PAGE1專題02立體幾何大題綜合歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：存在型證明與計(jì)算題型二：翻折型證明與計(jì)算題型三：投影型證明與計(jì)算題型四：斜棱柱型垂線法建系與證明題型五：斜棱柱型垂面法建系與證明題型六：等角建系與證明題型七：二面角機(jī)器延長(zhǎng)線建系與證明題型八：最值范圍型題型九：特殊幾何體：臺(tái)體型題型十：五面體等特殊幾何體題型十一：動(dòng)點(diǎn)型求角度最大（?。╊}型十二：壓軸難題第19題?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01存在型證明與計(jì)算?技巧積累與運(yùn)用用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)線線垂直：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.(3)面面垂直：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.1．如圖，在三棱錐中，，．

(1)證明：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．2．如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置）.(1)若平面，求的值；(2)若，求的值；若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.如圖，已知四棱柱的底面為菱形，，，，．

(1)若為中點(diǎn)，證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型02翻折型證明與計(jì)算?技巧積累與運(yùn)用翻折翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點(diǎn)線關(guān)系不變翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系翻折過程中，角度是否為定值翻折過程中，體積是否存在變化如圖1所示的五邊形中，四邊形為直角梯形，，，，在中，，將沿著折疊使得二面角的大小為，且此時(shí)點(diǎn)到底面的距離為，如圖2所示．

(1)過點(diǎn)是否存在直線，使直線平面？若存在，作出該直線，并寫出作法與理由；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求平面與平面的夾角的正弦值．2．如圖1，等腰直角的斜邊，為的中點(diǎn)，沿上的高折疊，使得二面角為，如圖2，為的中點(diǎn)．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．(3)試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為4，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，連接，得到如圖2所示的四棱錐.(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.題型03投影型證明與建系?技巧積累與運(yùn)用投影：1.直接轉(zhuǎn)化為線面垂直與面面垂直。2.投影，與圓的外接圓圓心有關(guān)：斜線長(zhǎng)相等，則射影長(zhǎng)相等。射影長(zhǎng)相等，則垂心為三角形外接圓圓心。證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.2．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)在平面上的投影恰好是的重心，求線段的長(zhǎng).3．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在平面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)D，且．(1)求點(diǎn)C到側(cè)面的距離；在線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型04斜棱柱型垂線法建系與證明?技巧積累與運(yùn)用斜棱柱垂線型建系如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對(duì)垂線作為xy軸。這類建系，主要難點(diǎn)是分析“空中”的點(diǎn)的坐標(biāo)。空中點(diǎn)坐標(biāo)可以有以下思維：讓空中點(diǎn)垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點(diǎn)坐標(biāo)以及下落的高度借助向量相等，尋找空中點(diǎn)所在線段的向量對(duì)應(yīng)的底面相等向量，即可計(jì)算出空中點(diǎn)的坐標(biāo)如圖，四棱柱的底面是矩形，，，，為的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面平面．(2)若二面角的余弦值為，求．2．如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，且.(1)證明：平面平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．(1)求證：平面平面；(2)若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．題型05斜棱柱型垂面法建系與證明如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且在底面上的射影為的中點(diǎn)是上的點(diǎn)，平面平面.(1)證明：四邊形為矩形；(2)求平面與平面所成角的正弦值.2．如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，、分別是、的中點(diǎn)，平面平面，，．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.3．（24-25高二上·河南鄭州·期中）在如圖所示的空間幾何體中，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型06等角型建系與證明?技巧積累與運(yùn)用1．如圖，在平行六面體中，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用向量，，表示向量，并求向量的模；(2)證明：.2．如圖，已知斜四棱柱的側(cè)面和底面均為全等的菱形，且，．(1)證明：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.3．空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱為“空間斜坐標(biāo)系”．類比空間直角坐標(biāo)系，分別為“空間斜坐標(biāo)系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”．(1)若點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標(biāo)；(2)若的斜坐標(biāo)為，求平面與平面的夾角的余弦值．題型07二面角及其延長(zhǎng)線建系與證明?技巧積累與運(yùn)用計(jì)算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個(gè)半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角二面角延長(zhǎng)線型特征：19．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，沿將折起，得到且二面角的大小為，點(diǎn)在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.2．如圖（1），在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連交對(duì)角線于點(diǎn)，將沿對(duì)角線折起得到如圖（2）所示的三棱錐．(1)點(diǎn)是邊上一點(diǎn)且，連，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值．3．如圖，平面五邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．題型08最值范圍型?技巧積累與運(yùn)用通常做法是先找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，做題時(shí)要充分利用圖形的特征，平常注意總結(jié)截面的做法.1、計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對(duì)于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解．1．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.3．如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．題型09特殊幾何體：臺(tái)體型1．）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，D是棱AC的中點(diǎn)，E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn).(1)判斷是否存在點(diǎn)E，使平面.(2)是否存在點(diǎn)E，使平面平面?若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.2．如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.(1)求該幾何體的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.3．如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)到平面的距離.題型10五面體等特殊幾何體1．在如圖所示的多面體中，平面平面，且是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的大小.2．如圖，在多面體中，，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為棱上一點(diǎn)．(1)若，證明：平面；(2)若平面，，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)．3．如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對(duì)的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線與直線所成角的余弦值.題型11動(dòng)點(diǎn)型求角度等最大（?。?技巧積累與運(yùn)用計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.1．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.(1)若平面平面，求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.2．如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)，時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，若為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.3．棱長(zhǎng)為2的正方體，M為正方體中心，將四棱錐繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）后得到四棱錐，如圖1.

(1)求四棱錐的表面積和體積；(2)若（如圖2），求證：平面平面；(3)求為多少時(shí)，直線與直線DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.題型12壓軸難題第19題1．球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對(duì)于半徑為的球，過球面上一點(diǎn)作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點(diǎn)稱為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點(diǎn)，可以得到經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點(diǎn)稱為球面的頂點(diǎn)；三個(gè)球面角稱為球面的三個(gè)內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個(gè)大圓上的三點(diǎn).(1)球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請(qǐng)直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；(2)與二面角類比，我們稱從點(diǎn)出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點(diǎn)稱為三面角的頂點(diǎn)，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個(gè)面角的余弦值分別為.①求球面的三個(gè)內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，這點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．(1)已知直線的方程為，直線的方程為．請(qǐng)分別寫出直線和直線的一個(gè)方向向量．(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體Ω的各個(gè)面，求Ω的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．3．已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線，，分別交于點(diǎn)，，且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面.（1）設(shè)，，，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一個(gè)頂點(diǎn)從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形；（3）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上.能力培優(yōu)1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，直線的方向向量為，求直線與平面所角的正弦值；(2)已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體體積為，集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求的值及幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的余弦值.2．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）如圖1，在直角梯形中，已知，，將沿翻折，使平面平面.如圖2，的中點(diǎn)為.

(1)求證：平面；(2)若的中點(diǎn)為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.3．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)；(3)若平面，為垂足，直線與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的長(zhǎng).4．如圖，在圓柱中，點(diǎn)為底面圓周上四點(diǎn)，為圓柱的一條母線，為的中點(diǎn)，．(1)若，，證明：平面；(2)若，，且二面角的余弦值為，求．高考真題1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，