專題02空間向量的數(shù)量積運算

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：6大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點01：空間兩個向量的夾角

1、定義：如圖已知兩個非零向量a,b，在空間任取一點O，作OAa，OBb，則么AOB叫做向量a,b

的夾角，記a,b.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）

rr

2、范圍：a,b0,．

特別地，（1）如果a,b，那么向量a,b互相垂直，記作ab．

2

(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故a,b0(或

a,b)a//b(a,b為非零向量)．

(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0a．兩非零向量的夾角是

唯一確定的．

3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）

若兩個向量a,b所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，

(1)向量夾角的范圍是0<<a,b><，異面直線的夾角的范圍是0<<，

2

(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，a,b；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為

2

鈍角時，a,b.

1

知識點02：空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cosa,b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab；即

ab|a||b|cosa,b．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;

2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)利用公式|a|aa可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;

ab

(2)利用公式cosa,b可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;

|a||b|

3、向量a的投影

（1）如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面

b

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c|a|cosa,b向量c稱為向量a

|b|

在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．

（2）如圖(3)，向量a向平面投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面的垂線，垂足分別為A，

B，得到AB，向量AB稱為向量a在平面上的投影向量．這時，向量a，AB的夾角就是向量a所

在直線與平面所成的角．

4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量a，b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上的投影

|b|cosa,b的乘積或等于b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cosa,b的乘積.

5、數(shù)量積的運算：

（1）(a)b(ab)，R.

（2）abba(交換律)．

（3）a(bc)abac(分配律).

知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a，b是非零向量，e是單位向量，則

2

①aeeaacosa,e；②abab0；

2ab

③aaa或aaa；④cosa,b；⑤abab

ab

一、單選題

1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則(ABAD)ADAA1（）

A．1B．0C．1D．2

2．（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，

uuuruuur

M為棱BC的中點，則DBgAM的值為（）

A．1B．1C．2D．2

3．（24-25高二上·四川宜賓·期末）如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，

ABADAA11,A1ABA1ADBAD60，則BD1AC的值為（）

3

A．1B．2C．3D．1

4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）在正三棱錐PABC中，O是VABC的中心，PAAB2，則PO(PAPB)

等于（）

10268216

A．B．C．D．

9333

5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱長為2的正四面體ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)是CD上一

點，則AEAF（）

1

A．B．C．2D．4

21

6．（24-25高二下·江蘇鹽城·期中）已知正四棱錐PABCD的所有棱長均為1，O為底面ABCD內(nèi)一點，

11

且POPAPBPCR，則POPB（）

32

5734

A．B．C．D．

121243

一、單選題

π

1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知空間向量a，b的夾角為，且a2，b1，則a2b與b的夾

3

角是（）

π5ππ3π

A．B．C．D．

6644

2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA12，BC2AE2，

則向量與的夾角是（）

AEA1C

4

A．30°B．45°

C．60°D．90°

3．（24-25高二上·廣東·期中）已知空間向量a,b,c滿足a2b7c0,abc1，則a與b的夾角為

（）

A．30oB．150C．60oD．120

4．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，在平行六面體ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，

AA2AB，M是CD中點，AABAAD120，則直線AC與BM所成角的正弦值為（）

9515321

A．B．C．1D．

10514

5．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，

π1

PA3,ABCBAP，且cosPAD，則cosPBC（）

36

27273737

A．B．C．D．

771414

一、單選題

1．（23-24高二上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則abc（）

A．3B．6C．3D．6

2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，且

A1ADA1AB60，AA13，則線段AC1的長為（）

A．5B．27C．29D．30

5

4

3．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知a，b，c均為單位向量，且ab.若ac，則bc（）

5

7334

A．B．C．D．

4545

4．（24-25高二上·河南信陽·期末）如圖，在三棱錐ABCD中，

ABACAD2,BAC90,BADCAD60,M,N分別為BC,AD的中點，則|MN|（）

A．22B．2C．2D．1

5．（24-25高二上·四川成都·期末）如圖，二面角l的棱上有兩個點A,B，線段AC與BD分別在這

π

個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若AB1，AC2，BD3，二面角l的平面角為，則

3

CD（）

A．2B．22C．23D．25

一、單選題

2π

1．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知a4，空間向量e為單位向量，a,e，則空間向量a在

3

向量e方向上的投影向量的模長為（）

11

A．2B．2C．D．

22

rrr

2．（24-25高二下·全國·隨堂練習(xí)）在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下，已知向量ai2j3k，b2i3k，則向量

mab在i上的投影數(shù)量為（）

A．3B．2C．6D．4

3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，ABDBDC90,AC2BD，則BD在AC

上的投影向量為（）

6

1111

A．ACB．ACC．BDD．BD

2424

4．（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在八面體ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底面ABC，

且AEBEAFCF，則下列向量中與向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是（）

111

A．ABB．ACC．BCD．BCAC

222

二、填空題

5．（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，向量AB在向量A1C1上的

投影向量是，向量AB在平面BDD1B1上的投影向量是．

6．（23-24高二下·浙江寧波·期末）平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常

會用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點、直線、平面等基本元素，經(jīng)

過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐PABCD中，

已知ABCD是平行四邊形，ABC120,AB2,BC3，且PA面ABCD，則向量PC在向量BD方向上

的投影向量是(結(jié)果用BD表示).

一、單選題

1．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知空間向量a,b滿足|a|2,|b|1,a(a2b)，則向量a,b的夾角為（）

ππ2π3π

A．B．C．D．

3434

7

π

2．（23-24高二上·河北石家莊·期中）三棱錐OABC中，AOBBOCAOC,OA2OB2，若

3

CBOA，則OC（）

A．1B．2C．2D．3

3．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均為單位向量，a,bb,c90，a,c60，則abc

（）

A．4B．2C．2D．3

π

4．（2025高二·全國·專題練習(xí)）在三棱錐PABC中，PAPB2，PC3，APB，PABC，則

4

cosAPC（）

6321

A．B．C．D．

3333

5．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）在正四棱錐PABCD中，PAAB，M為PA的中點，BDBN.

若MNAD，則（）

A．2B．3C．4D．5

一、單選題

1

1．（24-25高二上·海南·期中）已知a,b,c是空間中的三個單位向量，若ab，則acbc的最

8

大值為（）

7513

A．B．C．D．

8828

，，

2．（24-25高二下·浙江·開學(xué)考試）已知PQR是長方體ABCDA1B1C1D1表面上任意三點，且

，，

AB6AD4AA12，則PQPR的最小值為（）

8

A．-14B．13C．-10D．-5

1

3．（2025·安徽安慶·模擬預(yù)測）在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AMAC，且AC33，N是棱AA1上的

3

一點，且滿足NMNC10，則AA1的最小值為（）

A．33B．6C．3D．63

4．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）記棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球為球O,EF是球O的一

條直徑，P為該正方體表面上的動點，則PEPF的最大值為（）

A．1B．2C．3D．4

5．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，MN是正方體外接球的直徑，P為

正方體表面上的動點，則PMPN的取值范圍是（）

1133

A．,0B．0,C．,1D．1,

2242

6．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，PA平面ABC，AEPB

于點E，M是AC的中點，PB1，則EPEM的最小值為（）

1313

A．B．C．D．

8824

9

一、單選題

1．（2024·上海長寧·一模）已知非零空間向量a,b和c，則下列說法正確的是（）

A．若ab,ac，則b∥cB．若ab,ac,則bc

C．若ab,a∥c，則b∥cD．若ab,a∥c，則bc

2．（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)ABa,ADb,AA1c，

21

則a(bc)的值為（）

32

A．1B．0C．1D．2

3．（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的所有棱長均為1，

A1ABA1ADBAD60，則對角線A1C的長為（）

A．6B．2C．3D．2

4．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，棱AB,CD的中點分別是M,N，則

ANMC（）

10

111

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2

234

5．（24-25高二上·重慶·期末）已知空間向量abc0，且a2,b4,c3，則cosa,c（）

1132

A．B．C．D．

2422

6．（24-25高二下·江蘇揚州·期中）在平行六面體ABCDA1B1C1D1中BAD90，ABADAA11，

BAA1DAA160．取棱B1C1的中點M，則AM（）

1515

A．B．

32

1010

C．D．

23

7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中

，則（）

AA13,BD4,AD1DCAB1BC5cosAA1,BD

5544

A．B．C．D．

12121515

8．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上

DP

（不含端點），1，當(dāng)APC為直角時，的值是（）

D1B

11

A．2B．1C．D．

23

9．（24-25高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知A，B，C是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個

格點，點P為平面ABC外一點，且AP,ABAP,AC120，AP3，若AOABAC，則OP（）

11

A．42B．35C．6D．37

10．（24-25高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）斗拱是中國建筑上特有的構(gòu)件，是較大建筑物的柱與屋頂之間的

過渡部分，用于支撐上部突出的屋檐，如圖（1），其簡化結(jié)構(gòu)如圖（2），其中OB,OC,OD是兩兩互相垂直

1

的線段，OA為斗拱，滿足OBOCOD，且AOB,AOC和AOD都為鈍角．若cosOA,OB，

3

7

cosOA,OC，則cosOA,OD（）

12

15311

A．B．C．D．

412412

11．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐PABC中，ABAC2，AP3，

11

cosBAPcosCAP，cosBAC，E為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點，O為BCP的重心，AO與PF

34

相交于點G，則AG的長為（）

4533

A．B．1C．D．

545

12．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如圖，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，則向

量PC在BC上的投影向量為（）

12

2233

A．BCB．BCC．BCD．BC

3322

13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面（異