PAGE1專題02立體幾何大題綜合歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：存在型證明與計(jì)算題型二：翻折型證明與計(jì)算題型三：投影型證明與計(jì)算題型四：斜棱柱型垂線法建系與證明題型五：斜棱柱型垂面法建系與證明題型六：等角建系與證明題型七：二面角機(jī)器延長(zhǎng)線建系與證明題型八：最值范圍型題型九：特殊幾何體：臺(tái)體型題型十：五面體等特殊幾何體題型十一：動(dòng)點(diǎn)型求角度最大（?。╊}型十二：壓軸難題第19題?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01存在型證明與計(jì)算?技巧積累與運(yùn)用用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)線線垂直：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.(3)面面垂直：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.1．如圖，在三棱錐中，，．

(1)證明：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點(diǎn)位于棱上靠近點(diǎn)或點(diǎn)的四等分點(diǎn)處.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，易得，，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用向量法及線面角的正弦值，列方程求參數(shù)，即可判斷存在性.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以．?）存在點(diǎn)，位于棱上靠近點(diǎn)或點(diǎn)的四等分點(diǎn)處，使直線與平面所成角的正弦值為，證明如下：如圖，因?yàn)?，易知，則，

取的中點(diǎn)，連接，易知，又平面，易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)，易得，，則，，，，則，，設(shè)，，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得或，故在棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)點(diǎn)位于棱上靠近點(diǎn)或點(diǎn)的四等分點(diǎn)處．2．如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置）.(1)若平面，求的值；(2)若，求的值；(3)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可得，再利用中位線的性質(zhì)即可得解；（2）由題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得、、兩兩垂直，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可表示出、，再利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得，即可得解；（3）表示出平面與平面的法向量后，結(jié)合空間向量夾角公式計(jì)算即可得，即可得解.【詳解】（1）由平面，平面平面，平面，故，又為線段的中點(diǎn)，故為線段的中點(diǎn)，即；（2）由，則，則，由，，則，有，故，又二面角為直二面角，故平面平面，由平面平面，，平面，故平面，又平面，故，即有、、兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、，即、、，設(shè)，則，若，則，解得，即，故；（3），，，則，設(shè)平面與平面的法向量分別為m=x1,y則有，，令，則有，，，，即可取、，由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則有，整理得，解得或，即或，故或.如圖，已知四棱柱的底面為菱形，，，，．

(1)若為中點(diǎn)，證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，或．【分析】（1）根據(jù)題中給出的垂直與邊長(zhǎng)條件，證明線面垂直.（2）取中點(diǎn)，連接，易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，利用空間向量法求解.【詳解】（1）由四邊形為菱形知，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，，所以，故，又，，平面，所以平面．如圖①，設(shè)，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以，故，則，，故，易知，則，故，所以，又平面，易知平面，所以，又，所以平面．

（2）存在點(diǎn)，理由如下：如圖②，取中點(diǎn)，連接，易知，則，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，由中點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合（1）知平面的一個(gè)法向量為，又，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則,即，所以，令，得，故平面的一個(gè)法向量為．則，解得或，此時(shí)或．題型02翻折型證明與計(jì)算?技巧積累與運(yùn)用翻折翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點(diǎn)線關(guān)系不變翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系翻折過程中，角度是否為定值翻折過程中，體積是否存在變化如圖1所示的五邊形中，四邊形為直角梯形，，，，在中，，將沿著折疊使得二面角的大小為，且此時(shí)點(diǎn)到底面的距離為，如圖2所示．

(1)過點(diǎn)是否存在直線，使直線平面？若存在，作出該直線，并寫出作法與理由；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求平面與平面的夾角的正弦值．【答案】(1)存在，答案見解析(2)【分析】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線平行于直線，利用線面平行的判定定理證明平面；（2）首先利用線面垂直的判定定理證明平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線平面，交直線于點(diǎn)，則直線，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求面面角即可.【詳解】（1）過點(diǎn)存在直線，滿足直線平面．作法與理由如下：在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線平行于直線，如圖所示．

因?yàn)椋矫?，平面，所以平面（作法不唯一）．?）取線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，所以．又，所以．因?yàn)?，所以．又，平面，所以平面．在平面?nèi)過點(diǎn)作直線平面，交直線于點(diǎn)，則直線，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以平面．又點(diǎn)到底面的距離為，所以．因?yàn)椋?，所以為二面角的平面角，所以，所以，所以，所以，，，，，于是，，，．設(shè)平面的法向量為n1=則，則，令，得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，則，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則,所以．故平面與平面的夾角的正弦值為．2．如圖1，等腰直角的斜邊，為的中點(diǎn)，沿上的高折疊，使得二面角為，如圖2，為的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．(3)試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)三角形性質(zhì)以及線面垂直判定定理可證明平面，再由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果；方法二：根據(jù)二面角定義作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值；（3）方法一：設(shè)，利用線面角的向量表示計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，滿足題意；方法二：根據(jù)題意作出直線與平面所成角的平面角，計(jì)算可知當(dāng)時(shí)，滿足題意.【詳解】（1）在圖1的等腰直角中，為的中點(diǎn)，則，所以在圖2中，有，，又，平面，所以平面，又平面，可得；因?yàn)槠矫妫允嵌娼堑钠矫娼牵?，所以為正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，可得平面，又平面所以．（2）方法一：以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于軸的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則；所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則；可得平面的一個(gè)法向量為，所以，即二面角的余弦值為．方法二：作于，于，連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．平面，?因?yàn)?，平面MNH，故平面MNH，所以即為二面角的平面角．在中，，，所以，．在中，，，所以，所以，可得．所以二面角的余弦值為.（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．方法一：易知，，設(shè)，則，平面的一個(gè)法向量為．依題意可得，解得或（舍去），所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．方法二：作于，如下圖所示：由（1）知平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，所以即為與平面所成的角．在中，由余弦定理可得，所以．設(shè)，則，，所以，解得或（舍去），所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).3．如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為4，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，連接，得到如圖2所示的四棱錐.(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合平面圖形翻折的性質(zhì)推理即得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【詳解】（1）在菱形中，由，得△是等邊三角形，由是的中點(diǎn)，得，在四棱錐中，由，,平面，得平面，而平面，所以.（2）菱形的邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，，，由（1）知平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸負(fù)方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）則，設(shè)，，由，，得，解得，即，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的正弦值.題型03投影型證明與建系?技巧積累與運(yùn)用投影：1.直接轉(zhuǎn)化為線面垂直與面面垂直。2.投影，與圓的外接圓圓心有關(guān)：斜線長(zhǎng)相等，則射影長(zhǎng)相等。射影長(zhǎng)相等，則垂心為三角形外接圓圓心。證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建系，利用空間向量證明線性垂直；（2）利用空間向量證明線面垂直.【詳解】（1）由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過O點(diǎn)且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.（2）由（1）可得，∵M(jìn)是AP上一點(diǎn)，且AM＝3，∴，可得，設(shè)平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.2．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)在平面上的投影恰好是的重心，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)(3)1【分析】（1）連接，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，再由底面，得到，然后利用線面垂直的判定定理證明；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得的重心為，再由求解.【詳解】（1）解：連接，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面；?），為的中點(diǎn)，底面，取的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，則，解得；（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則的重心為，，則，則線段的長(zhǎng)為1.3．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在平面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)D，且．(1)求點(diǎn)C到側(cè)面的距離；(2)在線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）先由題意證得，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再求出與平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得解；（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，且，從而得到，再利用空間向量線面夾角公式得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求得，由此即可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)，所以平面ABC，又平面ABC，故，，因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，故，所以，，兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，.因?yàn)槭且訟C為斜邊的等腰直角三角形，，所以，，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，又，所以，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，故，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，則存在，使得，則，因?yàn)橹本€DE與側(cè)面所成角的正弦值為，所以，即，解得，又，故，因此存在滿足條件的點(diǎn)，且，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是利用空間向量的線性運(yùn)算求得關(guān)于的表達(dá)式，從而利用空間向量線面夾角公式求得的值，由此得解.題型04斜棱柱型垂線法建系與證明?技巧積累與運(yùn)用斜棱柱垂線型建系如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對(duì)垂線作為xy軸。這類建系，主要難點(diǎn)是分析“空中”的點(diǎn)的坐標(biāo)。空中點(diǎn)坐標(biāo)可以有以下思維：讓空中點(diǎn)垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點(diǎn)坐標(biāo)以及下落的高度借助向量相等，尋找空中點(diǎn)所在線段的向量對(duì)應(yīng)的底面相等向量，即可計(jì)算出空中點(diǎn)的坐標(biāo)如圖，四棱柱的底面是矩形，，，，為的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面平面．(2)若二面角的余弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得的值，即可判斷，進(jìn)而得，再利用線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)二面角的余弦值列方程，可得的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】（1）由，得．設(shè)，則，，則．為的中點(diǎn)，．又，，，平面，平面．由四棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，平面．又平面，平面平面．（2）由（1）知，．平面，平面，．易知兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，．設(shè)平面的法向量，則即取，則，，．二面角的余弦值為，，則．①由，得．②由①②解得，故．2．如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，進(jìn)而可得為的中點(diǎn)，從而可證明，，再根據(jù)線面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，則，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由，可得，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，所以的長(zhǎng)度為.如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．(1)求證：平面平面；(2)若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在正方形中得到，再由三棱柱側(cè)棱平行得到，等腰三角形三線合一得到，從而證明線面垂直；（2）由幾何法得到二面角的平面角，取中點(diǎn)，證明，然后得到平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，由空間向量計(jì)算得出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因是正方形，則，因，故，由，則．因平面，則平面，又平面ABC，故平面平面ABC．（2）如圖，取的中點(diǎn)M，連接DM，易得，因，故即二面角的平面角，即，易得，取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于

，因，∴，故得正三角形，則，由（1）得平面平面，且平面平面，平面，故得平面，∴，∵，∴，∴，，因此可分別以為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，∵，∴，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則.題型05斜棱柱型垂面法建系與證明如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且在底面上的射影為的中點(diǎn)是上的點(diǎn)，平面平面.(1)證明：四邊形為矩形；(2)求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦，再轉(zhuǎn)化為正弦即可.【詳解】（1）連接，由已知得，平面平而.又平面，平面，平面.又，又四邊形為平行四邊形，故四邊形為矩形.（2）由（1）可知平面，平面平面，平面平面平面.平面.又.三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.由（1）平面,平面，平面的一個(gè)法向量為.又，設(shè)平面的法向量為，

即令，，所以，即平面與平面所成角的正弦值為.2．如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，、分別是、的中點(diǎn)，平面平面，，．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，可證得，由面面垂直證明平面，可得⊥，進(jìn)而證得平面，即可證得結(jié)論.（2）由已知可證得知MC，ME，MF兩兩垂直，即可建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求得平面的法向量，利用線面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，是的中點(diǎn)，，所以⊥，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以⊥，因?yàn)槠矫妫云矫?，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以四點(diǎn)共面，則平面.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，平面，所以，故MC，ME，MF兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，，則，，于是，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值.3．（24-25高二上·河南鄭州·期中）在如圖所示的空間幾何體中，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求列式計(jì)算即得.【詳解】（1）由平面平面，平面平面平面，，得平面，而平面，則，由，為的中點(diǎn)，得，又平面，所以平面.（2）過作直線，由平面，得平面，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，則，令，，由四邊形是平行四邊形，得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由（1）知平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，于是，整理得，而，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，此時(shí).題型06等角型建系與證明?技巧積累與運(yùn)用1．如圖，在平行六面體中，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用向量，，表示向量，并求向量的模；(2)證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）將也用，，表達(dá)出來，再根據(jù)向量垂直判定定理即可求解.【詳解】（1）在平行六面體，可得,所以，因?yàn)?，所以；?）由（1）知，，則，根據(jù)向量垂直判定定理可知，所以.2．如圖，已知斜四棱柱的側(cè)面和底面均為全等的菱形，且，．(1)證明：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）解法一：取中點(diǎn)，連接，利用菱形性質(zhì)根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，進(jìn)而得，從而根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理證明即可；解法二：設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用菱形性質(zhì)根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量公式法求解即可.【詳解】（1）解法一：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樾彼睦庵膫?cè)面和底面均為全等的菱形，且，所以和均為等邊三角形，所以，，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕傻酌鏋榱庑?，可知，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．解法二：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，由側(cè)面均為全等的菱形可知，所以，又由底面為菱形可知，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以的交點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸，過且垂直于底面作軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由題知四面體為正四面體，記為的中心，則平面，因?yàn)椋?，則，又由，得，則，故，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，則平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，則平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，所以，故二面角的余弦值為．3．空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱為“空間斜坐標(biāo)系”．類比空間直角坐標(biāo)系，分別為“空間斜坐標(biāo)系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”．(1)若點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標(biāo)；(2)若的斜坐標(biāo)為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用斜坐標(biāo)的定義及向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果；（2）利用空間向量的線性運(yùn)算表示由題可得，，設(shè)平面的法向量為，通過求解法向量方程與賦值求得法向量，以及平面，表示出，利用平面與平面的夾角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）由題可知，，則（提示：斜坐標(biāo)的本質(zhì)是將空間中的向量用基底表示后的系數(shù)），由題可知，，．平面，即則，，則的斜坐標(biāo)為．（2）由題可得，，設(shè)平面的法向量為（提示：設(shè)斜坐標(biāo)系下的法向量，通過求解法向量方程與賦值求得法向量），由得即取，可得，，即．則．由（1）可知平面，且，則，，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分理解“空間斜坐標(biāo)系”以及通過空間向量線性運(yùn)算正確表示出向量是解題關(guān)鍵，本題以新定義下的線面關(guān)系與平面與平面的夾角為背景，考查考生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．屬于較難題.題型07二面角及其延長(zhǎng)線建系與證明?技巧積累與運(yùn)用計(jì)算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個(gè)半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角二面角延長(zhǎng)線型特征：19．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，沿將折起，得到且二面角的大小為，點(diǎn)在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先通過面面平行的性質(zhì)證明，則，再利用三角形相似即可得到答案；（2）利用二面角定義得到，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角余弦值即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，取中點(diǎn)點(diǎn)，分別連接,,則，平面，平面，則平面，又因?yàn)槠矫?，且，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫媾c平面平面相交，則交線，故，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且底面為菱形，故，又在菱形中，，所以，所以.（2）因?yàn)椋?，所以三角形為等邊三角形，所以，而根?jù)折疊過程可知，且平面平面，平面，，因此是二面角的平面角，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意，從而設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令.因此，所以，所求二面角的余弦值是.2．如圖（1），在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連交對(duì)角線于點(diǎn)，將沿對(duì)角線折起得到如圖（2）所示的三棱錐．(1)點(diǎn)是邊上一點(diǎn)且，連，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行定理從而求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.【詳解】（1）連接，如下圖所示，由條件知點(diǎn)是的重心，則得：，因?yàn)椋?，所以得：，所以得：，因?yàn)椋浩矫?，平面，所以：平?（2）設(shè)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間坐標(biāo)系，如（1）中圖所示，因?yàn)椋?，，則為二面角的平面角，所以:，又因?yàn)椋?，，所以：，所?，，，，，所以：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得：即：，解之得：，令：，得：，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面CDE和平面之間夾角為，則：，所以：故答案為：.3．如圖，平面五邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，由等邊三角形性質(zhì)、三角形全等有、，再應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)證結(jié)論；（2）首先證兩兩垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的方向向量、平面的法向量，進(jìn)而求線面角的正弦值.【詳解】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又，則，，，所以△△，即，則，由，、平面，故平面，∵，則，∴平面，又平面，∴．（2）在面內(nèi)作，交于，由平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，在△中，，由余弦定理得，故，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．題型08最值范圍型?技巧積累與運(yùn)用通常做法是先找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，做題時(shí)要充分利用圖形的特征，平常注意總結(jié)截面的做法.1、計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對(duì)于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解．1．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)24(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，根據(jù)等邊三角形可知，再計(jì)算出各個(gè)長(zhǎng)度可知，根據(jù)線面垂直判定定理可證平面，即為三棱柱的高，根據(jù)體積公式求出即可；（2）根據(jù)及余弦定理求出，以為原點(diǎn)建立合適空間直角坐標(biāo)系，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，求出，根據(jù)直線面所成角的正弦值等于線與法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值建立等式，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得范圍.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)為O，因?yàn)闉榱庑?，且，所以為正三角形，又為正三角形且邊長(zhǎng)為4，則，，且，，所以，所以，因?yàn)橛?，由平面，平面，所以平面，所以三棱柱的體積．（2）在中，，，由余弦定理可得，所以，由（1），，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以在平面?nèi)作，則平面，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示則，，，，，，，，設(shè)n=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，即，取得，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行證明．（2）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量夾角公式求二面角即可．【詳解】（1）由平面平面，且兩平面交線為,為中點(diǎn)，，平面，所以平面，由于平面，故，在菱形中，，，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，又，，平面，平面．

（2），設(shè)，則，，，；由（1）知平面，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，又則，，即，令，則，，，，令，則，，，所以，，，即銳二面角的余弦值的取值范圍為．3．如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出二面角的余弦值，再求其范圍.【詳解】（1）∵，，∴．點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離．（2）設(shè)點(diǎn)滿足（）．∵，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個(gè)法向量．易知平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，由，所以，則，所以二面角的余弦值的取值范圍為.題型09特殊幾何體：臺(tái)體型1．）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，D是棱AC的中點(diǎn)，E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn).(1)判斷是否存在點(diǎn)E，使平面.(2)是否存在點(diǎn)E，使平面平面?若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.【答案】(1)存在(2)存在，且與平面所成角的正弦值為【分析】（1）以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，根據(jù)空間向量法結(jié)合平面平面，可求出的值，然后利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）存在，當(dāng)時(shí)，平面；因?yàn)槠矫?，如圖，以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，.因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，則，則，解得，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，?因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以，平?（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，?設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，可得，假設(shè)平面平面，則.由，解得，所以.設(shè)與平面所成的角為，則，所以存在，使平面平面，此時(shí)與平面所成角的正弦值為.2．如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.(1)求該幾何體的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)5(2)【分析】（1）該幾何體的體積可拆分為，先證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求出以及平面的法向量.從而可得點(diǎn)到平面的距離，即可求得，從而得解；（2）用向量法求平面與平面的一個(gè)法向量，再代入平面與平面夾角的余弦公式即可求解.【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)，連接，，則，.因?yàn)槠矫嫫矫?，且交于AC，所以平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.連接BC.因?yàn)?，，所?因?yàn)?，，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則令，得，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，所以，所以該幾何體的體積.（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以所?設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.3．如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得四邊形為平行四邊形可得答案；（2）做交與點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案；（3）求出平面的一個(gè)法向量、點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，根據(jù)與共線得，再由點(diǎn)到平面的距離求出，最后再求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接，因?yàn)?，，所以，所以四點(diǎn)在同一平面上，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，可得四邊形為平行四邊形，所以；?）因?yàn)椋?，，，所以四邊形是等腰梯形，做交與點(diǎn)，可得，所以，且，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，，設(shè)平面與平面所成角的為，所以；（3）由（2）建立的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，得，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，則，因?yàn)榕c共線，，可得，，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，或（舍去），此時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用向量共線求出點(diǎn)的坐標(biāo).題型10五面體等特殊幾何體1．在如圖所示的多面體中，平面平面，且是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）先求得平面ECM與面BCD的法向量，進(jìn)而求得法向量所成角的余弦值；（3）分別求出直線的方向向量與平面的法向量，根據(jù)線面角的向量求法求解即可.【詳解】（1）證明：∵，是的中點(diǎn)，∴，又平面，面，，∵，平面，平面，∴平面，又平面，∴；（2）以為原點(diǎn)，分別以，為，軸，豎直向上為軸，如圖建立坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量m=x1,y1則，取，解得：，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，解得：，，，，記平面與平面所成角為，則，所以平面與平面夾角的余值為．（3），，，，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角為.2．如圖，在多面體中，，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為棱上一點(diǎn)．(1)若，證明：平面；(2)若平面，，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明線面平行：平面，只需證明平面平面（其中點(diǎn)在線段上，），從而只需結(jié)合線面平行的判定定理分別得出平面，平面即可.（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，求出，再求平面的法向量，代入空間線面角公式求出，再由模長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果即可；【詳解】（1）在線段上取一點(diǎn)，使，連結(jié)，則，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，由，得，又，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，所以，即，所以兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，，設(shè)，，所以，即，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，，解得，所以，所以，.3．如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對(duì)的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3).【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，然后得線面垂直，再得面面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；（3）由向量的數(shù)量積為0，確定的軌跡，再由最小值確定其位置，得其坐標(biāo)，然后由空間向量法求線面角．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，所以，因?yàn)?，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)在與圓的交點(diǎn)處，此時(shí)，，設(shè)直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.題型11動(dòng)點(diǎn)型求角度等最大（小）?技巧積累與運(yùn)用計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.1．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.(1)若平面平面，求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.【答案】(1)證明見解析(2)(3)，最大角為【分析】（1）先證明平面，再證明即可得證；（2）計(jì)算出平面的法向量，而平面的一個(gè)法向量為，兩個(gè)法向量的夾角即為所求二面角；（3）設(shè)，求出與平面的夾角的正弦值為，再經(jīng)過適當(dāng)變形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值及取得最大值的條件.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，，所以與平面所成角的余弦值為.（3），，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，取，則，，則與平面的夾角的正弦值為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，所以當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，與平面的夾角的最大值為.2．如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)，時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，若為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.【答案】(1)證明見解析(2)(3)點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)處【分析】（1）利用中位線定與與平行線的傳遞性，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；（2）利用勾股定理與線面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求得平面與平面的法向量，利用空間向量法求面面角的方法即可得解；（3）先利用線面平行的性質(zhì)定理分析得在上，假設(shè)，再利用線面角的空間向量法分析得與平面所成的角時(shí)的值，從而得解.【詳解】（1）取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2），則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動(dòng)點(diǎn)且平面QGM，又平面ABD，平面平面，，故點(diǎn)在OM上，設(shè)，又，，，則，，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)QG與平面所成角為，則最大時(shí)，最大，，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大，即當(dāng)點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)處時(shí)，QG與平面所成角最大.3．棱長(zhǎng)為2的正方體，M為正方體中心，將四棱錐繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）后得到四棱錐，如圖1.

(1)求四棱錐的表面積和體積；(2)若（如圖2），求證：平面平面；(3)求為多少時(shí)，直線與直線DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.【答案】(1)表面積為，體積為(2)證明見解析(3)時(shí)，直線與直線DC所成角最小，最小角的余弦值為【分析】（1）根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式計(jì)算即可；（2）易得平面?平面為同一個(gè)平面，補(bǔ)全正方體，證明為二面角的平面角，再證明即可；（3）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）由題意，，則，所以四棱錐的表面積為，四棱錐的高為，則；（2）若，則平面?平面為同一個(gè)平面，如圖，補(bǔ)全正方體，連接、，則是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

所以平面與平面重合，平面與平面重合，由正方體性質(zhì)可知平面，因?yàn)槠矫妫?，，為二面角的平面角，因?yàn)椋瑒t，同理可得，所以，所以平面平面；（3）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，即，故，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，此時(shí)，即，所以時(shí)，直線與直線DC所成角最小，最小角的余弦值為.題型12壓軸難題第19題1．球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對(duì)于半徑為的球，過球面上一點(diǎn)作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點(diǎn)稱為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點(diǎn)，可以得到經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點(diǎn)稱為球面的頂點(diǎn)；三個(gè)球面角稱為球面的三個(gè)內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個(gè)大圓上的三點(diǎn).(1)球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請(qǐng)直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；(2)與二面角類比，我們稱從點(diǎn)出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn)，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個(gè)面角的余弦值分別為.①求球面的三個(gè)內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.【答案】(1)(2)①，，；②【分析】（1）通過已知條件直接證明三個(gè)平面兩兩垂直，然后由球面角的定義即可得出；（2）使用空間解析幾何方法求出球面的三個(gè)球面角，再證明球面球面的面積，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）（1）由可知在兩個(gè)互相垂直（即交點(diǎn)處切線垂直）的大圓上，從而，故，設(shè)，則，從而，注意到到直線的距離均為，故，所以由知，所以，即，這得到，從而，又在兩個(gè)互相垂直的大圓上，故，從而兩兩垂直，從而由在平面內(nèi)交于點(diǎn)，可知垂直于平面，而在平面和平面內(nèi)，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三個(gè)平面兩兩垂直，故由球面角的定義知，所以球面的內(nèi)角和是.（2）①由已知條件，可設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，不妨設(shè)，設(shè)，則由可知；；，故，不妨設(shè)，則，所以有，設(shè)平面的法向量分別為，并設(shè)，則即，從而，故可以取所以我們有，，，故球面的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別為.②先證明一個(gè)引理.引理：若球面的三個(gè)球面角，設(shè)該球面的面積為，則，引理的證明：記球的表面積為，則，設(shè)的對(duì)徑點(diǎn)分別為，則所在的大圓和所在的大圓，它們將球面分成了四個(gè)部分，其中面積較小的兩個(gè)部分的面積之和等于球的表面積的倍，即，類似可定義，且同理有，而根據(jù)球面被這三個(gè)大圓的劃分情況，又有，所以，故，引理得證，回到原題，根據(jù)①的結(jié)論，有，再由引理知球面的面積.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球面的面積求解定理：若球面的三個(gè)球面角，設(shè)該球面的面積為，則.2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，這點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．(1)已知直線的方程為，直線的方程為．請(qǐng)分別寫出直線和直線的一個(gè)方向向量．(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體Ω的各個(gè)面，求Ω的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．【答案】(1)的一個(gè)方向向量；的一個(gè)方向向量（答案不唯一，符合題意即可）(2)(3)的體積為，相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為【分析】（1）根據(jù)題意即可得直線的方向向量；（2）由直線方程可得兩直線經(jīng)過的點(diǎn)及方向向量，利用兩方向向量求得平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)與法向量可得平面方程；（3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)作出圖形，結(jié)合幾何體的對(duì)稱性求解體積；利用向量夾角求解面面角可得.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量；直線的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量.（2）由題意可知：直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為則為平面內(nèi)一點(diǎn).設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以平面的方程為，即.（3）由集合可知，多面體與坐標(biāo)軸交于各點(diǎn)，，如圖所示，

可知四邊形為正方形，邊長(zhǎng)，所以，正方形的面積為，而正四棱錐的高為，則，所以多面體的體積為.由集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，點(diǎn)均滿足方程.可知平面的方程為，且該平面的一個(gè)法向量為，同理可知，平面的方程為，該平面的一個(gè)法向量為，平面的方程為，該平面的一個(gè)法向量為，所以.由對(duì)稱性可知，任意相鄰兩平面的夾角的余弦值都為.故多面體相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為.綜上，的體積為，相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為.3．已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線，，分別交于點(diǎn)，，且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面.（1）設(shè)，，，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一個(gè)頂點(diǎn)從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形；（3）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）利用向量加減法的幾何意義有，，即可求；（2）假設(shè)四面體的最長(zhǎng)棱為，只需以為頂點(diǎn)的其它兩組棱中或即得證至少存在一個(gè)頂點(diǎn)從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形；（3）由平面，令結(jié)合向量共面定理有，即得一元二次方程在有解，求的范圍且范圍長(zhǎng)度為即得證.【詳解】（1）∵，而，∴，所以.（2）不妨設(shè)是四面體最長(zhǎng)的棱，則在，中，，，∴，即，故，至少有一個(gè)大于，不妨設(shè)，∴，，構(gòu)成三角形.（3）設(shè)，，，由（1）知.又，有，，，∴，，，設(shè)，又∴因?yàn)槠矫妫源嬖趯?shí)數(shù)，使得：，∴∴，消元：在有解.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，有.所以對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、利用向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合幾何圖形表示向量；2、利用三角形的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊(其中假設(shè)第三邊為最長(zhǎng)邊)，即可證是否可組成三角形；3、令，根據(jù)線面平行，結(jié)合向量共面定理得到參數(shù)的方程，進(jìn)而求范圍并且范圍長(zhǎng)度為即可.能力培優(yōu)1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，直線的方向向量為，求直線與平面所角的正弦值；(2)已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體體積為，集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求的值及幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的余弦值.【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用題中概念計(jì)算出平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系計(jì)算即可；（2）分析集合P，利用體積公式求體積即可；利用題目中給定的定義求出法向量，結(jié)合面面角的向量法求解即可．【詳解】（1）由題可知，直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所角為，則，（2）易知：集合表示的幾何體是關(guān)于平面xoy，yoz，zox對(duì)稱的，它們?cè)诘谝回韵薜男螤顬檎忮F，如下圖其中OA、OB、OC兩兩垂直，且，所以，集合Q所表示的幾何圖形也關(guān)于平面xoy，yoz，zox對(duì)稱，在第一卦限內(nèi)的部分如圖（1），如圖2，就是把圖1的幾何圖形進(jìn)行分割的結(jié)果.由平面的方程為：，其法向量為；平面的方程為：，其法向量為.且平面與平面所成的角為鈍角，設(shè)為，則，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)空間想象，結(jié)合學(xué)過的知識(shí)，弄清楚三個(gè)集合表示的幾何圖形的形狀.（2）根據(jù)題設(shè)給出的結(jié)論，由平面的方程可直接得到平面的法向量.利用法向量求平面所成的角.2．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，已知，，將沿翻折，使平面平面.如圖2，的中點(diǎn)為.

(1)求證：平面；(2)若的中點(diǎn)為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)位于線段靠近的三等分點(diǎn)處【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理即可證明；（2）分別以，，為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用面面角的空間向量公式列出方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，根?jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面；（2）取的中點(diǎn)為，連接，則，由圖1直角梯形可知，為正方形，，，，，.由（1）平面，可知，，兩兩互相垂直，分別以，，為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則O0,0,0，，，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z取，則.即平面的法向量為，由平面，取平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或（舍）.所以，線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為.點(diǎn)位于線段靠近的三等分點(diǎn)處.3．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)；(3)若平面，為垂足，直線與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可求得的長(zhǎng)；（3）設(shè)，設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將三棱錐的體積表示為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出的值，可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出平面的法向量，設(shè)，求出的坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，則，

所以，所以，所