一、本章知識網(wǎng)絡(luò)二、知識要點(diǎn)歸納1.不等式的基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)是不等式這一章內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，是不等式的證明和解不等式的主要依據(jù).因此，要熟練掌握和運(yùn)用不等式的八條性質(zhì).2.一元二次不等式的求解方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，共同確定出解集.(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.當(dāng)m<n時(shí)，若(x－m)(x－n)>0，則可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，則可得m<x<n.有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間.3.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式(組)的幾何意義：二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.(2)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的判定：對于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù).當(dāng)B>0時(shí)，①Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0上方的區(qū)域；②Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0下方的區(qū)域.4.求目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的兩種方法(1)平移直線法.平移法是一種最基本的方法，其基本原理是兩平行直線中的一條上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離相等；(2)代入檢驗(yàn)法.通過平移法可以發(fā)現(xiàn)，取得最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)往往是可行域的頂點(diǎn)，其實(shí)這具有必然性.于是在選擇題中關(guān)于線性規(guī)劃的最值問題，可采用求解方程組代入檢驗(yàn)的方法求解.5.運(yùn)用基本不等式求最值，把握三個(gè)條件(1)“一正”——各項(xiàng)為正數(shù)；(2)“二定”——“和”或“積”為定值；(3)“三相等”——等號一定能取到.三、題型探究題型一“三個(gè)二次”之間的關(guān)系對于一元二次不等式的求解，要善于聯(lián)想兩個(gè)方面的問題：①相應(yīng)的二次函數(shù)圖象及與x軸的交點(diǎn)，②相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；反之，對于二次函數(shù)(二次方程)的問題的求解，也要善于聯(lián)想相應(yīng)的一元二次不等式的解與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根(相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象及與x軸的交點(diǎn)).例1不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，則二次函數(shù)y＝2x2＋mx＋n的表達(dá)式是________.答案y＝2x2－2x－12解析由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)＝3－2＝1，,\f(n,2)＝3×－2＝－6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－12.))∴y＝2x2－2x－12.題型二恒成立問題對于不等式恒成立求參數(shù)范圍問題常見類型及解法有以下幾種(1)變更主元法：根據(jù)實(shí)際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元.(2)分離參數(shù)法：若f(a)<g(x)恒成立，則f(a)<g(x)min.若f(a)>g(x)恒成立，則f(a)>g(x)max.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化.例2已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－6＋m，若對于m∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解方法一f(x)＜0?mx2－mx－6＋m＜0?(x2－x＋1)m－6＜0.∵x2－x＋1＞0，∴m＜eq\f(6,x2－x＋1)＞3?x2－x－1＜0?eq\f(1－\r(5),2)＜x＜eq\f(1＋\r(5),2).∴x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)＜x＜\f(1＋\r(5),2))))).方法二設(shè)g(m)＝f(x)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.由題意知g(m)＜0對m∈[1,3]恒成立.∵x2－x＋1＞0，∴g(m)是關(guān)于m的一次函數(shù)，且在[1,3]上是單調(diào)增函數(shù)，∴g(m)＜0對m∈[1,3]恒成立等價(jià)于g(m)max＜0，即g(3)＜0.∴(x2－x＋1)·3－6＜0?x2－x－1＜0?eq\f(1－\r(5),2)＜x＜eq\f(1＋\r(5),2)，∴x的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)＜x＜\f(1＋\r(5),2))))).題型三簡單的線性規(guī)劃問題關(guān)注“線性規(guī)劃”問題的各種“變式”：諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)，①“可行域”由不等式和方程共同確定(為線段或射線)，②“約束條件”由二次方程的“區(qū)間根”間接提供，③“約束條件”非線性，④目標(biāo)函數(shù)非線性，如：eq\f(x－a,y－b)(斜率)，eq\r(x－a2＋y－b2)(距離)等.求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最大值或最小值時(shí)，只需把直線ax＋by＝0向上(或向下)平行移動，所對應(yīng)的z隨之增大(或減少)(b>0)，找出最優(yōu)解即可.在線性約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步驟為：(1)作出可行域；(2)作出直線l0：ax＋by＝0；(3)確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn)；(4)解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最小值或最大值.例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，))求w＝x2＋y2的最大值和最小值.解畫出不等式組∵w＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示的是可行域內(nèi)的動點(diǎn)M(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離的平方，∴當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上滑動，且OM⊥AC時(shí)，w取得最小值，于是wmin＝d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0＋0－2|,\r(22＋12))))2＝eq\f(4,5)；當(dāng)點(diǎn)M滑到與點(diǎn)B(2,3)重合時(shí)，w取得最大值，即wmax＝(eq\r(2－02＋3－02))2＝13，故wmin＝eq\f(4,5)，wmax＝13.題型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要滿足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通過拼湊、換元等手段進(jìn)行變形.如不能取到最值，可以考慮用函數(shù)的單調(diào)性求解.例4已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________.答案4解析方法一依題意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，則(x＋1)＋(2y＋1)≥2eq\r(x＋12y＋1)＝2eq\r(9)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1時(shí)，等號成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值為4.方法二由題意得，x＝eq\f(8－2y,2y＋1)＝eq\f(－2y＋1＋9,2y＋1)＝－1＋eq\f(9,2y＋1)∴x＋2y＝－1＋eq\f(9,2y＋1)＋2y＝－1＋eq\f(9,2y＋1)＋2y＋1－1≥2eq\r(\f(9,2y＋1)·2y＋1)－2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2y＋1＝3，即y＝1時(shí)，等號成立.四、思想方法總結(jié)1.分類討論思想解含有字母的不等式時(shí)，往往要對其中所含的字母進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?分類討論的原因大致有以下三種：(1)對不等式作等價(jià)變換時(shí)，正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)而引起的討論.(2)對不等式(組)作等價(jià)變換時(shí)，由相應(yīng)方程的根的大小比較而引起的討論.(3)對不等式作等價(jià)變換時(shí)，由相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的可能變化而引起的討論.例5解關(guān)于x的不等式eq\f(x－a,x－a2)＜0(a∈R).解首先將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式(x－a)(x－a2)＜0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2，故應(yīng)就兩根a和a2的大小進(jìn)行分類討論.原不等式等價(jià)于(x－a)(x－a2)＜0.(1)若a＝0，則a＝a2＝0，不等式為x2＜0，解集為?；(2)若a＝1，則a2＝1，不等式為(x－1)2＜0，解集為?；(3)若0＜a＜1，則a2＜a，故解集為{x|a2＜x＜a}；(4)若a＜0或a＞1，則a2＞a，故解集為{x|a＜x＜a2}.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想不等與相等是相對的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.解題過程就是一個(gè)由已知條件向待定結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程.無論哪種類型的不等式，其求解思路都是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它們最終歸結(jié)為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)的求解.由于不等式的解集一般是無限集，因此不等式非等價(jià)變換產(chǎn)生的多解或少解是無法由檢驗(yàn)而予以剔除或增補(bǔ)的，這就要求解不等式的每一步變換都是等價(jià)變換，而這種變換的目標(biāo)應(yīng)是代數(shù)化、有理化、二次化一次、高次化低次等.例6已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，α，β，γ∈R且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0.試判斷f(α)＋f(β)＋f(γ)的值與0的關(guān)系.解∵f(x)為R上的減函數(shù)，且α＞－β，β＞－γ，γ＞－α，∴f(α)＜(－β)，f(β)＜f(－γ)，f(γ)＜f(－α)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜f(－β)＋f(－γ)＋f(－α)＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.1.不等式的應(yīng)用非常廣泛，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終.在集合、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何及實(shí)際問題中多有不等式的應(yīng)用.本章的重點(diǎn)是簡單的線性規(guī)劃問題，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法