第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省永州市祁陽市第四中學高二下學期期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1,2}，B={0,2,4}，C={x|2lgx<A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{1,2,4}2.若角α的終邊過點(4,3)，則sinα+π2A.45 B.?45 C.33.若z(1+i)=1?i，則z=A.1?i B.1+i C.?i4.已知向量a=(1,4),b=(2,x)，若b//2A.8 B.4 C.2 D.?85.已知雙曲線x2a2?y2A.y=±22x B.y=±6.若a>b>c>A.logab>logbc>logc7.將甲?乙?丙?丁4個人全部分配到A,B,C三個地區(qū)工作，每個地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為(

)A.36種 B.24種 C.18種 D.16種8.科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器．由中國科學院空天信息創(chuàng)新研究院自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇(如圖1)從海拔4300米的中國科學院珠穆朗瑪峰大氣與環(huán)境綜合觀測研究站附近發(fā)放場地升空，最終超過珠峰8848.86米的高度，創(chuàng)造了海拔9032米的大氣科學觀測海拔高度世界紀錄，彰顯了中國實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長45米，高16米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積為(

)

A.2540π B.449π C.562π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某高中從本校的三個年級中隨機調查了五名同學關于生命科學科普知識的掌握情況，五名同學的成績如下：84，72，68，76，80，則(

)A.這五名同學成績的平均數(shù)為78 B.這五名同學成績的中位數(shù)為74

C.這五名同學成績的上四分位數(shù)為80 D.這五名同學成績的方差為3210.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移π6個單位得到，則A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)在區(qū)間[?π6,π3]上單調遞增

C.f(x)的圖象關于直線x=π11.已知拋物線C：y2=4x，焦點為F，直線y=x?1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點作拋物線準線的垂線，垂足分別為P，Q，且M為AB的中點，則(

)A.|AB|=10 B.PF⊥QF

C.梯形APQB的面積是16 D.M到y(tǒng)軸距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在等差數(shù)列an中，若a3+a913.已知函數(shù)f(x)=eax+2x，若f(x)存在大于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍

14.甲、乙兩人爭奪一場羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S8=30+15(1)求數(shù)列an(2)令bn=an2+16.(本小題15分)在①csinA?3acosBcosA=3bcos2A問題：是否存在?ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)17.(本小題15分)某商場為吸引客源推出了為期三天的優(yōu)惠活動，全場購物每滿1000元減300元，即一次購物總金額(未享受優(yōu)惠前)為x元，若x<1000.付款時無優(yōu)惠：若1000≤x<2000.付款時優(yōu)惠300元：若2000≤x<3000，付款時優(yōu)惠600元……，以此類推，某機構在該商場門口隨機采訪了100位購物的顧客，統(tǒng)計他們的購物金額如下表所示，并將購物總金額低于3000元的顧客稱為“理性購物者”，購物總金額不低于3000元的顧客稱為“非理性購物者”．

理性購物者非理性購物者合計男性401050女性252550合計6535100(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為是否為“理性購物者”與性別有關？(2)設甲、乙兩名“非理性購物者相互獨立地來此商場購物，甲、乙兩位顧客的購物總金額(單位：元)在[3000,4000)的概率分別為12，23，在[4000,5000)的概率分別為12，13.甲、乙兩位顧客付款時的優(yōu)惠金額之和為隨機變量參考公式及數(shù)據(jù)：K2=n(ad?bcP0.10.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小題17分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=2，矩形ABEF所在的平面垂直于平面ABCD，設平面BDE與平面ADF的交線為(1)求證：l⊥平面ABCD(2)若二面角E?CD?A的大小為60°，求線段AF的長度．19.(本小題17分)已知動圓過點F(0,1)，且與直線l:y=?1相切，設動圓圓心(1)求曲線C的方程；(2)過l上一點P作曲線C的兩條切線PA,PB，A,B為切點，PA,PB與x軸分別交于M，N兩點．記?AFM，?PMN，?BFN的面積分別為S1、(ⅰ)證明：四邊形FNPM為平行四邊形；(ⅱ)求S22S答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】解對數(shù)不等式求出集合C，再求(A∪【詳解】A∪由2lgx<1，得所以(A∪故選：B．2.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義結合誘導公式計算求解即可．【詳解】因為角α的終邊過點(4,3)，所以cosα=4故選：A3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法的運算性質進行求解即可．【詳解】z=1?故選：C4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可．【詳解】2a+b=(4,8+x)，由b//故選：A．5.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率及a,b,c之間的關系，求出ba【詳解】∵e=c∴b所以雙曲線漸近線方程為y=±故選：D．6.【答案】B

【解析】【分析】利用特值法或利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質即可得到結果．【詳解】(方法一)對選項A：由a>b>c，從而logab<對選項B：首先logcb>logcc=1，logba>log>(從而logcb>對于選項C：由logab<loga對于選項D：可知logcb>故選B(方法二)取a=5，b=4，c=3代入驗證知選項B正確．【點睛】本題考查式子間大小的比較，考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，考查運算能力，屬于?？碱}型．7.【答案】A

【解析】【分析】把4個人按2:1:【詳解】依題意，A,B,C三個地區(qū)中必有一個地區(qū)有2人，先在甲?乙?丙?丁4個人中選2個人有C4與其他2個人一起分配到A,B,C三個地區(qū)，共有C42故選：A8.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式，以及圓柱圓臺的側面積公式，即可求解．【詳解】該組合體的直觀圖如圖：半球的半徑為8米，圓柱的底面半徑為8米，母線長為13米，圓臺的兩底面半徑分別為8米和1米，高為24米，所以半球的表面積為12×4圓柱的側面積為2?π?8×圓臺的側面積為π(8+1)×故該組合體的表面積為128π+208π+225π+π×12=562故選：C9.【答案】CD

【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)以及方差的計算公式即可逐一求解．【詳解】A選項，這五名同學成績的平均數(shù)為68+72+76+80+845=76，B選項，將五名同學的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項，5×75％=3.75，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即D選項，五名同學成績的方差為15(68?76)2故選：CD．10.【答案】AD

【解析】【分析】首先求出函數(shù)解析式f(x)=sin【詳解】因為y=sin2x，向右平移π6對于A：最小正周期為T=2π2對于B：由x∈[?π6,π因為y=sinx在?2所以f(x)在區(qū)間[?π6,對于C：因為fπ所以f(x)的圖象不關于直線x=π3對稱，所以對于D：因為fπ6=sin2×π故選：AD．11.【答案】BD

【解析】【分析】先判斷得直線y=x?1經(jīng)過點F，再聯(lián)立直線與拋物線方程，得到y(tǒng)1+y2,y1y2，進而得到x1+【詳解】對于A，由題意得F(1,0)，則直線y=x?1經(jīng)過點F，聯(lián)立y2=4xy=x?1，消去x設A(x1,則x1+x2=對于B，由題意得P?1,所以kPF?kQF=對于C，由題意可得|AP|PQ|=y所以梯形APQB的面積是12(|對于D，因為xM=12x1+x2故選：BD．12.【答案】52

【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式計算即可．【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列an的公差為d若a3+a則a3故答案為：52．13.【答案】(?∞,?【解析】【分析】先求解導數(shù)，可得aeax+2=0【詳解】f′因為f(x)存在大于0的極值點，所以aeax+2=0存在大于0由aeax+2=0得，x=1a所以0<?2a故答案為：(14.【答案】25【解析】【分析】利用獨立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進行了三局的概率．【詳解】設甲獲得冠軍為事件A，比賽共進行了3局為事件B，則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進行了3局，P(A)=2P(AB)=2所以P(B|故答案為：2515.【答案】【詳解】(1)正項等比數(shù)列{an}的公比設為q，q>0，前n項和為Sn，a10是8a2和6即有2a1q解得q=S8=30+152，可得可得an=((2)bn=an數(shù)列{bn}的前n項和為(2+4+…+2n)+=

【解析】【分析】(1)正項等比數(shù)列{an}的公比設為q，q>0，由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解得首項和公比，即可得到所求通項公式；(2)bn=an【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的分組求和，化簡整理的運算能力，屬于基礎題．16.【答案】【詳解】選條件①：由csinA?因為在?ABC中，A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B)≠0又A∈(0,π)，所以A=π因此，選條件①時，問題中的三角形不存在.(選條件②：由(4?3)sinA?解得sinA=32或sinA=?2(舍去).又a=2，所以b+c=2a=4，由余弦定理，得a2=b所以bc=4.由b+c=4bc=4，解得b=c=2.故?因此，選條件②時，問題中的三角形存在，且c=2．選條件③：由sin(A+π6)=cosA+12，得所以A?π6=π6，所以A=由余弦定理，得a2=4=b2+c2因此，選條件③時，問題中的三角形存在，且c=23

【解析】【分析】若選擇條件①，根據(jù)正弦定理，邊角互化，可得sinCsinA=3cosA(sinAcosB+cosAsinB)【點睛】方法點睛：(1)在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到；(2)解題中注意三角形內角和定理的應用及角的范圍限制．17.【答案】【詳解】(1)由2×K2所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，能認為理性購物者”與性別有關．(2)由題可得，購物總金額在[3000,4000)內，優(yōu)惠300×3=900元，購物總金額在[4000,5000)內，優(yōu)惠300×4=1200元，則隨機變量X的所有可能取值為1800，2100，2400，P(X=1800)=1P(X=2100)=1P(X=2400)=1所以X的分布列為X

180021002400P

131216所以E(X)=1800×

【解析】【分析】(1)根據(jù)2×2聯(lián)表數(shù)據(jù)計算(2)根據(jù)題意可得X的所有可能取值為1800，2100，2400，求出對應概率即可寫出分布列及期望．18.【答案】【詳解】解：(1)因為四邊形ABEF為矩形，所以BE//AF，BE?平面ADF，AF所以BE//平面ADF又BE?平面BDE，平面BDE與平面ADF的交線為l，所以l因為BE⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF所以BE⊥平面ABCD，所以l⊥平面(2)設AB的中點為O，CD的中點為G，EF的中點為M，則OA,OG,OM兩兩垂直，以O為坐標原點，OA,OG,OM的方向分別為x軸、設AF=t(t>0)，則點F的坐標為(1,0,t)，點E的坐標為作DH⊥AB，交AB于點H，在Rt?ADH所以點D的坐標為(12,32,0)設平面CDE的法向量為n1=(x,y,z)，則n令z=3，解得x=0,y=2t，所以平面CDE的一個法向量為n1=(0,2t,因為二面角E?CD?A的大小為60°，所以cos60°=解得t=32(負值不合題意，已舍去)，所以線段AF

【解析】【分析】(1)依題意可得BE//平面ADF，即可得到l//BE，再由面面垂直的性質得到BE(2)建立空間直角坐標系，設AF=t(t>【點睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直