《空間中的垂直關(guān)系》教案教學(xué)目標(biāo)1、掌握直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運用它們進行論證和解決有關(guān)的問題；2、掌握平面與平面垂直的概念和判定定理、性質(zhì)定理，并能運用它們進行推理論證和解決有關(guān)問題；3、在研究垂直問題時，要善于應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”和“降維”的思想，通過線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決.教學(xué)重難點重點：理解空間中三種垂直關(guān)系的定義；掌握空間中三種垂直關(guān)系判定及性質(zhì)；用空間中三種垂直關(guān)系的定義、判定及性質(zhì)解決垂直問題.

難點：空間中三種垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)綜合應(yīng)用.教學(xué)過程一、課前預(yù)習(xí)1、空間中三種垂直關(guān)系是哪三種？2、空間中三種垂直關(guān)系判定方法？3、列舉現(xiàn)實生活中的垂直關(guān)系.二、定義與判定方法1、直線與平面垂直的定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直.2、直線與平面垂直的判定常用方法有：②b⊥α,a∥ba⊥α；（線面垂直性質(zhì)定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性質(zhì)定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性質(zhì)定理）3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：①如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.（a⊥α，b⊥α?a∥b）4、點到平面的距離的定義：從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間的線段的長度叫做這個點到平面的距離.特別注意：點到面的距離可直接向面作垂線，但要考慮垂足的位置，如果垂足的位置不能確定，往往采取由點向面上某一條線作垂線，再證明此垂足即為面的垂足.5、平面與平面垂直的定義及判定定理：（1）定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就說這兩個平面互相垂直.記作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.（簡稱：線面垂直，面面垂直）6、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.（簡稱：面面垂直，線面垂直.）思維方式：判定兩相交平面垂直的常用方法是：線面垂直，面面垂直；有時用定義也是一種辦法.三、典型例題例1、（1）對于直線m、n和平面α、β，α⊥β的一個充分條件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nαC、m∥n，n⊥β，mαD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）設(shè)a、b是異面直線，給出下列命題：①經(jīng)過直線a有且僅有一個平面平行于直線b；②經(jīng)過直線a有且僅有一個平面垂直于直線b；③存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個平行平面；④存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個平面互相垂直.其中錯誤的命題為（）A、①與②B、②與③C、③與④D、僅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α內(nèi)一條直線，n是β內(nèi)一條直線，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；?。簃⊥β且n⊥α.這四個結(jié)論中，不正確的三個是（）解：（1）對于A，平面α與β可以平行，也可以相交，但不垂直.對B，平面α內(nèi)直線n垂直于兩個平面的交線m，直線n與平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直.對D，m⊥α，m∥n則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β.只有C正確，m∥n，n⊥β則m⊥β又mα，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β.故選C.（2）①正確，過a上任一點作b的平行線b′，則ab′確定唯一平面.②錯誤，假設(shè)成立則b⊥該平面，而a該平面，∴a⊥b，但a、b異面卻不一定垂直.③正確，分別過a、b上的任一點作b、a的平行線，由各自相交直線所確定的平面即為所求.④正確，換角度思考兩個垂直的平面內(nèi)各取一直線會出現(xiàn)各種異面形式，綜上所述：僅②錯誤選D（3）丙正確.舉反例：在任一平面中作平行于交線的直線m（或n），在另一平面作交線的垂線n（或m）即可推翻甲、乙、丁三項.思維點撥：解決這類問題關(guān)鍵是注意這是在空間而非平面內(nèi).例2、如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD.PA=a.（1）求證：PC⊥CD.（2）求點B到直線PC的距離.（1）證明：取AD的中點E，連AC、CE，則ABCE為正方形，ΔCED為等腰直角三角形，∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD（2）解：連BE，交AC于O，則BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA=A，∴BE⊥平面PAC過O作OH⊥PC于H，則BH⊥PC，∵PA=a，AC=a,PC=a，∵BO=a，例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面（1）若D是BC的中點，求證AD⊥CC1；（2）過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證截面MBC1⊥側(cè)面BB1C（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C請你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯解分析：（3）的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙地作輔助線.（1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C∴AD⊥側(cè)面BB1C∴AD⊥CC1（2）證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C∴C1N⊥側(cè)面BB1C∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C（3）解：結(jié)論是肯定的，充分性已由（2）證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C∴ME⊥側(cè)面BB1C1C又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥側(cè)面BB1C1C∴AM∥DE∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點∴AM=MA1例4、如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H（1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由（2）設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明（1）證明：∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD∴AD//HG.同理EF∥HG，∴EFGH是平行四邊形∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形（2）作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH面BCP⊥面EFGH，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a,∴AP=a例5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE.求證：（1）A1B1⊥平面BB1C1C（2）A1C⊥BC1；（3）DE⊥平面BB1C1C證明：（1）∵三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，∴側(cè)面與底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1從而A1B1⊥平面BB1C1C（2）由題設(shè)可知四邊形BB1C1C∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C由三垂線定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的側(cè)面均為矩形，而D、E分別為所在側(cè)面對角線的交點，∴D為A1C的中點，E為B1C的中點，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C∴DE⊥平面BB1C1C思維點撥：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明線面垂直.四、小結(jié)1、直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，應(yīng)熟練掌握直線與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，并能依據(jù)條件靈活運用.2、注意線面垂直與線線垂直的關(guān)系和轉(zhuǎn)化.3、距離離不開垂直，因此求距離問題的過程實質(zhì)上是論證線面關(guān)系（平行與垂直）與解三角形的過程，值得注意的是“作、證、算、答”是立體幾何計算題不可缺少的步驟.在證明兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并要有利于證明，不能隨意添加.在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直.解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”，“面面垂直”間的轉(zhuǎn)