浙江省寧波市2024－2025學年高三下學期高考模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A=x∈Z|x2A．?1,0,1,2 B．0,1,2 C．1,2 D．?1,02．下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間π2A．y=cosx B．y=sinx C．3．已知向量a，b滿足a=2，a?2A．3 B．4 C．6 D．74．設(shè)z=1+i1?i?2iA．0 B．12 C．1 D．5．已知數(shù)列an中，a2=1，記Sn為an的前nA．2023 B．2024 C．2025 D．20266．已知點Ma,0，N2,3到同一直線的距離分別為2，3，若這樣的直線恰有2條，則A．?2,0 B．?2,6 C．0,6 D．2,67．一個長方體墨水瓶的長、寬、高分別為10cm、8cm、15cm，內(nèi)部裝有400毫升墨水.將墨水瓶傾斜，使其一條長邊（10cm）置于水平地面，高邊（15cm）所在直線與水平地面成45度角，則此時墨水與墨水瓶接觸部分的面積為（）A．180 B．220 C．260 D．3008．已知函數(shù)fx=x?ax?b2，其中a<b，5為fx的極小值點.若A．?4,5 B．?4,5 C．?4,114 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下面說法正確的是（）A．若數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x16的方差為8，則數(shù)據(jù)B．若a1C．已知X是隨機變量，則ED．若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越接近于110．國家知識產(chǎn)權(quán)局信息顯示，華為技術(shù)有限公司申請一項名為“三進制邏輯門電路、計算電路、芯片及其電子設(shè)備”的專利，該項專利可以實現(xiàn)大幅度減少二進制邏輯電路的晶體管數(shù)量，降低電路的功耗，提高計算效率.該專利蘊含的數(shù)學背景是一種以3為基數(shù)，以?1，0，1為基本數(shù)碼的計數(shù)體系（對稱三進制）：三進制數(shù)akak?1?a0.b1b2?bt3對應的十進制數(shù)為aA．10F1B．101010C．若n=0.b1b2?D．存在唯一的a1,a11．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD1=2，BC=CCA．存在點F，使得A1F//B．存在點F，使得平面AD1C．不存在點F，使得DD．不存在點F，使得四棱錐F?CDD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．(x2?13．在△ABC中，sinA=8sinBsinC，14．關(guān)于x的方程ex+bx=2（b>0且b≠1）有唯一實數(shù)解，其中e四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=22.（1）若Q是A1N的中點，證明：PQ//平面（2）求A1P與平面16．在1，2，3，…，7這7個自然數(shù)中，任取3個數(shù).（1）求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；（2）設(shè)X為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時X的值是2）.求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望EX17．已知函數(shù)fx（1）當a=1時，討論fx（2）當x≥0時，fx≥0恒成立，求（3）求證：當n∈N?時，18．已知橢圓E:x2m+2+y2=1（1）求橢圓E的方程；（2）若過定點0,2的直線l交橢圓E于點A，B，設(shè)點Q0,12，直線AP與直線BQ交于直線y=19．設(shè)n維向量a=x1,x（1）當n=2時，若c=y2,y1且x1（2）已知n∈N?，記Mn={a?b（?。┣驧3，M（ⅱ）若n≥4，求Mn.（提示：1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：不等式x2?x?2=x?2x+1>0，解得x<?1或x>2，

即集合A={x∈故答案為：A.【分析】解一元二次不等式求得集合A，再利用集合的補集運算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、函數(shù)y=cosx的最小正周期為B、函數(shù)y=sinx的最小正周期為π，且在區(qū)間π2,π上單調(diào)遞減，故B符合；

C、函數(shù)y=tanx的最小正周期為π，且在π2故答案為：B.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷函數(shù)的最小正周期、區(qū)間單調(diào)性判斷即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：a=2，a?2則a?故答案為：D.

【分析】由題意，利用向量數(shù)量積的運算求得a?b=14．【答案】C【解析】【解答】解：z=1+i1?i?2i=故答案為：C.【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法、減法運算法則，化簡復數(shù)為z=?i，再求z即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：數(shù)列an中，Sn為an的前n項和，滿足2Sn=nan①①-②可得2an=nan因為a2=1，所以故答案為：B.【分析】利用an與Sn的關(guān)系，推得an6．【答案】B【解析】【解答】解：易知以Ma,0為圓心，2為半徑的圓為(x?a)以N2,3為圓心，3為半徑的圓為(x?2)由題意可知：兩圓相交，因為|MN|=(2?a)2+9，所以1<|MN|<5，

則1<(2?a)2+9<5，整理可得1<(2?a)2+9<25，即故答案為：B.【分析】由題意可知：以Ma,0，N2,3為圓心的圓分別為(x?a)27．【答案】C【解析】【解答】解：若截面為等腰直角三角形，腰長為a，如圖所示：則12a2若截面為直角梯形，上底長為b，如圖所示：則12×(2b+8)×8=400此時墨水與墨水瓶接觸部分的面積S=2×40+1×10+9×10+8×10=260cm故答案為：C.【分析】分情況討論截面的形狀，由題意結(jié)合棱柱的體積公式求截面相關(guān)邊長，再求墨水與墨水瓶接觸部分的面積即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)fx=x?ax?b2因為a<b，所以2a+b3令f'x>0，解得x∈(?令f'x<0，解得x∈(則極小值點為x=b=5，極大值點為x=2a+bf2a+b且f4b?a所以只需a<2a+b3<a+3≤則?4<a≤114，即a的取值范圍為故答案為：D.【分析】求函數(shù)的定義域，再求導得f'x=3(x?b)(x?2a+b3)，結(jié)合9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x16的方差為8，根據(jù)方差的性質(zhì)可知：數(shù)據(jù)x1B、數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若正整數(shù)m+k=p+q若正整數(shù)m+k=2p，則am+a結(jié)合中位數(shù)定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，易知中位數(shù)為a1C、隨機變量X的方差D(X)≥0，且D(X)=E(X2)?[E(X)]2D、若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故D錯誤.故答案為：BC.【分析】利用方差的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及中位數(shù)定義即可判斷B；根據(jù)D(X)=E(X10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、10F13B、1010103101013F0F0F3C、n=0×3因為bi若全取1時，nmax若全取?1時，nmin由m∈N?，則1?3?m∈(0,1)D、1a1b1=27(a由a1,a2,要使1a4a所以a4?b4=a2此時110103故答案為：ACD.【分析】根據(jù)新定義即可判斷A、B；

由n=0×30+b1×3?1+11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、連接A1D交AD1于點M，

則M,E當F與C重合時，有ME//A1C因ME?平面AD1E，A1C?平面AD1E，故B、因AD12=AD2+DD1由AD∩CD=D且都在平面ABCD內(nèi)，故DD1⊥如下圖所示，

在平面ABCD內(nèi)過D作Dx⊥CD，建立空間直角坐標系D?xyz，則A(32,?12,0)，B(3AE=(?32設(shè)平面AD1E則m?AE=?32設(shè)CF=λCB=λ(32設(shè)平面D1EF的一個法向量為則n?EF=32若平面AD1E⊥平面D1EF所以存在點F，使得平面AD1E⊥C、同B分析，可得D1F=(所以(32λ)所以λ2?2λ+5=10?210所以39λ2?52λ+4=0D、假設(shè)存在球與平面CDD1C1、平面CDF、平面D1如下左視圖，

則GF=32x，CC1=1俯視圖角度，球心O在下底面投影為△FCD的內(nèi)心，則r2要使四棱錐F?CDD1C1有內(nèi)切球，則所以32x3所以3?1故答案為：ABD.【分析】當F與C重合時，應用線面平行的判定定理判斷A；構(gòu)建空間直角坐標系，求出平面AD1E12．【答案】15【解析】【解答】通項公式Tr+1=?6r（x2）6﹣r(?1x)令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開式中的常數(shù)項=?【分析】由已知利用通項公式解得r＝4，即可得出展開式中的常數(shù)項.13．【答案】9【解析】【解答】解：在△ABC中，sinA=8sinBsinC①，cosA=8cosB=?8cos(π?A)=8cosA，則故答案為：9.【分析】由題意，逆用兩角和的余弦公式、三角形內(nèi)角的性質(zhì)整理得sinA=9cosA14．【答案】b>1或b=【解析】【解答】解：令f(x)=ex+bx，顯然f(0)=2f'(x)=ex+當b>1，即lnb>0，則f'(x)>0當0<b<1時f'(x)=bx[(ex∈(?∞,x0)時，fx∈(x0,+∞)時，f且f(x)min=f(x0當x0=0時，當x0>0時，f(x0)<f(0)=2當x0<0時，f(x0)<f(0)=2綜上，b>1或b=1故答案為：b>1或b=1【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+bx，易知x=0是方程ex+15．【答案】（1）證明：以A坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，如圖所示：則A1(0,0,22),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,2,22),C1(2,0,22),N(1,1,22),P(1,1,2),Q(12,12,22)，（2）解：由（1）得A1P=(1,1,?2)，設(shè)直線A1P與平面A1BC所成角為θ，

則sin【解析】【分析】（1）以A坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，利用空間向量法求得n?PQ=0，即可證明PQ//（2）由（1）中的坐標系，利用空間向量法求線面角的正弦值即可.（1）由題意，以A原點，AC,AB,AA1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系所以A1所以A1設(shè)平面A1BC的法向量n=(x,y,z)令z=1，則n=(故n?PQ=0，且PQ?平面A1BC（2）由（1）得A1P=(1,1,?2)，若直線A所以sinθ=|16．【答案】（1）解：記事件A為選取的3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)，

從7個自然數(shù)中任選三個數(shù)，有C73=35種取法；恰有一個偶數(shù)的情況有C42（2）解：由題意可知：隨機變量X的可能值為0,1,2，

X=2時，{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}共有5種，

X=0時，{1,3,5}、{1,3,6}、{1,3,7}、{1,4,6}、{1,4,7}、{1,5,7}、{2,4,6}、{2,4,7}、{2,5,7}、{3,5,7}共有10種，

X=1時，有35?5?10=20種，

則P(X=0)=1035=27，P(X=1)=20X012P241E(X)=0×2【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)求任選三個、恰有一個偶數(shù)的選法數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（2）由題意可得：隨機變量X的可能值為0,1,2，求出對應概率寫出分布列，再求期望即可.（1）從7個自然數(shù)中任選三個有C73=35所以這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率1835（2）由題設(shè)，X的可能值為0,1,2，X=2有{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}共有5種，X=0有{1,3,5}、{1,3,6}、{1,3,7}、{1,4,6}、{1,4,7}、{1,5,7}、{2,4,6}、{2,4,7}、{2,5,7}、{3,5,7}共有10種，X=1有35?5?10=20種，所以P(X=0)=1035=27X的分布列如下，X012P241E(X)=0×217．【答案】（1）解：當a=1時，函數(shù)fx=lnx+1+x2?x定義域為?1，+∞，

f'x=1x+1+2x?1=x(2x+1)x+1，令f'x=0，解得x=0或x=?12，

當?1<x<?12時，f'x（2）解：函數(shù)fx=lnx+1+ax2?xa∈R定義域為?1，+∞，f'x=1x+1+2ax?1，

令g(x)=f'x，則g'(x)=?1(x+1)2+2a，

當x≥0時，fx≥0恒成立，且f(0)=f'0（3）證明：由（2）取a=12，在(0,+∞)上fx=lnx+1+x22?x>0，

令x=【解析】【分析】（1）將a=1代入，求定義域，再求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性即可；（2）應用導數(shù)探討x≥0時，fx≥0恒成立有（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，令x=1k，k∈N（1）由題設(shè)fx=lnx+1+當?1<x<?12，f'x>0當?12<x<0，f'x當x>0，f'x>0，即f（2）由題設(shè)f'x=1x+1對x≥0時，fx≥0恒成立，且f(0)=f'0另一方面，a≥12時，所以g(x)=f'x在[0,+所以fx在[0,+∞)綜上，a≥1（3）由（2）取a=12，在(0,+∞令x=1k，k∈N?，則所以k=1n2[ln18．【答案】（1）解：設(shè)點C(x,y)為橢圓上一點，滿足x2=(m+2)(1?y2)，

點P0,?1，則CP2=x2+(y+1)2=?(1+m)y2+2y+(3+m)，

設(shè)fy=?(1+m)y2+2y+(3+m)，（2）解：由題意，設(shè)直線AB:y=kx+2，A(x由對稱性，不妨設(shè)k<0，此時x1>x2，直線AP和BQ的斜率分別為k1,k2，

聯(lián)立方程組y=kx+2x24+y2=1，整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0，

則Δ=156k2?48(k2+1)=64k2?48>0，解得k2>34，

由韋達定理可得：x1+x2=?16k4k2+1,x1x2=124k2+1，

又由直線AP:y=k1x?1和BQ:y=k2x+12，

聯(lián)立方程組y=k1x?1【解析】【分析】（1）設(shè)點C(x,y)為橢圓上一點，根據(jù)兩點間距離公式可得：CP2=?(1+m)y2+2y+(3+m)，設(shè)fy=?(1+m)（2）由題意，設(shè)直線AB:y=kx+2，直線AP和BQ的斜率分別為k1且x1+x2=?16k4k2+1,x1x2=124k2+1，再由AP:y=（1）解：設(shè)橢圓上的點C(x,y)滿足橢圓的方程x2m+2+可得CP2設(shè)fy=?(1+m)y由?1?m<0，可得fy對應的拋物線開口向下，對稱軸為y=所以fymin=f(1m+1所以橢圓E的方程為x2（2）解：設(shè)直線AB:y=kx+2，且A(x由對稱性，不妨設(shè)k<0，此時x1>x2，直線AP和聯(lián)立方程組y=kx+2x24則Δ=156k2且x1又由直線AP:y=k1x?1聯(lián)立方程組y=k1x?1因為直線AP與直線BQ交于直線y=5所以54(k1?化簡得kx1+3又由求根公式可得x1代入得48k4整理得?4k=54k2解得k2=2528，所以當k=?5714時，直線AB由對稱性知，當k=5714時，也滿足題意，此時直線AB綜上可得，直線AB方程為y=571419．【答案】（1）解：當n=2時，向量a?=x1,x2，b?=y1（2）解：（i）設(shè)a=1,2,3，b=y1,y2,y3，其中y1,y2,y3為1,2,3的排列，

則a?b=y1+2y2+3y3=2(y1+y2+y3)+(y3?y1)=12+y3?y1，

因為y3?y1可能取值有±1,±2，所以M3={10,11,13,14}；

設(shè)a=1,2,3,4，b=y1,y2,y3,y4，其中y1,y2,y3,y4為1,2,3,4的排列，

當y4=4，a?b=16+i=13i?yi=28+y3?y1，y3?y1可能取值有±1,±2，

則a?b可能值為26,27,29,30；

當y4=3，a?b=12+i=13i?yi=26+y3?y1，y3?y1可能取值有±1,±2,±3，

則a?b可能值為23,2