eq\a\vs4\al(第七章)立體幾何與空間向量7．1基本立體圖形1．了解柱體、錐體、臺體、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．3．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖．1．棱柱、棱錐、棱臺項目棱柱棱錐棱臺圖形定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體結(jié)構(gòu)特征底面互相平行且全等；側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行底面是一個多邊形；側(cè)面都是三角形；側(cè)面有一個公共頂點上、下底面互相平行且相似；各側(cè)棱延長線交于一點；各側(cè)面為梯形2.圓柱、圓錐、圓臺、球項目圓柱圓錐圓臺球圖形定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征母線互相平行且相等，并垂直于底面；軸截面是全等的矩形；側(cè)面展開圖是矩形母線相交于一點；軸截面是全等的等腰三角形；側(cè)面展開圖是扇形母線延長線交于一點；軸截面是全等的等腰梯形；側(cè)面展開圖是扇環(huán)截面是圓簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體．其構(gòu)成形式主要有：由簡單幾何體拼接而成，或由簡單幾何體截去或挖去一部分而成．3．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸與y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸的夾角為90°．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．簡單幾何體的表面積與體積(1)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積項目圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l其中r，r′為底面半徑，l為母線長．(2)柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積幾何體表面積體積(S是底面積，h是高)柱體(棱柱和圓柱)S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球(R是半徑)S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR35.常見四棱柱及其關(guān)系教材拓展1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等(祖暅原理).2．水平放置的平面圖形的直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．1．判斷(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)水平放置的菱形的直觀圖仍是菱形．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(4)錐體的體積等于底面積與高的積．(×)2．如圖，三角形A′B′C′是水平放置的三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是18．解析：由直觀圖畫出原圖，如圖，可得三角形ABC是等腰三角形，且BC＝6，OA＝6，所以三角形ABC的面積S＝eq\f(1,2)×6×6＝18.3．(人教A版必修第二冊P119練習(xí)T1改編)圓錐SO的母線與底面所成角為60°，高為3eq\r(3)，則該圓錐的側(cè)面積為18π．解析：如圖，由題可知SA＝eq\f(3\r(3),sin60°)＝6，OA＝eq\r(SA2－SO2)＝3，所以該圓錐的側(cè)面積為π×3×6＝18π.4．(人教B版必修第四冊P85例2改編)已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為6，且A1B1＝2AB＝4，則該四棱臺的體積為56．解析：根據(jù)棱臺的體積公式可得VABCD-A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋42＋eq\r(22×42))×6＝56.考點1基本立體圖形命題角度1結(jié)構(gòu)特征【例1】(多選)下列說法正確的是(AD)A．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體【解析】若底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直，則該四棱柱底面為正方形，且側(cè)棱垂直于底面，所以該四棱柱為正四棱柱，故A正確；棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側(cè)棱延長后不一定交于一點，故B錯誤；當(dāng)棱錐的各個側(cè)面的共頂點的角之和是360°時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；若棱柱的每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．故選AD.命題角度2直觀圖【例2】(多選)如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′＝4，C′D′＝2，則下列說法正確的是(CD)A．AB＝2B．A′D′＝2eq\r(2)C．四邊形ABCD的周長為6＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)D．四邊形ABCD的面積為6eq\r(2)【解析】如圖，過D′作D′E⊥O′B′交O′B′于點E，由等腰梯形A′B′C′D′中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4，C′D′＝2，可得△A′D′E是等腰直角三角形，即A′D′＝eq\r(2)A′E＝eq\f(1,2)×(4－2)×eq\r(2)＝eq\r(2)，故B錯誤；還原平面圖如圖，則AB＝A′B′＝4，CD＝C′D′＝2，AD＝2A′D′＝2eq\r(2)，故A錯誤；在原圖形中，過C作CF⊥AB交AB于點F，則AF＝DC＝2，由勾股定理得CB＝eq\r(22＋(2\r(2))2)＝2eq\r(3)，故四邊形ABCD的周長為4＋2＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)＝6＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)，故C正確；四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×(4＋2)×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，故D正確．故選CD.命題角度3展開圖【例3】一座山峰的示意圖如圖所示，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為1km，峰底A到峰頂S的距離為4km，B是一條筆直的山路SA的中點．為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為(D)A．2km B．3kmC．2eq\r(5)km D．eq\f(4\r(5),5)km【解析】以SA為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖．則從點A到點B的最短路徑為線段A′B，leq\o(AA′,\s\up5(︵))＝2π×1＝2π(km)，所以∠A′SA＝eq\f(l\o(AA′,\s\up5(︵)),4)＝eq\f(π,2).過S作SP⊥A′B于點P，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為SP，因為A′B＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)(km)，所以SP＝eq\f(SB·SA′,A′B)＝eq\f(8,2\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)(km).故選D.1．辨別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義進(jìn)行判定．(2)反例法：要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可．2．在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．3．在解決空間最短距離問題時，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．【對點訓(xùn)練1】(1)(多選)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是(CD)A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．長方體是直平行六面體D．存在每個面都是直角三角形的四面體解析：頂點在底面的投影是正多邊形的中心的棱錐才是正棱錐，故A不正確；當(dāng)平面與圓柱的母線垂直或平行時，截得的截面才為圓或矩形，否則為橢圓或橢圓的一部分，故B不正確；長方體是直平行六面體，故C正確；如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形，故D正確．故選CD.(2)如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖為△A′B′C′，已知A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，則△ABC的周長為(C)A．6 B．8C．2＋2eq\r(5) D．2＋4eq\r(5)解析：根據(jù)題意，作出原圖△ABC，如圖，由斜二測畫法，在原圖中，CO＝2C′O′＝2，AO＝BO＝1，所以BC＝AC＝eq\r(5)，故△ABC的周長為2＋2eq\r(5).故選C.(3)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2eq\r(2)，E為AB上的動點，則D1E＋CE的最小值為(D)A．5B．eq\r(15)C．2＋2eq\r(2)D．eq\r(17)解析：將四邊形ABCD繞AB翻折到與四邊形ABC1D1共面，平面圖形如圖所示，連接CD1，則CD1的長度即為D1E＋CE的最小值，因為AB＝AD＝1，AA1＝2eq\r(2)，所以AD1＝eq\r(12＋(2\r(2))2)＝3，所以DD1＝4，所以CD1＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17)，即D1E＋CE的最小值為eq\r(17).故選D.考點2空間幾何體的表面積【例4】(1)(2024·遼寧大連一模)陀螺起源于我國，最早出土石制陀螺的是山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知底面圓的直徑AB＝12cm，圓柱體部分的高BC＝6cm，圓錐體部分的高CD＝4cm，則這個陀螺的表面積(單位：cm2)是(C)A．(72＋12eq\r(13))π B．(84＋24eq\r(13))πC．(108＋12eq\r(13))π D．(108＋24eq\r(13))π【解析】由題意可知，圓錐的母線長為eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)(cm)，所以這個陀螺的表面積是π×62＋2π×6×6＋π×2eq\r(13)×6＝(108＋12eq\r(13))π(cm2).故選C.(2)(2024·陜西安康模擬)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上底面積為eq\r(3)，下底面積為4eq\r(3)，高為2，則該三棱臺的表面積為(A)A．5eq\r(3)＋3eq\r(39) B．3eq\r(39)C．5eq\r(3)＋18 D．18【解析】由題意可得正三棱臺上、下底面邊長分別為2和4，設(shè)C1在底面ABC內(nèi)的射影為H，作HQ⊥BC于點Q，連接CH，C1Q，如圖所示，則C1H⊥平面ABC，BC?平面ABC，則有C1H⊥BC，又HQ⊥BC，C1H∩HQ＝H，C1H，HQ?平面C1HQ，所以BC⊥平面C1HQ，因為C1Q?平面C1HQ，所以BC⊥C1Q，由BC＝4，B1C1＝2，BB1＝CC1，得CQ＝1，又∠HCQ＝eq\f(π,6)，所以HQ＝eq\f(\r(3),3)，則C1Q＝eq\r(C1H2＋HQ2)＝eq\f(\r(39),3)，故該三棱臺的側(cè)面積為eq\f(2＋4,2)×eq\f(\r(39),3)×3＝3eq\r(39)，表面積為5eq\r(3)＋3eq\r(39).故選A.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊或弧之間的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．【對點訓(xùn)練2】(1)(2024·山東青島三模)在母線長為4，底面直徑為6的一個圓柱中挖去一個體積最大的圓錐后，得到一個幾何體，則該幾何體的表面積為(C)A．33π B．39πC．48π D．57π解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積最大的圓錐的母線長為l＝eq\r(h2＋r2)＝eq\r(42＋32)＝5，則S表＝S圓柱側(cè)＋S圓柱底＋S圓錐側(cè)＝2πrh＋πr2＋πrl＝24π＋9π＋15π＝48π.故選C.(2)底面邊長為2eq\r(2)，且側(cè)棱長為2eq\r(5)的正四棱錐的體積和側(cè)面積分別為(A)A．eq\f(32,3)，24 B．eq\f(32,3)，6C．32，24 D．32，6解析：由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點在底面上的射影，結(jié)合題設(shè)，得底面對角線長為4，則正四棱錐的高為eq\r((2\r(5))2－22)＝4，斜高為eq\r((2\r(5))2－(\r(2))2)＝3eq\r(2)，所以正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×4×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝eq\f(32,3)，側(cè)面積為eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(2)×4＝24.故選A.考點3空間幾何體的體積【例5】(1)(2024·山東濰坊三模)某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1∶2，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長的比值為(A)A．eq\f(\r(10),5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(15),5)【解析】設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為r，高分別為h1，h2，體積分別為V1，V2，因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以h1＝r，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)πr2h1,\f(1,3)πr2h2)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(r,h2)＝eq\f(1,2)，解得h2＝2r，上圓錐的母線長為eq\r(r2＋heq\o\al(2,1))＝eq\r(r2＋r2)＝eq\r(2)r，下圓錐的母線長為eq\r(r2＋heq\o\al(2,2))＝eq\r(r2＋4r2)＝eq\r(5)r，所以上、下兩圓錐的母線長的比值為eq\f(\r(2)r,\r(5)r)＝eq\f(\r(10),5).故選A.(2)(2024·天津卷)如圖，一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，則該五面體的體積為(C)A．eq\f(\r(3),6) B．eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3\r(3),4)－eq\f(1,2)【解析】方法一如圖，延長AD到G，使DG＝BE，延長BE到H，使EH＝AD，連接GH，HF，GF，AF，BF，可得AG＝BH＝CF＝3，結(jié)合AG∥BH∥CF，可知ABC-GHF為三棱柱，因為四邊形ABED與四邊形HGDE全等，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝eq\f(1,3)VABC-GHF，由AG∥BH∥CF，且它們兩兩之間的距離為1，可知當(dāng)ABC-GHF為正三棱柱時，底面邊長為1，高為3，此時VABC-GHF＝eq\f(\r(3),4)×12×3＝eq\f(3\r(3),4).根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若ABC-GHF為斜三棱柱，則由體積公式可得其體積也是eq\f(3\r(3),4)，因此，VF-HGDE＝eq\f(1,3)VABC-GHF＝eq\f(\r(3),4)，可得該五面體的體積V＝VABC-GHF－VF-HGDE＝eq\f(\r(3),2).故選C.方法二如圖，用一個完全相同的五面體與該五面體相接，因為AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面(與側(cè)棱垂直的截面)為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，VABC-DEF＝eq\f(1,2)VABC-HIJ＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)×4＝eq\f(\r(3),2).故選C.求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積【對點訓(xùn)練3】(1)(2024·江西九江二模)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝eq\f(π,2)，P，E分別為棱A1C1，AA1上的動點(不包括端點)，若AE＝A1P，則三棱錐B1-A1PE的體積的最大值為(D)A．eq\f(1,24) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，故A1E為三棱錐E-A1B1P的高，設(shè)AE＝A1P＝t，t∈(0，2)，則A1E＝2－t，由∠BAC＝eq\f(π,2)，得AB⊥AC，故A1B1⊥A1C1，則S△A1B1P＝eq\f(1,2)A1P×A1B1＝t，故VB1-A1PE＝VE-A1B1P＝eq\f(1,3)S△A1B1P·A1E＝eq\f(1,3)t(2－t)＝－eq\f(1,3)(t－1)2＋eq\f(1,3)，故當(dāng)t＝1時，三棱錐B1-A1PE的體積有最大值eq\f(1,3).故選D.(2)(2024·北京卷)漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm，325mm，325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為23mm，升量器的高為57.5mm.(不計量器的厚度)解析：設(shè)升、斗、斛量器的容積分別為V1mm3，V2mm3，V3mm3，由題意得V3＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(325,2)))eq\s\up12(2)×230，則V2＝eq\f(1,10)V3＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(325,2)))eq\s\up12(2)×23，所以斗量器的高為23mm；設(shè)升量器的高為hmm，則V1＝eq\f(1,10)V2＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(325,2)))eq\s\up12(2)×2.3＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,2)))eq\s\up12(2)·h，解得h＝57.5，所以升量器的高為57.5mm.【例】(2024·山西晉城一模)若一個正n棱臺的棱數(shù)大于15，且各棱的長度構(gòu)成的集合為{2，3}，則n的最小值為6，該棱臺各棱的長度之和的最小值為42．【解析】根據(jù)正棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知，正n棱臺的總棱數(shù)為3n(n≥3，n∈N*)，則3n>15，解得n>5，所以n的最小值為6.要想各棱長之和最小，則棱數(shù)總和要最小，故n＝6，又因為棱臺的上、下底面邊長不相等，所以可取上底面邊長為2，下底面邊長為3，要使各棱長之和最小，則側(cè)棱長取2，故該棱臺各棱的長度之和的最小值為2×12＋3×6＝42.本題考查棱臺的幾何特征，看似是求最值的題目，但是抓住正棱臺上、下底面相似，側(cè)棱相等這些特征，題目瞬間可解．在復(fù)習(xí)過程中要重視對基礎(chǔ)概念、基本知識的掌握和理解．課時作業(yè)441．（5分）下列四個命題中正確的是(C)A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體C．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐解析：如圖所示，在三棱錐A-BCD中，有AB＝BC＝CD＝AD＝a，AC＝BD＝b，a≠b，滿足每個面都是等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐，A錯誤；底面為菱形的直四棱柱，其側(cè)棱與底面邊長相等，該四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，B錯誤；以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，C正確；以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐，D錯誤．故選C.2．（5分）在高為6的三棱柱ABC-A1B1C1中，△A′B′C′是底面△ABC的水平放置的斜二測直觀圖，如圖，O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝eq\r(3)，則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為(D)A．6eq\r(3) B．8eq\r(3)C．12eq\r(3) D．24eq\r(3)解析：直觀圖△A′B′C′對應(yīng)的原圖形為如圖所示的△ABC，其中OA＝O′A′＝2，OB＝O′B′＝2，OC⊥AB，OC＝2O′C′＝2eq\r(3)，因此△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝4eq\r(3)，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V＝S△ABC×6＝24eq\r(3).故選D.3．（5分）（2025·八省聯(lián)考）底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為(A)A．eq\f(\r(3),3)π B．πC．2π D．3π解析：由題可知圓錐的底面半徑R＝1，母線長l＝2，則高h(yuǎn)＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(\r(3),3)π.故選A.4．（5分）在高為3的直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是以C為直角的等腰三角形，且AB＝2eq\r(2)，其中D為棱B1C1的中點，M為線段BC上的動點，則AM＋MD的最小值為(B)A．3＋eq\r(5) B．eq\r(26)C．2＋eq\r(10) D．5解析：將等腰直角三角形ABC沿BC翻折到與矩形BCC1B1共面，如圖所示，AM＋MD的最小值為AD，由于AC＝BC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2，C1D＝1，所以AD＝eq\r((2＋3)2＋12)＝eq\r(26).故選B.5．（5分）（2024·天津北辰區(qū)三模）我國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異．目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動．從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新．如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體．圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為(A)A．eq\f(325π,12) B．eq\f(76π,3)C．eq\f(215π,9) D．eq\f(325π,16)解析：由題意可知容器中液體分為兩部分，下部為圓柱，上部為圓臺，取軸截面，如圖所示，O1，O2，O3分別為AB，CD，EF的中點，可知AB∥CD∥EF，且O1B＝O2C＝2，O1O2＝6，O2P＝4，O2O3＝1，則O3P＝3，可得eq\f(O3F,O2C)＝eq\f(O3P,O2P)＝eq\f(3,4)，即O3F＝eq\f(3,2)，所以該容器中液體的體積為π×22×6＋eq\f(1,3)×π×22＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\r(π×22×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))×1＝eq\f(325π,12).故選A.6．（5分）（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為eq\r(3)，則圓錐的體積為(B)A．2eq\r(3)π B．3eq\r(3)πC．6eq\r(3)π D．9eq\r(3)π解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長為eq\r(3＋r2)，由圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，可得2eq\r(3)πr＝πr×eq\r(3＋r2)，解得r＝3，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×32×eq\r(3)＝3eq\r(3)π.故選B.7．（5分）（2024·湖南衡陽三模）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為eq\r(7)，高為eq\r(3)，P，Q為底面圓周上任意兩點（P，O，Q三點不共線），則三棱錐O-SPQ體積的最大值為(A)A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(4\r(3),3)C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：如圖，圓錐的底面半徑為eq\r((\r(7))2－(\r(3))2)＝2，則S△SOP＝eq\f(1,2)×SO×OP＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)，要使三棱錐O-SPQ的體積最大，需使底面△SOP上的高最大，故需使OQ⊥平面SOP，因為平面SOP⊥底面圓O，且交線為OP，所以只需使OQ⊥OP即可，此時(VO-SPQ)max＝(VQ-SOP)max＝eq\f(1,3)×S△SOP×OQ＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3).故選A.8．（5分）（2024·湖北武漢二模）燈籠起源于我國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍．如圖1，某燈籠的輪廓由三部分組成，上、下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個球缺）.如圖2，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的體積公式為V＝eq\f(π,3)(3R－h(huán))h2，其中R是球的半徑，h是球缺的高．已知該燈籠的高為40cm，圓柱的高為4cm，圓柱的底面圓直徑為24cm，則該燈籠的體積約為（參考數(shù)據(jù)：π≈3）(B)A．32000cm3 B．33664cm3C．33792cm3 D．35456cm3解析：該燈籠去掉圓柱部分的高為40－8＝32(cm)，設(shè)燈籠球缺的高為h1cm，球缺所在球的半徑為R1cm，則R1－h(huán)1＝eq\f(32,2)＝16，由圓柱的底面圓直徑為24cm，則有(R1－h(huán)1)2＋122＝Req\o\al(2,1)，即162＋122＝Req\o\al(2,1)，解得R1＝20，則h1＝4，該燈籠的體積V＝2V圓柱＋V球－2V球缺＝2×4×122×π＋eq\f(4,3)×π×203－2×eq\f(π,3)×(60－4)×42≈3456＋32000－1792＝33664(cm3).故選B.9．（7分）（多選）（2024·云南紅河州二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項中正確的是(ABD)A．圓錐的軸截面為直角三角形B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為πD．圓錐的體積與球的體積之比為1∶4解析：設(shè)球的半徑為R.如圖所示，OB＝OA＝OC＝R，所以∠BAC＝eq\f(π,2)，故A正確；圓錐的表面積為S1＝πR2＋π·R·eq\r(2)R＝πR2＋eq\r(2)πR2，球的表面積為S2＝4πR2，所以S1>eq\f(1,2)S2，故B正確；圓錐的母線長為eq\r(2)R，底面周長為2πR，所以圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(2πR,\r(2)R)＝eq\r(2)π，故C錯誤；圓錐的體積為V1＝eq\f(1,3)·πR2·R＝eq\f(1,3)πR3，球的體積為V2＝eq\f(4,3)πR3，eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4)，故D正確．故選ABD.10．（7分）（多選）如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，O′B′＝2，則以下正確的有(ABC)A．OA＝4B．△ABC是等腰直角三角形C．OB＝4D．△ABC的面積為8解析：還原△ABC，如圖所示，根據(jù)題意得OA＝OC＝O′C′＝4，OB＝2O′B′＝4，故A，C正確；因為OA＝OB＝OC＝4，所以∠BCA＝∠BAC＝45°，則∠CBA＝90°，故△ABC是等腰直角三角形，故B正確；△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×AC×OB＝eq\f(1,2)×8×4＝16，故D錯誤．故選ABC.11．（7分）（多選）如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，則在三棱錐A′-EFQ中，下列說法正確的是(AD)A．△EFQ的面積與點E，F(xiàn)的位置無關(guān)B．三棱錐A′-EFQ的體積與點Q的位置有關(guān)C．三棱錐A′-EFQ的體積與點E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．三棱錐A′-EFQ的體積與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)解析：如圖，連接AD′，BC′，因為AB∥C′D′，且AB＝C′D′，可知四邊形ABC′D′為平行四邊形，且AB⊥平面ADD′A′，又AD′?平面ADD′A′，則AB⊥AD′，可知四邊形ABC′D′為矩形，所以△EFQ的面積S△EFQ＝eq\f(1,2)EF·AD′＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，即△EFQ的面積為定值，與點E，F(xiàn)的位置無關(guān)，故A正確；因為A′D′⊥平面ABB′A′，且平面ABB′A′∥平面CDD′C′，可知三棱錐Q-A′EF的高為A′D′＝4，所以三棱錐A′-EFQ的體積VA′-EFQ＝VQ-A′EF＝eq\f(1,3)A′D′·S△A′EF＝eq\f(1,3)×4×eq\f(1,2)×2×4＝eq\f(16,3)，即三棱錐A′-EFQ的體積為定值，與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，故B，C錯誤，D正確．故選AD.12．（7分）（2024·山西呂梁二模）已知圓臺O1O2的高為3，中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1∶2的兩部分，則該圓臺的母線長為5．解析：如圖，設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為r，R，因為中截面的半徑為3，所以根據(jù)梯形中位線性質(zhì)可知r＋R＝6.又中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1∶2的兩部分，所以根據(jù)圓臺側(cè)面積公式可知eq\f(π(r＋3),π(3＋R))＝eq\f(r＋3,9－r)＝eq\f(1,2)，解得r＝1，所以R＝5.又圓臺的高為3，所以圓臺的母線長為eq\r(32＋(R－r)2)＝eq\r(32＋42)＝5.13．（7分）（2024·黑龍江雙鴨山模擬）如圖1是第19屆杭州亞運(yùn)會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD（如圖2）.已知eq\o(AB,\s\up8(︵))的長為2π，AD＝3，扇環(huán)ABCD的面積為9π，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為eq\f(14\r(2)π,3)．解析：如圖，設(shè)∠AOB＝θ，OA＝r，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θr＝2π，,\f(1,2)θ(3＋r)2－\f(1,2)θr2＝9π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,θ＝\f(2π,3)，))則eq\o(CD,\s\up8(︵))的長為eq\f(2π,3)×6＝4π，