第01講集合的概念內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1集合的概念元素：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡(jiǎn)稱集，用大寫字母A、B、C表示.集合中元素的特征：確定性一個(gè)集合中的元素必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素?zé)o序性集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問(wèn)題一般出現(xiàn)在自然語(yǔ)言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語(yǔ)，例如：“很大”、“著名”等?？疾旎ギ愋缘膯?wèn)題一般是針對(duì)數(shù)字類的題目，注意同一個(gè)數(shù)字不同的表示方法。知識(shí)點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記做；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記做.熟記數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法符號(hào)名稱含義N非負(fù)數(shù)集或自然數(shù)集全體非負(fù)整數(shù)組成的集合N*或正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合R實(shí)數(shù)集全體實(shí)數(shù)組成的集合注意：當(dāng)元素屬于集合時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗(yàn)證集合中的元素是否滿足元素的三個(gè)特征。知識(shí)點(diǎn)3集合的分類與表示集合的分類：（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無(wú)限集；（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點(diǎn)集以及其他集合.表示方法：（1）自然語(yǔ)言描述法.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法。（3）描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．教材習(xí)題01用符號(hào)“”或“”填空：0N；N；0.5Z；Z；Q；R.解題方法是自然數(shù)，則；不是自然數(shù)，則；不是整數(shù)，則；是有理數(shù)，則；是無(wú)理數(shù)，則【答案】教材習(xí)題02判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無(wú)限集；若不能構(gòu)成集合，試說(shuō)明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．解題方法（1）因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；（2）因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無(wú)限的，故該集合為無(wú)限集；（3）因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.【答案】(1)能；有限集；(2)能；無(wú)限集；(3)能；有限集.教材習(xí)題03求下列方程的解集：（1）；（2）解題方法（1），，解得或，故、、、，方程的解集為.（2），，，解得或，方程的解集為.【答案】（1）；（2）.考點(diǎn)一判斷元素能否構(gòu)成集合1．若，則a的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，或，或，?dāng)時(shí)，得，此時(shí)集合為，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)集合為，當(dāng)時(shí)，得無(wú)解，綜上，.故選：A2．下列說(shuō)法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合B．聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)能組成一個(gè)集合C．?dāng)?shù)組成的集合中有7個(gè)元素D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為【答案】B【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹芟矚g足球的同學(xué)沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槁?lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個(gè)集合，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榇嬖?，所以組成的集合中不可能有7個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為，故D錯(cuò)誤；故選：B.3．下列給出的對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的數(shù) C．聰明的人 D．小于3的實(shí)數(shù)【答案】D【詳解】只有選項(xiàng)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成一個(gè)集合．故選：.考點(diǎn)二判斷是否為同一集合1．有下列說(shuō)法：其中正確的說(shuō)法是（

）（1）0與表示同一個(gè)集合（2）由1，2，3組成的集合可表示為或；（3）方程的所有解的集合可表示為；（4）集合是有限集.A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3）【答案】C【詳解】對(duì)于（1），0是元素，不表示集合，為集合，二者不一樣，（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），由集合元素的無(wú)序性知，（2）正確；對(duì)于（3），方程的所有解的集合可表示為，（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），集合是無(wú)限集.故選：C2．下列四組中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】選項(xiàng)A：兩個(gè)集合中元素對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不同，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：集合中的元素具有無(wú)序性，兩個(gè)集合是同一集合，B正確；選項(xiàng)C：兩個(gè)集合研究的對(duì)象不同，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯(cuò)誤.故選：B3．集合與集合表示同一個(gè)集合嗎？【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】是同一個(gè)集合．雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)（字母）不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于3的所有實(shí)數(shù)，故表示同一個(gè)集合．考點(diǎn)三判斷元素與集合之間的關(guān)系（多選題）1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．集合用列舉法表示為B．實(shí)數(shù)集可以表示為{為所有實(shí)數(shù)}或C．能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為D．集合與是同一個(gè)集合【答案】BD【詳解】對(duì)于A，集合中只含有兩個(gè)元素0和1，所以用列舉法表示為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榛ɡㄌ?hào)本身就具有所有的意義，所以在描述內(nèi)容中不能再出現(xiàn)“所有”這樣的字眼，另外表示實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集為錯(cuò)誤表示，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)描述法表示集合可得集合為，故C正確；對(duì)于D，集合為的取值集合，為數(shù)集，集合表示拋物線上點(diǎn)的集合，為點(diǎn)集，所以兩個(gè)集合不是同一個(gè)集合，故D錯(cuò)誤．故選：BD2．若，的值為.【答案】2【詳解】因?yàn)?，所以?或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合中元素有1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合中元素為1,3,1，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），此時(shí)集合中元素為1,3,4，符合題意.故答案為：2（多選題）3．已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說(shuō)法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.【答案】BC【詳解】對(duì)于，若，令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故錯(cuò)誤，對(duì)于，由于集合非空，取任意元素，根據(jù)性質(zhì)①，得，再根據(jù)性質(zhì)②，得，進(jìn)而，故正確，對(duì)于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故正確，對(duì)于，若，則，故錯(cuò)誤，故選：.考點(diǎn)四集合中元素互異性的應(yīng)用1．下列所給對(duì)象不能組成集合的是．（1）高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；（2）某班16歲以下的學(xué)生；（3）某中學(xué)的大個(gè)子；（4）某學(xué)校身高超過(guò)1.80米的學(xué)生．【答案】（1）（3）【詳解】“難題”沒(méi)有判斷標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法判斷一道題是否屬于難題，不滿足集合中元素的“確定性”，故（1）不能組成集合；某班16歲以下的學(xué)生可以組成一個(gè)集合，16及16歲以上的學(xué)生則不在集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定性”，且每個(gè)學(xué)生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（2）可以組成集合；“大個(gè)子”沒(méi)有判斷標(biāo)準(zhǔn)，不知身高多少才能稱為大個(gè)子，不滿足集合中元素的“確定性”，故（3）不能組成集合；某學(xué)校身高超過(guò)1.80米的學(xué)生可以組成一個(gè)集合，身高等于或低于1.80米的學(xué)生則不再集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定性”，且每個(gè)學(xué)生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（4）可以組成集合；故答案為：（1）（3）（多選題）2．若集合，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【詳解】集合，則，解得，知BD符合.故選：BD.3．設(shè)集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C考點(diǎn)五集合的表示方法1．用符號(hào)或填空：3.1N，3.1Z，

3.1，3.1Q，3.1R.【答案】【詳解】因?yàn)椴皇亲匀粩?shù)，也不是整數(shù)，也不是正整數(shù)，是有理數(shù)，也是實(shí)數(shù)，所以有：；；；；.故答案為：，，，，.2．用列舉法表示集合為．【答案】【詳解】由，則，即，又，所以，則.故答案為：.3．把下列集合用另一種方法表示出來(lái)：(1)；(2)由1，2，3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒(méi)有重復(fù)）所組成的一切自然數(shù)；(3)；【答案】(1){且}(2)(3)【詳解】（1）可以表示成{且}；（2）根據(jù)題意可列舉得；（3）易知.考點(diǎn)六集合的分類（判斷題）1．判斷下列命題是否正確．（1）集合與集合表示同一集合；()（2）集合與集合表示同一集合；()（3）集合與集合不表示同一集合；()（4）集合與集合表示同一集合．()【答案】正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤【詳解】（1）集合元素具有無(wú)序性，集合與集合元素相同，故表示同一集合，正確；（2）兩集合為點(diǎn)集，和表示的點(diǎn)不同，所以集合與集合表示兩個(gè)不同的集合，錯(cuò)誤；（3）集合與集合均表示大于3的所有實(shí)數(shù)的集合，所以集合與集合表示同一集合，錯(cuò)誤；（4）集合為數(shù)集，集合為點(diǎn)集，不是同一集合，錯(cuò)誤；故答案為：（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤；（4）錯(cuò)誤.2．下列命題中正確的有（

）．①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；②R表示一切實(shí)數(shù)組成的集合；③給定的一條長(zhǎng)度為0.3的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是有限集；④2023年聯(lián)合國(guó)所有常任理事國(guó)組成一個(gè)集合．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】對(duì)于①，很小的實(shí)數(shù)是個(gè)不確定的概念，不可以構(gòu)成集合，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，R表示一切實(shí)數(shù)組成的集合，故正確；對(duì)于③，給定的一條長(zhǎng)度為0.3的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是無(wú)限集，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，2023年聯(lián)合國(guó)常任理事國(guó)有中國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、法國(guó)、美國(guó)，能組成一個(gè)集合，故正確．故選：C．3．（多選）下列集合是有限集的是（

）A．不超過(guò)π的正整數(shù)構(gòu)成的集合B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，不超過(guò)的正整數(shù)有1，2，3，構(gòu)成的集合是有限集，A對(duì)；對(duì)于B，平方后等于自身的數(shù)有0和1，構(gòu)成的集集合是有限集，B對(duì)；對(duì)于C，高一（2）班中體重在以上的同學(xué)人數(shù)一定，構(gòu)成的集合是有限集，C對(duì)；對(duì)于D，所有小于2的整數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，因此構(gòu)成的集合屬于無(wú)限集.故選：ABC.知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．集合的概念。2．集合中元素的三大特征。3．元素與集合的關(guān)系。4．集合相等。5．集合的表示方法與分類。1．已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，求出集合即可.【詳解】集合，則，所以集合C的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C2．以下對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（

）（1）高一（1）班的高個(gè)子同學(xué)；

（2）所有的數(shù)學(xué)難題；（3）北京市中考分?jǐn)?shù)580以上的同學(xué)；

（4）中國(guó)古代四大發(fā)明；（5）我國(guó)的大河流；

（6）大于3的偶數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】由集合元素三要素逐個(gè)判斷即可.【詳解】（1）（2）（5）的元素不確定，不能構(gòu)成集合．（3）（4）（6）符合集合概念，故選：B3．現(xiàn)有、、、四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】將所得結(jié)果列舉出來(lái)即可.【詳解】現(xiàn)有、、、四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，所得結(jié)果構(gòu)成的集合為.故選：A.4．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)題意求集合，即可判斷元素個(gè)數(shù).【詳解】由題意可得：，可知有3個(gè)元素.故選：B5．集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個(gè)【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【詳解】由題知P表示偶數(shù)集，Q表示奇數(shù)集，R表示所有被4除余1的整數(shù)，新以當(dāng)時(shí)，則a為偶數(shù)，b為奇數(shù)，則一定為奇數(shù)．6．已知，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】討論對(duì)應(yīng)元素，結(jié)合集合中元素的互異性確定參數(shù)值即可.【詳解】若，顯然時(shí)不符合集合元素的互異性；若，不符合集合元素的互異性；若或，不符合集合元素的互異性；綜上，.故選：C7．下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)的意義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)的意義,,故選：C.8．設(shè)集合，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】由元素與集合的關(guān)系求出參數(shù)，求解方程從而得到集合.【詳解】，所以，時(shí)，，解得或，即．故選：D．9．集合的另一種表示法是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合、列舉法表示集合【分析】根據(jù)集合中的限制條件，得到，，利用列舉法表示集合即可做出判定.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以．故選：B.10．已知集合，若且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列式，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】由且，得，解得．故選：A11．已知集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的所有可能值的乘積為（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】分、、三種情況討論，若為一次方程則符合題意，