數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：（為常數(shù)），

等差中項：成等差數(shù)列

前〃項和s“=*h=%+心二1L

22

性質(zhì)：是等差數(shù)列

⑴若，則

（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；

（3）若三個成等差數(shù)列,可設(shè)為

（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則

（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為（）的二次函數(shù)）

的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項，

即：當(dāng)，解不等式組可得達成最大值時的值.

當(dāng)，由可得達成最小值時的值.

（6）項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有

§2〃=〃（4+%〃）=〃伍2+〃2”7）=…+%用）（凡，《川為中間兩項）

S偶一5奇=〃"，^-=—?

（7）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有

§2,1=（2〃-1）%（明為中間項），

,?

2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：（為常數(shù)，），.

等比中項：成等比數(shù)列，或.

前項和：（要注意?。?/p>

性質(zhì)：是等比數(shù)列

⑴若，則

（2）S”，S3n-S2n……仍為等比數(shù)列，公比為

注意：由求時應(yīng)注意什么？

時，；

時，.

3.求數(shù)列通項公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：數(shù)列，，求

解時，，???①

時，②

①一②得：，，，，

［練習(xí)］數(shù)列滿足，求

注意到，代入得；又，???是等比數(shù)列，

2時，4=S“_SR=……=3?4”T

（2）疊乘法

如：數(shù)列中，，求

解，?,?又，工?

（3）等差型遞推公式

由，求，用迭加法

時，兩邊相加得

???%=%+/（2）+〃3）++/（〃）

［練習(xí)］數(shù)列中，，求（）

（4）等比型遞推公式

（為常數(shù)，）

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)

令一??，???是首項為為公比的等比數(shù)列

(5)倒數(shù)法

如：，求

由已知得：，二

?,?為等差數(shù)列，，公差為，???，

._2

(

附：

0=[5(〃=1)

公式法、運用S力一[S“-S“_]QG2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

4+1=”“+4或。?]=+、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納

法、換元法

)

4.求數(shù)列前n項和的常用方法

(1)裂項法

把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.

如：是公差為的等差數(shù)列，求

解：由一^=1=4?)(%())

&?4討氏(4+")八44+J

[練習(xí)]求和:

,S=2-

〃〃+1

(2)錯位相減法

若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列(差比數(shù)列)前項和，可由，求，其中

為的公比.

如:①

X*S〃=x+2x2+Sx3+4x4+.......+-1W"+fix1

②

2

?—?(\-x)Sf)=\+x+x+??????+x'i

時，，時,

(3)倒序相加法

把數(shù)列的各項順序倒寫,再與本來順序的數(shù)列相加.

s“=q+生+……+的+4

相加2s“=(《+4)+(%+4_J+???+(4+4)?,

S“=%+q“+……+生+~

［練習(xí)］已知，則

/⑴+/⑵+佃+〃3)+/(撲/(4)+/9=

<1V

由/3+小)=丁匚+￥^=丁二+4=1

1+x](1y1+x1+x

"r?，1f\W?I

?,?原式=/⑴+/(2)+f-+/(3)+/-+/(4)+/-=-4-1+14-1=3-

I"22

(附:

a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

假如一個數(shù)列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫與倒

著寫的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。我們在

學(xué)知識時，不僅要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類

知識的工具，例如:等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行

求解。運用公式求解的注意事項:一方面要注意公式的應(yīng)用范圍,擬定公式合用于這個

數(shù)列之后，再計算。

c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項,使得前后項相抵消，留下有限項,從而求

出數(shù)列的前n項和。

d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法,應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即

若在數(shù)列｛an-bn｝中，｛an｝成等差數(shù)列,｛bn｝成等比數(shù)列,在和式的兩邊同乘以公比,再

與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。

e.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法重要應(yīng)用于數(shù)列｛an｝滿足an+l=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件

卜，可把這個式子變成an+l-an=f(n),代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一

起,通過整理,可求出,從而求出

anSno

f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和

所