時，,在中根據(jù)勾股定理可知.故選：C.3．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，若點為圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)為圓上任意一點，利用向量的坐標(biāo)運算得，進(jìn)而利用的幾何意義可求得的最大值.【詳解】設(shè)為圓上任意一點，因為，，所以，，所以，所以，表示點到點的距離，又的圓心到點的距離為，又圓的半徑為，所以到點的距離的最大值為，所以的最大值為.故選：D.二、填空題4．（23-24高二上·廣東東莞·月考）已知與圓上的動點，則兩點間距離的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)點點距離即可求解.到圓心的距離,進(jìn)而結(jié)合圓的半徑即可求解.【詳解】由于點在圓外，所以到圓心的距離為，而圓的半徑為，所以，故,故答案為：5．（24-25高二下·浙江·期中）已知圓，點，為圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】作出點關(guān)于軸的對稱點為，由圓的幾何性質(zhì)可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：點關(guān)于軸的對稱點為，圓的圓心為，半徑為，由于為軸上的動點，由對稱性知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、分別為線段與圓、軸的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.【題型06：直線（圓）與圓的位置關(guān)系中的】一、單選題1．（24-25高二下·四川南充·月考）記表示點到曲線上任意一點距離的最小值．已知圓，圓，若點為圓上的一點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．8 D．3【答案】A【分析】由圓心距與半徑的關(guān)系可得兩圓相離，再由題意與圓的相關(guān)知識即可求得.【詳解】由圓，得圓心，半徑，由圓，得圓心，半徑，因為，所以兩圓外離，因為點為圓上的動點，所以，所以的最大值為.故選：A.2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直線（其中為常數(shù)），圓，則直線被圓截得的弦長最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定直線經(jīng)過定點已經(jīng)圓的圓心與半徑，根據(jù)圓的弦長公式與直線與圓相交的性質(zhì)，算出直線被圓截得的最短弦長，即可得得答案．【詳解】直線，整理可得，令，解得，故直線過定點，又圓，則圓心，半徑圓，根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線與垂直時，直線被圓截得的弦長最短，結(jié)合，可得直線被圓截得的最短弦長等于.故選：C.3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圓，直線，若直線被圓截得的弦長的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線過定點，再根據(jù)點在圓內(nèi)結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出最長弦長和最短弦長即可得解.【詳解】由題意直線可化為，則直線過定點，點代入圓可得，所以點在圓內(nèi)，又圓半徑，圓心，所以當(dāng)時，直線被圓截得弦長最短，即，當(dāng)過圓心時，直線被圓截得弦長最長，即，所以，故選：A4．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知點，為圓上兩點，，點為線段的中點，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】先根據(jù)垂徑定理得出，即可得出點的軌跡為圓，則問題轉(zhuǎn)化為求圓上的動點到定直線的距離的最小值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，因為點為線段的中點，，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選：A

二、填空題5．（24-25高二上·陜西寶雞·期末）已知點M，N在直線上運動，且，點P在圓上，則的面積的最大值為．【答案】15【分析】設(shè)圓心C到直線的距離為d，P到直線l的距離為，當(dāng)最大時，則，最后由三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓心C到直線的距離為d，P到直線l的距離為，又圓心坐標(biāo)為，所以，又半徑為，則當(dāng)最大時，，此時的面積也最大，最大值為．故答案為：15.6．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知圓：，直線上點，過點作圓的兩條切線，（其中，為切點），則四邊形面積的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)勾股定理可得，即可根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】四邊形的面積,當(dāng)與直線垂直時，此時取最小值，故最小值為，又半徑，所以，則四邊形面積的最小值為.故答案為：7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）過動點作圓的切線，點為切點，若（為坐標(biāo)原點），則的最小值是.【答案】【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)推出在直線上，繼而將的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，圓的圓心為，則.為圓的切線，則有，又由，則有，即，變形可得：，即在直線上，則的最小值即為點到直線的距離，且，即的最小值是；故答案為：.8．（24-25高二上·江蘇鹽城·月考）已知圓，從點向圓作兩條切線，切點分別為，，若，則點的軌跡方程為；點到直線的最大距離為．【答案】【分析】在中，求得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求解方程即可，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求得到直線的最大距離.【詳解】

從點向圓作兩條切線，且，所以在中，，，所以，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故的軌跡方程為：，因為點到直線的距離為，所以點到直線的最大距離為.故答案為：；【題型07：代數(shù)式的幾何意義】一、填空題1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）若實數(shù)滿足方程，則代數(shù)式的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)化可得，構(gòu)造向量，結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)，則，①方程，可化為.故可將①式寫成.構(gòu)造向量，則，，由，得，解得，故所求的取值范圍是.故答案為：.2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知x和y滿足，則的最大值為，最小值為.【答案】【分析】由題意知表示圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方，先求出原點到圓心的距離為，圓上的點到坐標(biāo)原點的最大、小距離為，求解即可.【詳解】的圓心為，，由題意知表示圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點與坐標(biāo)原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值.原點到圓心的距離為，故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為，最小距離為，因此的最大值和最小值分別為和.故答案為：；.二、解答題3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足，且．(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意畫出圖形，再由的幾何意義為線段上的點與定點連線的斜率，即可求出的取值范圍；（2）由題意畫出圖形，再由的幾何意義為線段上的點與定點連線的斜率，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）如圖，由于點滿足關(guān)系式，且，所以點在線段上移動，且兩點的坐標(biāo)分別為，．由于的幾何意義是直線的斜率，且，，所以的取值范圍是．（2）因為的幾何意義是過，兩點的直線的斜率，由題意可知點在線段上移動，且兩點的坐標(biāo)分別為，．則，，所以．所以的取值范圍為．4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.【答案】(1)最大值為－2＋，最小值為－2－(2)最大值為－1，最小值為－－1(3)最大值為＋1，最小值為－1【分析】（1）可視為點(x，y)與原點連線的斜率，設(shè)過原點的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，分析即得解；（2）設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距，求解即可；（3）＝，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(－1，2)的距離與半徑的和或差.【詳解】（1）可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.設(shè)過原點的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－∴的最大值為－2＋，最小值為－2－.（2）設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1.（3）＝，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(－1，2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(－1，2)的距離為，∴的最大值為＋1，最小值為－1.一、單選題1．（24-25高二上·四川綿陽·月考）若點在直線：上，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．3【答案】A【分析】根據(jù)表達(dá)式特征求出點到直線的距離即可.【詳解】易知代表點與點之間的距離，因此當(dāng)兩點連線與直線垂直時，取得最小值，其最小值為點到直線的距離.故選：A2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知點A，B在直線上運動，且，點C在圓上，則面積的最大值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】求出圓心到直線l的距離，進(jìn)而得到點C到直線l的最大距離，得到三角形面積最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線l的距離為，則點C到直線l的最大距離為，則面積的最大值為故選：A3．（23-24高二下·甘肅·期末）已知圓的方程為，設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A．32 B． C．16 D．【答案】D【分析】分析可知，計算出，即可求得四邊形的面積.【詳解】由，則圓心坐標(biāo)是，半徑是3．因為圓心到點的距離為，所以點在圓內(nèi)，最長弦為圓的直徑，由垂徑定理，得最短弦和最長弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長為，最長弦即直徑，所以四邊形的面積為．故選：D4．（24-25高二下·江西贛州·月考）已知點，若點滿足，則點到直線的距離的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】先根據(jù)可得點的軌跡方程為，又直線過定點，故最大距離為圓心到定點的距離與半徑的和，進(jìn)而可得.【詳解】令，由，可得，可得點的軌跡方程為，其中圓心，半徑為2.而直線過定點，故距離的最大值為.故選：D5．（24-25高二上·山西大同·期中）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為兩平行線間距離的平方，利用平行線間距離公式可得結(jié)果.【詳解】由題意得，點在直線上，點在直線上，所以的最小值為兩平行線間距離的平方，即.故選：D.6．（24-25高二上·陜西·期中）已知點在直線：上運動，點，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】可以驗證點與點關(guān)于直線對稱，從而，結(jié)合三角不等式即可得解.【詳解】設(shè)，注意到點，，所以中點為，滿足，且，所以點關(guān)于直線對稱，從而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，所以的最大值為.故選：A.7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圓，圓，點為軸上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)，作圓心關(guān)于軸的對稱點，由對稱性可知，，可得出，利用當(dāng)、、三點共線時，取最小值，求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：作圓心關(guān)于軸的對稱點，由對稱性可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取最小值.故選：B.8．（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將實數(shù)滿足的方程理解為動點的軌跡方程，即圓的方程，把看成圓上點與點連線的斜率，考慮直線與圓相切情況，結(jié)合圖形即得結(jié)論.【詳解】由配方得，可得點的軌跡是圓心在,半徑為1的圓，而可看成圓上點與點連線的斜率,如圖，由圖可知過點A與圓相切的直線斜率一定存在，設(shè)過點的圓的切線方程為：，由圓心到切線的距離為，解得，依題意，需使或，即得的取值范圍是.故選：B.9．（24-25高二上·江蘇南通·月考）已知，是直線上兩動點，且，點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】依題意，設(shè)點，推得點，利用兩點間距離公式計算，利用距離公式表示的幾何意義將其轉(zhuǎn)化成兩定點與一條定直線上的點的距離之和最小問題解決.【詳解】不妨設(shè)點在點的左邊，因直線的傾斜角為，且，則點的坐標(biāo)為，則，記，則可將理解為點到的距離之和，即點到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.如圖，作出點關(guān)于直線的對稱點,則，連接，交直線于點,則即的最小值，且,故的最小值為.故選：A.10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圓，圓，點在圓上，點在圓上，點在軸上，則的最大值為（

）A． B． C． D．9【答案】D【分析】結(jié)合圖形，先得到，作圓關(guān)于軸的對稱圓，則得，則，即當(dāng)三點共線時，取得最大值.【詳解】如圖，由圓，圓可得，兩圓半徑依次為，因點是軸上一點，點分別是圓和圓上一點，則，如圖作圓關(guān)于軸的對稱圓，其圓心為，半徑為，由圖知，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，即的最大值為9.故選：D.11．（23-24高二下·湖南長沙·期末）已知，且，則的最大值為（

）A．9 B．12 C．36 D．48【答案】C【分析】設(shè)與，為的中點，可證明點在以為圓心，2為半徑的圓上，由，結(jié)合兩點距離的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)與為圓上一點，則，得，，即為等腰直角三角形，設(shè)為的中點，則，得，即點在以為圓心，2為半徑的圓上，故，因為點到定點D的距離的最大值為，因此的最大值為36.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是將原問題化為，根據(jù)兩點距離的幾何意義求解即可.12．（23-24高二上·四川南充·期末）設(shè)，其中.則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為動點到定點距離的和，再利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：設(shè)，則表示：，，則直線的方程為，令，則，所以直線與軸相交于點，所以，所以，當(dāng)點P為時，等號成立，故的最小值為9.故選：B.

二、多選題13．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知點，且點在圓上，為圓心，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)最大時，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何位置關(guān)系，結(jié)合兩點之間距離公式即可判斷A；當(dāng)與圓相切時，最大，進(jìn)而求得，即可判斷B；當(dāng)，，三點共線，且在，之間時，最大，即可判斷C；當(dāng)為射線與圓的交點時，取得最大值，即可判斷D．【詳解】因為，所以點在圓外，點在圓內(nèi)，如圖所示，對于A，當(dāng)為線段與圓的交點時，即，此時取得最小值為，故A正確；對于B，由題知，點在圓內(nèi)，當(dāng)與圓相切時，最大，此時與重合，此時，故B錯誤；對于C，因為點在圓上，為圓心，則，所以當(dāng)最大時，也最大，當(dāng)，，三點共線，且在，之間時，其最大值為，故C正確；對于D，當(dāng)為射線與圓的交點時，取得最大值，故D正確．故選：ACD．

14．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）若P，Q分別為上的動點，且滿足：∥，則下面正確的有（）A． B．C．當(dāng)c確定時，有最小值，沒有最大值 D．當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，【答案】ABC【分析】由∥可得，，即可判斷A，B選項；因為的最小值為，之間的距離，由兩平行線間的距離可得，所以得，進(jìn)而可判斷C，D.【詳解】解：因為∥，所以，，所以,，故A，B正確；的最小值為，之間的距離，又因為∥，所以，之間的距離，所以當(dāng)c確定時，有最小值為，沒有最大值，故C正確；當(dāng)時，則有或，故D錯誤.故選：ABC.15．已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法不正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】CD【分析】設(shè)，則只需直線與圓有公共點，利用點到直線的距離公式可得不等式求得z的范圍，可判斷A；同理可判斷D；設(shè)，利用幾何意義求得t的范圍判斷B；設(shè)，則直線和圓有公共點，進(jìn)而可得不等式求得k的范圍判斷C.【詳解】由題意知方程即表示圓，圓心為，半徑為，對于A，設(shè)，則只需直線與圓有公共點，則，解得，

即的最大值為，A正確；對于B，設(shè)，其幾何意義為圓上的點到原點的距離，而上的點到原點距離的最大值為，即t的最大值為，故的最大值為，B正確；對于C，設(shè)，則，則直線和圓有公共點，則，解得，即的最大值為，C錯誤；對于D，設(shè)，則直線與圓有公共點，則，解得，即的最大值為，D錯誤；故選：CD三、填空題1