專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差等比數(shù)列基本量的計算及證明（5年5考）考點01等差等比數(shù)列基本量的計算2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計算是必考內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列的通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識，能夠運用方程思想，通過已知條件建立關(guān)于首項、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點，分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等求和方法頻繁考查，要求學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)列的通項公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列本身的知識，還需具備良好的知識遷移能力和綜合運用能力，能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識體系?？键c02等差等比數(shù)列的證明2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海知識2數(shù)列求和（5年5考）考點03含絕對值的數(shù)列求和2023·全國乙卷考點04分組求和法2024·全國甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點05裂項相消法求和2022·新高考全國Ⅰ卷考點06錯位相減法求和2025·全國一卷2025·天津2024·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津知識3數(shù)列綜合（5年5考）考點07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點08數(shù)列與其他知識的綜合2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷考點09數(shù)列新定義2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點01等差等比數(shù)列基本量的計算1．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．考點02等差等比數(shù)列的證明6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．7．（2021·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.8．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．10．（2021·上海·高考真題）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項使其為另一項與的等差中項（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即，，且，，求的最大值.11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．12．（2022·上海·高考真題）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項公式.考點03含絕對值的數(shù)列求和13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．考點04分組求和法14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．16．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.考點05裂項相消法求和17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．考點06錯位相減法求和18．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．19．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．21．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．22．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，且．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（ⅰ）求證：當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．23．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．24．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明考點07等差、等比數(shù)列的綜合25．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．26．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．考點08數(shù)列與其他知識的綜合27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.28．（2023·上?！じ呖颊骖}）令，取點過其曲線作切線交y軸于，取點過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．考點09數(shù)列新定義30．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．31．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．32．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．33．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．34．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．

專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差等比數(shù)列基本量的計算及證明（5年5考）考點01等差等比數(shù)列基本量的計算2024·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計算是必考內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列的通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識，能夠運用方程思想，通過已知條件建立關(guān)于首項、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點，分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等求和方法頻繁考查，要求學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)列的通項公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學(xué)生掌握數(shù)列本身的知識，還需具備良好的知識遷移能力和綜合運用能力，能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識體系。考點02等差等比數(shù)列的證明2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海知識2數(shù)列求和（5年5考）考點03含絕對值的數(shù)列求和2023·全國乙卷考點04分組求和法2024·全國甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點05裂項相消法求和2022·新高考全國Ⅰ卷考點06錯位相減法求和2025·全國一卷2025·天津2024·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津知識3數(shù)列綜合（5年5考）考點07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點08數(shù)列與其他知識的綜合2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·上海2023·新課標(biāo)Ⅰ卷考點09數(shù)列新定義2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點01等差等比數(shù)列基本量的計算1．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時，，解得.綜上，.2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：.(2)由數(shù)列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.5．（2024·上?！じ呖颊骖}）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【詳解】（1）因為的圖象過，故，故即（負(fù)的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因為存在使得成等差數(shù)列，故有解，故，因為，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域為，故即.考點02等差等比數(shù)列的證明6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當(dāng)時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式；7．（2021·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數(shù)列.【點睛】在利用求通項公式時一定要討論的特殊情況.8．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】證明過程見解析【分析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，解得或；當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當(dāng)時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項公式因為，所以，，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項公式，進而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進而得到；選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出及，進而由等差數(shù)列定義進行證明；選②③時，法一：利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結(jié)論.10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項使其為另一項與的等差中項（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即，，且，，求的最大值.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.【分析】（1）根據(jù)等差中項分別驗證求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列，分別計算，即可證明；（3）由或可知或，結(jié)合（2）可求最大值.【詳解】（1）由題意，或，∴，此時，滿足，此時，，所以（2）∵，∴，或，經(jīng)檢驗，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；綜上，、、成等比數(shù)列，公比為；（3）由或，可知或，由第（2）問可知，，∴，，∴，同理，，，∴，同理，，∴的最大值為【點睛】關(guān)鍵點點睛：由，再利用，再結(jié)合①或②，按②變換次，按①變換次，求出，同理求出其他，屬于難題.11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因為，，成等比數(shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，可得當(dāng)時，，又所以12．（2022·上?！じ呖颊骖}）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)7或9；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）利用遞推公式可得，進而可求出；（2）由題意可得，則，從而命題為真命題，給出反例即可得出命題為假命題；（3）由題意可得，，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）因為，所以或，所以可能值為7或9；（2）因為成等差數(shù)列，所以，,所以，逆命題：若，則為等差數(shù)列是假命題，舉例：故命題為假命題，（3）因為，所以，所以，因此，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當(dāng)時，明顯成立；假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，則，即，即命題得證；回到原題，分類討論求數(shù)列的通項公式：1.若，則矛盾；2.若，則，所以，所以，此時，所以，3.若，則，所以，所以，所以（由（2）知對任意成立），所以，與事實上矛盾，綜上.【點睛】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.考點03含絕對值的數(shù)列求和13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.考點04分組求和法14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因為,故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項和.15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.16．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項起，若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項和為：．【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項公式，然后累加求數(shù)列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.考點05裂項相消法求和17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴考點06錯位相減法求和18．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．19．（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導(dǎo)函數(shù)表達式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當(dāng)且時，∴，∴∴.20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，由題設(shè)列出關(guān)于d和的方程求解，再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項公式即可得解；（2）（i）由題意結(jié)合（1）求出和的最大值，再作差比較兩者大小即可證明；（ii）法一：根據(jù)中全為1、一個為0其余為1、2個為0其余為、…、全為0幾個情況將中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來即可得解；法二：根據(jù)元素的特征得到中的所有元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列公比為，則由題得，所以；（2）（i）證明：由（1）或，，當(dāng)時，設(shè)，所以，所以，所以，為中的最大元素，此時恒成立，所以對，均有.（ii）法一：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得中的所有元素由以下系列中所有元素組成：當(dāng)均為1時：此時該系列元素只有即個；當(dāng)中只有一個為0，其余均為1時：此時該系列的元素有共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中只有2個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)中有個為0，其余均為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；…當(dāng)中有個為0，1個為1時：此時該系列的元素為共有個，則這個元素的和為；當(dāng)均為0時：此時該系列的元素為即個，綜上所述，中的所有元素之和為；法二：由（i）得，為中的最大元素，由題意可得，所以的所有的元素的和中各項出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以中的所有元素之和為.21．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.22．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，且．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：1.分析可知當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.23．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.24．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.考點07等差、等比數(shù)列的綜合25．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.【詳解】（1）由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，求和得.（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，取，則，即，當(dāng)時，，取，此時，據(jù)此可得，綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，則數(shù)列的公比滿足，當(dāng)時，，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，其前項和為：.【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.26．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進而由并項求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因為所以要證，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因為，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.考點08數(shù)列與其他知識的綜合27．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計算出的坐標(biāo)即可；（2）思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結(jié)論；思路二：利用點差法和合比性質(zhì)即可證明；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關(guān)的定值即可.思路三：利用點差法得到，，再結(jié)合（2）中的結(jié)論得，最后證明出即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.（2）方法一：由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.方法二：因為，，，則，由于，作差得，，利用合比性質(zhì)知，因此是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個結(jié)論：對平面上三個點，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無關(guān)的定值，所以.方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.方法三：由于，作差得，變形得①，同理可得，由（2）知是公比為的等比數(shù)列，令則②，同時是公比為的等比數(shù)列，則③，將②③代入①，即，從而，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識的結(jié)合，需要綜合運用多方面知識方可得解.28．（2023·上?！じ呖颊骖}）令，取點過其曲線作切線交y軸于，取點過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大?。?3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)(3)存在，【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程后證明，（2）構(gòu)造函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)證明不等式，（3）由等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與方程根的個數(shù)后求解，【詳解】（1），則在處的切線為，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)正整數(shù)時，；（2）作差得，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，所以當(dāng)正整數(shù)時，試比較；（3），令，與單調(diào)性相同，由（2）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故至多有兩解，若成等差數(shù)列，則，故最多項成等差數(shù)列，此時，．而，，令，，顯然時，，故在上單調(diào)遞增，而，，，故有唯一解，存在使得，此時，故存在最多項成等差數(shù)列，29．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當(dāng)時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．考點09數(shù)列新定義30．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進行適當(dāng)?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對進行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進行.回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對②和③進行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個數(shù).首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個.所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗證或探究結(jié)論.31．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接按照的定義寫出即可；（2）解法一：利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進一步說明方程組無解即可；解法二：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列共有8項，可知：，檢驗即可；（3）解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若，分類討論相等得個數(shù)，結(jié)合題意證明即可；若存在序列，使得為常數(shù)列，結(jié)合定義分析證明即可.【詳解】（1）因為數(shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因為，即序列共有8項，由題意可知：，檢驗可知：當(dāng)時，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們設(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時對任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對于序列也是無序的，（?。┤?，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別執(zhí)行個序列、個序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當(dāng)中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個序列、個序列可得，即，因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，因為，可得，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當(dāng)中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，因為為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則為偶數(shù)，且，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，因為為偶數(shù)，則為偶數(shù)，且，即轉(zhuǎn)為④，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因為對任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解，以及對其本質(zhì)的分析.32．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則故；當(dāng)時，則，故；綜上所述：，，，.（2）由題意可知：，且，因為，且，則對任意恒成立，所以，又因為，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，則，又因為，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，（?。┤簦瑒t可取，滿足使得；（ⅱ）若，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得；（ⅲ）若，定義，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，即滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得.綜上所述：存在使得．33．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）先證明，再說明時不合題意，找出且滿足題意的數(shù)列即可得解．【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3）解法一：先