1．2常用邏輯用語1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系．2．理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確使用存在（或全稱）量詞對全稱（或存在）量詞命題進行否定．1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)教材拓展1．注意區(qū)分“A是B的充分不必要條件（A?B且Beq\o(?,/)A）”與“A的充分不必要條件是B（B?A且Aeq\o(?,/)B）”兩者的不同．2．充要關(guān)系與集合基本關(guān)系之間的聯(lián)系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．3．p是q的充分不必要條件等價于?q是?p的充分不必要條件．4．含有量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．5．對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．6．命題p和?p的真假性相反，當判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假．1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件．(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)2．（人教A版必修第一冊P30例4(1)改編）命題“?x∈R，使得n≥x2”的否定形式是(C)A．?x∈R，使得n<x2B．?x∈R，使得n≤x2C．?x∈R，使得n<x2D．?x∈R，使得n≤x2解析：由命題的否定的定義，因為原命題是“?x∈R，使得n≥x2”，因此其否定形式應該把全稱量詞?改為存在量詞?，把n≥x2改為n<x2，所以命題“?x∈R，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，使得n<x2”．故選C.3．（人教A版必修第一冊P22習題1.4T2改編）“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：顯然a2＋b2＝0，則a＝0，b＝0，有ab＝0，即a2＋b2＝0?ab＝0，而ab＝0，取a＝0，b＝1，a2＋b2≠0，則ab＝0不能推出a2＋b2＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分條件．故選B.4．若“x＝1”是“x>a”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1)．解析：∵“x＝1”是“x>a”的充分條件，∴x＝1?x>a，∴a<1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1).考點1充分、必要條件的判斷【例1】(1)（2024·天津濱海新區(qū)三模）已知a，b∈R，則“a>b”是“eq\r(a)(a－b)>0”的(D)A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件【解析】當a<0時，顯然eq\r(a)(a－b)>0不成立，即充分性不成立；當eq\r(a)(a－b)>0時，顯然有eq\r(a)>0，則a>b一定成立，即必要性成立．所以“a>b”是“eq\r(a)(a－b)>0”的必要不充分條件．故選D.(2)（2024·天津卷）設a，b∈R，則“a3＝b3”是“3a＝3b”的(C)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由函數(shù)y＝x3單調(diào)遞增可知，若a3＝b3，則a＝b；由函數(shù)y＝3x單調(diào)遞增可知，若3a＝3b，則a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要條件．故選C.(3)（多選）已知p：x2－4x<0，則p成立的一個充分不必要條件是(BD)A．－2<x<0 B．0<x<2C．0<x<4 D．1<x<3【解析】由x2－4x<0，解得0<x<4，設p：E＝{x|0<x<4}，p成立的一個充分不必要條件為集合F，則FE，所以0<x<2和1<x<3都是0<x<4的充分不必要條件．故選BD.充分、必要條件的兩種常用判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p是否成立進行判斷．(2)集合法：根據(jù)p，q成立對應的集合之間的包含關(guān)系進行判斷．【對點訓練1】(1)（2024·天津河北區(qū)二模）設x∈R，則“1<x<2”是“|x－2|<1”的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由|x－2|<1可得－1<x－2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出|x－2|<1，故充分性成立；由|x－2|<1推不出1<x<2，故必要性不成立．所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要條件．故選A.(2)（2024·天津紅橋區(qū)一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a2024>b2024”的(D)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當a＝1，b＝－2時，a>b，a2024<b2024，當a＝－2，b＝1時，a2024>b2024，a<b，所以“a>b”是“a2024>b2024”的既不充分也不必要條件．故選D.考點2根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).(1)若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為(0，3]；(2)若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞）．【解析】(1)因為p是q的必要不充分條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3，又m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為(0，3].（2)因為p是q的充分不必要條件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞）.由充分、必要條件求參數(shù)范圍的策略(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解，注意條件的等價變形．(2)端點值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意對取值區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍．(3)考慮空集的情況．【對點訓練2】(1)（2024·山東濟南二模）已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍是(D)A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≤2 D．a(chǎn)≥2解析：因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以AB，所以a≥2.故選D.(2)若“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是(D)A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]解析：∵“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分條件，∴(－1，4)是(2m2－3，＋∞)的真子集，因此2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.故選D.考點3全稱量詞與存在量詞命題角度1含量詞命題的否定及真假判斷【例3】(1)（2024·山東青島三模）已知命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx<x，則?p為(D)A．?x?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>xB．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>xC．?x?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥xD．?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥x【解析】命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx<x為全稱量詞命題，則?p為?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≥x.故選D.(2)（2024·新課標Ⅱ卷）已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1；命題q：?x>0，x3＝x.則(B)A．p和q都是真命題B．?p和q都是真命題C．p和?q都是真命題D．?p和?q都是真命題【解析】對于p而言，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，?p是真命題；對于q而言，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，?q是假命題．綜上，?p和q都是真命題．故選B.命題角度2含量詞命題的應用【例4】若命題“?x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－∞，4] B．（－∞，4)C．(－∞，－4) D．[－4，＋∞）【解析】因為“?x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，所以“?x∈R，x2－4x＋a＝0”為真命題，即方程x2－4x＋a＝0有實數(shù)根，則Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4，即實數(shù)a的取值范圍是（－∞，4].故選A.含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有情況都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一種情況成立即可．當一個命題的真假不易判斷時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，可直接由命題的真假求參數(shù)的范圍，也可利用等價命題求參數(shù)的范圍．【對點訓練3】(1)命題“?x≥3，x2－2x＋3<0”的否定是(B)A．?x≥3，x2－2x＋3<0B．?x≥3，x2－2x＋3≥0C．?x<3，x2－2x＋3≥0D．?x<3，x2－2x＋3≥0解析：因為命題“?x≥3，x2－2x＋3<0”為存在量詞命題，所以其否定為“?x≥3，x2－2x＋3≥0”．故選B.(2)若命題“?x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是(C)A．(－∞，1] B．（－∞，2)C．(－∞，5) D．(5，＋∞)解析：由題意知命題“?x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命題，所以m<(x2＋1)max，當且僅當x＝2時，有(x2＋1)max＝22＋1＝5，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，5).故選C.課時作業(yè)21．（5分）命題“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定為(B)A．?x∈R，x2＋x＋1<0B．?x∈R，x2＋x＋1≤0C．?x?R，x2＋x＋1≤0D．?x∈R，x2＋x＋1<0解析：由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知命題“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定為“?x∈R，x2＋x＋1≤0”．故選B.2．（5分）（2024·廣東梅州二模）常言道：“不經(jīng)歷風雨，怎么見彩虹”．就此話而言，“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由題意，經(jīng)歷風雨不一定會見彩虹，但見彩虹一定是經(jīng)歷風雨，所以“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的必要不充分條件．故選B.3．（5分）下列命題中的假命題是(B)A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，x2>0C．?x∈R，tanx＝1 D．?x∈R，3x>0解析：對于A，?x∈R，lgx＝0，是真命題，如：lg1＝0；對于B，?x∈R，x2>0，是假命題，如：02不大于0；對于C，?x∈R，tanx＝1，是真命題，如：taneq\f(π,4)＝1；對于D，?x∈R，3x>0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知道它是真命題．故選B.4．（5分）已知a，b∈R，則“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若a＝b＝0，則|a＋b|＝0，即充分性成立；若|a＋b|＝0，例如a＝1，b＝－1，滿足條件，但a＝b＝0不成立，即必要性不成立．綜上所述，“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要條件．故選A.5．（5分）已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，則p是q的(D)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當a＝－1，b＝4時，p不能推出q，當a＝－2，b＝－2時，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要條件．故選D.6．（5分）（2024·江西南昌三模）已知p：“x>2”，q：“x2－x－a>0”，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)) B．（－∞，2]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D．[2，＋∞）解析：若p是q的充分不必要條件，則x2－x－a>0在x>2時恒成立，即a<x2－x在x>2時恒成立，令f(x)＝x2－x，由二次函數(shù)性質(zhì)得f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)>f(2)＝2，可得a∈（－∞，2].故選B.7．（6分）（多選）已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，則(AD)A．p是q的充分條件B．p是s的必要條件C．r是q的必要不充分條件D．s是q的充要條件解析：由p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，可得p?r，q?r，r?s，s?q，對于A，由p?q，所以p是q的充分條件，所以A正確；對于B，由p?s，所以p是s的充分條件，所以B不正確；對于C，由r?q，所以r是q的充要條件，所以C不正確；對于D，由s?q，所以s是q的充要條件，所以D正確．故選AD.8．（6分）（多選）命題“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”為真命題的一個充分不必要條件是(CD)A．m>－2 B．m>－1C．m>0 D．m>1解析：由題意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，即m>eq\f(1－2x,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(2)－1，當eq\f(1,x)－1＝0，即x＝1時，eq\f(1－2x,x2)的最小值為－1，故m>－1.所以命題“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”為真命題的充分不必要條件是{m|m>－1}的真子集，結(jié)合選項可得，C和D項符合條件．故選CD.9．（5分）（2024·山東濰坊二模）已知命題p：?x∈[－1，1]，x2>a，則?p為?x∈[－1，1]，x2≤a．解析：由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得?p為?x∈[－1，1]，x2≤a.10．（5分）方程x2－ax＋a－1＝0有一正一負根的充要條件是a<1．解析：x2－ax＋a－1＝0有一正一負根?a－1<0?a<1.11．（16分）已知命題p：?x∈R，x2＋4x＋a＋1>0為真命題．(1)求實數(shù)a的取值集合A；(2)設B＝{x|2m<x<2＋m}為非空集合，且x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)依題意，關(guān)于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0在R上恒成立，于是得Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3，所以實數(shù)a的取值集合A＝{a|a>3}．(2)因為x∈A是x∈B的必要不充分條件，所以B為A的真子集．又B＝{x|2m<x<2＋m}為非空集合，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m<2＋m，,2m≥3，))解得eq\f(3,2)≤m<2，所以實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).12．（16分）求證：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2對任意實數(shù)x恒成立的充要條件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.證明：充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，則等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2顯然對任意實數(shù)x恒成立，充分性成立；必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2對任意實數(shù)x恒成立，分別將x＝0，x＝1，x＝－1代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c1＝c2，,a1＋b1＋c1＝a2＋b2＋c2，,a1－b1＋c1＝a2－b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝a2，,b1＝b2，,c1＝c2，))必要性成立．故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2對任意實數(shù)x恒成立的充要條件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.13．（5分）命題“?x∈[－2，1]，x2－2a≤0”為真命題的充要條件是(A)A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≥2 D．