專題23橢圓的簡單幾何性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)01：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形

x2y2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程1（ab0）1（ab0）

a2b2a2b2

范圍axa，bybbxb，aya

A1(a,0)，A2(a,0)，A1(0,a)A2(0,a)

頂點(diǎn)

B1(0,b)，B2(0,b)B1(b,0)B2(b,0)

軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a

焦點(diǎn)(c,0)(0,c)

焦距|F1F2|2c

對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(diǎn)

c

離心率e，e(0,1)

a

cb

注：離心率：橢圓焦距與長軸長之比：ee1()2.（0e1）

aa

當(dāng)e越接近1時(shí)，c越接近a，橢圓越扁；

當(dāng)e越接近0時(shí)，c越接近0，橢圓越接近圓；

1

當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，圖形為圓，方程為x2y2a2

【常用結(jié)論】

x2y2x2y2

①與橢圓1(ab0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：1(mb2)

a2b2a2mb2m

x2y2

②橢圓1的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：

a2b2

（1）PF1PF22a；

（2），，22；

BF1BF2aOF1OF2cA2BA1Bab

（3）A1F1A2F2ac,A1F2A2F1ac，acPF1ac；

知識點(diǎn)02：直線與橢圓的位置關(guān)系

1、位置關(guān)系的判斷

x2y2

直線ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系

a2b2

ykxm,

聯(lián)立x2y2消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．

1,

a2b2

①0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；

②0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；

③0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．

2、直線與橢圓相交的弦長公式

（1）定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．

（2）求弦長的方法

①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．

②根與系數(shù)的關(guān)系法：

若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：

l:ykxbABA（x1,y1),B(x2,y2)

弦長22222

AB(x1x2)(y1y2)(x1x2)(kx1kx2)1kx1x2

2

1

弦長AB1yy

k212

這里|x1x2|,|y1y2|,的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

2；

|x1x2|(x1x2)4x1x2

2

|y1y2|(y1y2)4y1y2

3、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,y1，Bx2,y2；

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；

（3）寫出根與系數(shù)的關(guān)系；

（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1x2，x1x2的形式；

（5）代入求解．

知識點(diǎn)03：中點(diǎn)弦問題與點(diǎn)差法

2

、若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，則b；（焦點(diǎn)在

1lABMABkABkOMkK

ABOMa2

a2

x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，kK

ABOMb2

x2y2

1111

22

證明：設(shè)，，，，，則橢圓ab

Ax1y1Bx2y2Mx0y0

x2y2

2212

a2b2

y2y2b2

兩式相減得21

222

x2x1a

y1y2

yyyyyy2y2b2

kk=210=212=21=e21．

ABOM222

x2x1x0x2x1x1x2x2x1a

2

.

3

一、解答題

1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，

并畫出它們的草圖：

(1)x29y236；

(2)9x25y245.

二、單選題

x2y2

2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，則實(shí)數(shù)m的值為（）

5m

A．1B．4C．7D．9

4

x2y2

3．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知橢圓C:1的短軸長為4，則m（）

mm2

A．2B．4C．8D．16

4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓9x225y2225上的點(diǎn)Px,y的橫、縱坐標(biāo)的范圍分別為（）

11

A．x3,y5B．x,y

35

11

C．x5,y3D．x,y

53

x2y2x2y2

5．（24-25高二上·江蘇南通·期中）橢圓1與橢圓1k9的（）

251625k16k

A．長軸長相等B．短軸長相等

C．焦距相等D．離心率相等

x2y2

6．（24-25高二上·浙江臺州·期末）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，下列說法正確的是（）

43

A．橢圓的長軸長為2

B．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為7,0,7,0

C．橢圓關(guān)于直線yx對稱

D．當(dāng)點(diǎn)x0,y0在橢圓上時(shí)，y03

一、解答題

1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

2

(1)長軸長為6，離心率為；

3

6

(2)經(jīng)過點(diǎn)P3,0，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上；

3

(3)x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.

2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)長軸長是短軸長的5倍，且過點(diǎn)A(5,0)；

3

(2)離心率e，焦距為12.

5

x2y223

3．（24-25高二上·江西宜春·月考）（1）求與橢圓1的焦點(diǎn)相同，且經(jīng)過點(diǎn)(,)的橢圓的標(biāo)

4322

準(zhǔn)方程.

5

x2

（2）求與橢圓y21離心率相同，且經(jīng)過點(diǎn)(2,1)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2

x2y2

4．（24-25高二上·天津靜海·月考）已知橢圓C:1ab0，

a2b2

(1)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，且長軸長是短軸長的2倍.求橢圓C的方程；

322

(2)已知橢圓C的離心率為，直線xy2b0與圓xy2相切，求橢圓C的方程；

2

一、單選題

x2y2

1．（24-25高二下·云南麗江·月考）若橢圓1a3的焦距為8，則該橢圓的離心率為（）

a29

3432

A．B．C．D．

4553

y2

2．（24-25高二上·貴州銅仁·期末）已知橢圓C：x21（a0）的左頂點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2，則C

a2

的離心率為（）

133

A．B．C．D．3

232

x2y2

3．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）設(shè)橢圓C:1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P在C上，

a2b2

若，，則的離心率為（）

PF1PF20PF1F230C

311

A．31B．C．D．

323

x2y2

4．（24-25高二下·廣西·月考）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，P是橢圓外一

a2b2

π

點(diǎn)，直線PF1的傾斜角為，PFFF，線段PF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為（）

32122

136

A．B．31C．D．

223

5．（2025·廣東·一模）已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF2120,PF13PF2，則

C的離心率為（）

131377

A．B．C．D．

4848

6．（24-25高二下·廣西南寧·開學(xué)考試）已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過上頂點(diǎn)A作直線AF2交

橢圓于另一點(diǎn)B，若5AB4F1B，則橢圓C的離心率為（）

6

1532

A．B．C．D．

3432

一、單選題

π

1．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知F,F是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足FMF的點(diǎn)M總在橢圓C

12122

內(nèi)部，則橢圓C離心率的取值范圍是（）

122

A．(0,1)B．(0,]C．(0,)D．[,1)

222

x2y2

2．（24-25高二上·河北邯鄲·期末）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1ab0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P

a2b2

是C上一點(diǎn)，若PF1PF22b，則C的離心率的取值范圍是（）

1122

A．0,B．,1C．0,D．,1

2222

x2y2

3．（24-25高二上·江蘇無錫·月考）已知橢圓C：1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C

a2b2

3

上存在一點(diǎn)P，使得PFPF，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

122

ùù

1,111

A．0,úB．0úC．,1D．,1

(5?(2?25

4．（24-25高二上·河南焦作·期末）阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》中給出了橢圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖，過

2

PQ1

橢圓上任意一點(diǎn)P作長軸AB的垂線（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B均不重合），垂足為Q，則為常數(shù)k．若k，

AQBQ9

則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

22222212

A．0,B．0,C．,D．,

333333

二、填空題

x2y2

5．（24-25高二上·浙江·月考）已知橢圓C：1ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若總存在

a2b2

一條過F1的直線l，使得點(diǎn)F2關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的離心率e的取值范圍是.

7

x2y2

6．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓C：1（ab0）的左、右兩焦點(diǎn)分別是F1、F2，

a2b2

FF2c2

其中12．橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足AF1AF24c，則橢圓的離心率的取值范圍是

一、單選題

x2y23

1．（24-25高二上·遼寧·期中）記橢圓C:1的離心率為e，若e,1，則實(shí)數(shù)m的取值范

m6m32

圍為（）

A．3,4B．3,6C．4,5D．4,6

1

2．（23-24高二上·江蘇宿遷·開學(xué)考試）已知橢圓C的離心率為，F(xiàn),F是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，

212

若PF1F2的周長為2，則橢圓C的焦距為（）

2222

A．B．C．D．

3456

3．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）橢圓可以看作圓沿定直線方向拉伸或壓縮而得.如圖，M是圓O上動點(diǎn)，

1

M在y軸上身影為N，則滿足NPNM（1）的動點(diǎn)P的軌跡是橢圓.若橢圓的離心率e,則λ=（）

2

3323

A．2B．3C．D．

23

二、填空題

x2y21

4．（24-25高二上·天津紅橋·月考）已知橢圓1的離心率e，則實(shí)數(shù)m．

4m2

x2y2

5．（2024·上海普陀·一模）設(shè)橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左頂點(diǎn)為A，若橢

a2b2

1F2A

圓C的離心率為，則的值為.

3AF1

8

一、單選題

xyx2y2

1．（23-24高二上·江西·期末）直線1與橢圓1（ab0）的位置關(guān)系為（）

aba2b2

A．相離B．相切C．相交D．無法確定

x2y2

2．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）已知直線l:a2x1aya50，橢圓C:1，則l與

63

C的位置關(guān)系為（）

A．相切B．相交C．相離D．相交或相切

二、解答題

x2y2

3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l

42

與橢圓C：

(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)？

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？

(3)沒有公共點(diǎn)？

y2x26

4．（23-24高二下·陜西咸陽·期末）已知橢圓M：1(ab0)的離心率為，焦距為4.

a2b23

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：xy320平行，求直線l1的斜截式方程.

5．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點(diǎn)為F12,0，F(xiàn)22,0，P為橢圓上一點(diǎn)，且到

兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若已知直線yxm，當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓C有公共點(diǎn)？

一、解答題

x2y23

1．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，點(diǎn)A(2,1)在橢圓C上．

a2b22

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)直線l:yxm與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．

9

①求m的取值范圍；

②若m1，求|MN|的值．

x2y2

2．（24-25高二上·上?！て谀┮阎獧E圓C的方程為1，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點(diǎn)．

42

(1)求橢圓C的離心率；

8

(2)若直線yxm被橢圓C截得的線段長為，求m的值．

3

2

x2o

3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）過橢圓y1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60的直線l，與橢圓相交于A、

2

B兩點(diǎn).

(1)求弦長AB；

(2)求VAOB的面積.

．（高二下云南昆明期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為定值，且過點(diǎn)(2,0)．

424-25··F1(3,0)F2(3,0)

(1)求動點(diǎn)的軌跡方程C；

4

(2)若過點(diǎn)P(1,0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB面積為，求直線l的方程．

5

x2y22

5．（24-25高二下·遼寧朝陽·開學(xué)考試）已知橢圓C:1ab0的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是

a2b22

橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，且MNF2的周長為42

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線l:yxm與C交于A,B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

6．（2025·江西·二模）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)P是圓O:x2y24上的動點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，

3

點(diǎn)M滿足MQPQ，動點(diǎn)M的軌跡為曲線C．

2

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)N3,0的動直線l交C于A,B兩點(diǎn)，求VAOB面積的最大值．

一、單選題

x2y2

1．（24-25高二上·天津·月考）橢圓1中，以點(diǎn)M1,2為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）

169

10

9999

A．B．C．D．

16326432

y2x2

2．（24-25高二上·甘肅酒泉·期末）已知橢圓1與直線l交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P(1,1)為線段AB的中

94

點(diǎn)，則直線l的方程是（）

A．9x4y50B．9x4y130

C．4x9y50D．4x9y130

x2y2

3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原點(diǎn)為O，橢圓C:1(ab0)與直線l:xy10交于A,B

a2b2

1

兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，若直線OM的斜率為，則橢圓C的離心率為（）

3

13516

A．B．C．D．

2223

4．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知橢圓C的其中一個(gè)焦點(diǎn)為F0,4，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，

B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)，則C的方程為（）

x2y2x2y2

A．1B．1

420248

x2y2x2y2

C．1D．1

824204

x2y2

5．（24-25高二上·天津和平·期末）已知橢圓C:1ab0上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線2xy10

a2b2

6

對稱，若橢圓離心率為，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

313123

A．,B．2,3C．,D．,

428477

二、填空題

x2y2

6．（24-25高二上·廣東廣州·月考）過點(diǎn)P1,1作直線與橢圓1交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中

42

點(diǎn)為P，線段AB的長度是．

一、解答題

22

xy16

．（高二下云南昆明月考）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)2,

124-25··C:221ab0.

ab22

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

11

(2)已知直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M和N，若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂

點(diǎn)，求直線l的方程.

1

2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(3,0)，且C經(jīng)過點(diǎn)P3,．

2

(1)求C的方程；

(2)設(shè)C與y軸的正半軸交于點(diǎn)D，直線l：y=kx+m與C交于A、B兩點(diǎn)（l不經(jīng)過D點(diǎn)），且AD⊥BD．證

明：直線l經(jīng)過定點(diǎn)

x2y2

3．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知橢圓1(ab0)過點(diǎn)A(2,1)和B0,3．過M3,0作直線

a2b2

l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

、

(2)記直線AC、AD的斜率分別為k1k2，證明k1k2是定值；

x2y2

4．（23-24高二上·重慶·月考）已知橢圓E：1ab0的焦點(diǎn)與雙曲線2x22y21的焦點(diǎn)重合，

a2b2

2

橢圓E的離心率為．

2

(1)求橢圓E的方程；

35

(2)過點(diǎn)Mm,0m作斜率不為0的直線l，交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)N,0，若NANB為定值，求

44

點(diǎn)M的坐標(biāo)．

x2y2

5．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知橢圓C：1ab0的左焦點(diǎn)為F，若C的焦距為23且

a2b2

3

經(jīng)過點(diǎn)1,，過點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).

2

(1)求橢圓方程；

(2)若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)Tt,0使得PTFQTF恒成立?若存在，求出t的值；

若不存在，說明理由.

12

一、單選題

1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長與短軸長之比為2:1，焦距為43

的橢圓方程為（）

x2y2x2y2x2y2

A．1B．1C．y21D．x21

41616444

x2y2x2y2

2．（2024·浙江臺州·一模）橢圓E:1與橢圓E:1(0k4)的（）

19429k4k

A．長軸長相等B．短軸長相等C．離心率相等D．焦距相等

x2y2x2y2

3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率

m243

是（）

73214

A．B．C．D．

3322

x2y2

4．（24-25高二上·安徽·月考）已知直線l:3x2y6經(jīng)過橢圓C:1的兩個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓C的一個(gè)

mn

焦點(diǎn)為（）

13

A．(0,5)B．(5,0)C．(0,13)D．(13,0)

x2y2

5．（24-25高二上·河北唐山·期末）設(shè)橢圓C:1ab0的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2作垂直

a2b2

于x軸的直線交C于A,B兩點(diǎn)，若F1A5,AB6，則C的離心率為（）

1113

A．B．C．D．

4322

x2y2

6．（24-25高二上·云南麗江·月考）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：1ab0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢

a2b2

圓E上的點(diǎn)，PF1PF2，且PF12PF2，則橢圓E的離心率為（）

551010

A．B．C．D．

3624

x2y2

7．（24-25高二上·重慶·期末）已知橢圓1(ab0)的上，下頂點(diǎn)分別為A,B，左頂點(diǎn)為D，左

a2b2

焦點(diǎn)為F1，且AF1BD，則橢圓的離心率為（）

123511

A．B．C．D．

3222

8．（23-24高二上·陜西西安·期末）若直線ax+by-1=0與圓O:x2y21相離，則過點(diǎn)Pa,b的直線與橢圓

y2x2

1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

65

A．0或1B．0C．1D．2

22

xy1

9．（23-24高二上·重慶·期末）若橢圓C：1ab0的離心率為，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q為C

a2b22

上任意兩點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱，則直線AP和直線AQ的斜率之積為（）

1134

A．B．C．D．

4245

2

2x

10．（24-25高二下·湖南·月考）設(shè)F1，F(xiàn)為橢圓C:y10n1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在C上存在點(diǎn)P，滿

2n

足F1PF290，則C的離心率的取值范圍為（）

1212

A．,1B．,1C．0,D．0,

2222

x2y2

11．（24-25高二上·天津·期末）已知橢圓1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上（異

a2b2

1

于A,B)，設(shè)直線AP的斜率為k，直線BP的斜率為k，且kk，則橢圓的離心率的取值范圍為（）

12122

2211

A．0,B．,1C．0,D．,1

2222

14

y2x2

12．（23-24高二上·四川綿陽·期末）已知F(0,5)，F(xiàn)(0,5)分別為橢圓C:1(ab0)