電動力學(xué)知識點總結(jié)一、靜電場的基本規(guī)律1.庫侖定律庫侖定律是靜電學(xué)的基礎(chǔ)，它描述了兩個靜止點電荷之間的相互作用力。真空中兩個靜止點電荷$q_1$和$q_2$之間的作用力$F$的大小與它們的電荷量的乘積成正比，與它們之間距離$r$的平方成反比，作用力的方向沿著它們的連線。數(shù)學(xué)表達(dá)式為$F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\hat{r}$，其中$\epsilon_0$是真空介電常數(shù)，$\hat{r}$是從施力電荷指向受力電荷的單位矢量。2.電場強度電場強度是描述電場性質(zhì)的物理量，定義為單位正試探電荷在電場中某點所受的力，即$E=\frac{F}{q_0}$。對于點電荷$q$產(chǎn)生的電場，其電場強度為$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$。電場強度滿足疊加原理，即多個點電荷產(chǎn)生的電場強度等于各個點電荷單獨產(chǎn)生的電場強度的矢量和，$E=\sum_{i=1}^{n}E_i$。3.高斯定理高斯定理是描述靜電場通量與電荷分布關(guān)系的重要定理。通過任意閉合曲面$S$的電通量$\varPhi_E$等于該閉合曲面所包圍的總電荷量$Q_{enc}$除以真空介電常數(shù)$\epsilon_0$，即$\varPhi_E=\oint_SE\cdotdS=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$。高斯定理表明靜電場是有源場，電荷是電場的源。在具有高度對稱性的電場中，利用高斯定理可以方便地計算電場強度。4.環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理指出，靜電場中場強沿任意閉合路徑的線積分等于零，即$\oint_lE\cdotdl=0$。這表明靜電場是保守場，因此可以引入電勢的概念。5.電勢電勢是描述靜電場中能量性質(zhì)的物理量。電場中某點的電勢$V$定義為將單位正試探電荷從該點移到無窮遠(yuǎn)處電場力所做的功，$V=\int_{P}^{\infty}E\cdotdl$。兩點之間的電勢差$\DeltaV=V_A-V_B=\int_{A}^{B}E\cdotdl$。電勢也滿足疊加原理，對于多個點電荷系統(tǒng)，某點的電勢等于各個點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，$V=\sum_{i=1}^{n}V_i$，其中$V_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_i}{r_i}$。二、靜磁場的基本規(guī)律1.畢奧-薩伐爾定律畢奧-薩伐爾定律描述了電流元產(chǎn)生磁場的規(guī)律。電流元$Idl$在空間某點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度$dB$為$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times\hat{r}}{r^2}$，其中$\mu_0$是真空磁導(dǎo)率，$\hat{r}$是從電流元指向場點的單位矢量。對于任意形狀的載流導(dǎo)線，其在空間某點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度$B$等于導(dǎo)線上各個電流元在該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的矢量和，$B=\intdB$。2.安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理指出，磁感應(yīng)強度$B$沿任意閉合路徑$l$的線積分等于該閉合路徑所包圍的電流的代數(shù)和與真空磁導(dǎo)率$\mu_0$的乘積，即$\oint_lB\cdotdl=\mu_0\sum_{i}I_i$。安培環(huán)路定理表明磁場是有旋場。在具有高度對稱性的磁場中，利用安培環(huán)路定理可以方便地計算磁感應(yīng)強度。3.磁場的高斯定理磁場的高斯定理表明，通過任意閉合曲面$S$的磁通量$\varPhi_B$恒等于零，即$\oint_SB\cdotdS=0$。這說明磁場是無源場，磁感線是閉合曲線。4.洛倫茲力運動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力，其表達(dá)式為$F=qv\timesB$，其中$q$是電荷的電荷量，$v$是電荷的運動速度。對于載流導(dǎo)線，安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，安培力公式$dF=Idl\timesB$。三、電磁感應(yīng)和麥克斯韋方程組1.電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律指出，當(dāng)穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢$\varepsilon$，其大小與磁通量的變化率成正比，即$\varepsilon=-\frac{d\varPhi_B}{dt}$。楞次定律確定了感應(yīng)電流的方向，感應(yīng)電流的磁場總是阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。2.位移電流位移電流是麥克斯韋提出的重要概念。位移電流密度$J_d=\frac{\partialD}{\partialt}$，位移電流$I_d=\int_SJ_d\cdotdS=\int_S\frac{\partialD}{\partialt}\cdotdS$。位移電流的引入使得安培環(huán)路定理在非恒定電流情況下仍然成立。3.麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組是經(jīng)典電動力學(xué)的核心，它全面地描述了電磁場的基本規(guī)律。其積分形式為：-$\oint_SD\cdotdS=\sum_{i}q_i$（高斯定理）-$\oint_SB\cdotdS=0$（磁場的高斯定理）-$\oint_lE\cdotdl=-\frac{d\varPhi_B}{dt}$（法拉第電磁感應(yīng)定律）-$\oint_lH\cdotdl=\sum_{i}I_i+\int_S\frac{\partialD}{\partialt}\cdotdS$（安培環(huán)路定理的推廣）其微分形式為：-$\nabla\cdotD=\rho$-$\nabla\cdotB=0$-$\nabla\timesE=-\frac{\partialB}{\partialt}$-$\nabla\timesH=J+\frac{\partialD}{\partialt}$其中$D$是電位移矢量，$H$是磁場強度矢量，$\rho$是電荷體密度，$J$是傳導(dǎo)電流密度。4.介質(zhì)中的麥克斯韋方程組在介質(zhì)中，需要考慮介質(zhì)的極化和磁化效應(yīng)。引入極化強度$P$和磁化強度$M$，電位移矢量$D=\epsilon_0E+P$，磁場強度$H=\frac{B}{\mu_0}-M$。介質(zhì)中的麥克斯韋方程組形式與真空中類似，但需要考慮介質(zhì)的特性。四、電磁波的傳播1.電磁波的波動方程由麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出電磁波的波動方程。在自由空間（$\rho=0$，$J=0$）中，電場強度$E$和磁感應(yīng)強度$B$滿足波動方程$\nabla^2E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partialt^2}=0$和$\nabla^2B-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2B}{\partialt^2}=0$，其中$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$是真空中的光速。2.平面電磁波的性質(zhì)平面電磁波是一種最簡單的電磁波形式。平面電磁波具有以下性質(zhì)：-橫波性：電場強度$E$和磁感應(yīng)強度$B$都與波的傳播方向垂直，即$E\perpB$且$E\perpk$，$B\perpk$，其中$k$是波矢。-$E$和$B$同相位，它們的大小關(guān)系為$B=\frac{E}{c}$。-電磁波的傳播速度等于光速$c$，且電場強度$E$、磁感應(yīng)強度$B$和波矢$k$滿足右手螺旋關(guān)系。3.電磁波的能量和能流密度電磁波攜帶能量，其能量密度$w=\frac{1}{2}(E\cdotD+B\cdotH)$。能流密度（坡印廷矢量）$S=E\timesH$，它表示單位時間內(nèi)通過單位垂直面積的電磁能量。4.電磁波的反射和折射當(dāng)電磁波從一種介質(zhì)傳播到另一種介質(zhì)時，會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。根據(jù)邊界條件和麥克斯韋方程組，可以得到反射定律和折射定律。反射定律指出反射角等于入射角，折射定律（斯涅爾定律）為$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，其中$n_1$和$n_2$分別是兩種介質(zhì)的折射率，$\theta_1$和$\theta_2$分別是入射角和折射角。五、狹義相對論基礎(chǔ)1.狹義相對論的基本假設(shè)-相對性原理：物理定律在所有慣性參考系中都是相同的。-光速不變原理：真空中的光速在所有慣性參考系中都具有相同的數(shù)值$c$，與光源和觀察者的運動狀態(tài)無關(guān)。2.洛倫茲變換洛倫茲變換是狹義相對論中描述不同慣性參考系之間時空坐標(biāo)變換的公式。設(shè)兩個慣性參考系$S$和$S'$，$S'$相對于$S$以速度$v$沿$x$軸正方向運動。則時空坐標(biāo)的洛倫茲變換為：$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，$y'=y$，$z'=z$，$t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$其逆變換為：$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，$y=y'$，$z=z'$，$t=\frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$3.狹義相對論的時空觀-同時的相對性：在一個慣性參考系中同時發(fā)生的兩個事件，在另一個相對運動的慣性參考系中可能不是同時發(fā)生的。-時間延緩：運動時鐘走得慢。若在相對于時鐘靜止的參考系中測得的時間間隔為$\Deltat_0$（固有時間），在相對于時鐘以速度$v$運動的參考系中測得的時間間隔為$\Deltat$，則$\Deltat=\frac{\Deltat_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$。-長度收縮：運動物體在其運動方向上的長度會收縮。若物體在相對于其靜止的參考系中的長度為$L_0$（固有長度），在相對于物體以速度$v$運動的參考系中測得的長度為$L$，則$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$。4.相對論動力學(xué)-相對論質(zhì)量：物體的質(zhì)量$m$與速度$v$的關(guān)系為$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，其中$m_0$是物體的靜止質(zhì)量。-相對論能量：物體的總能量$E=mc^2$，靜止能量$E_0=m_0c^2$，動能$E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2$。-相對論動量：動量$p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，且能量和動量滿足關(guān)系$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$。六、電動力學(xué)中的邊界條件在不同介質(zhì)的分界面上，電磁場需要滿足一定的邊界條件。這些邊界條件可以由麥克斯韋方程組的積分形式推導(dǎo)得到。1.電場的邊界條件-法向分量：$D_{2n}-D_{1n}=\sigma$，其中$\sigma$是分界面上的自由電荷面密度。當(dāng)分界面上沒有自由電荷時，$D_{2n}=D_{1n}$。-切向分量：$E_{2t}=E_{1t}$，這表明電場強度的切向分量在分界面上是連續(xù)的。2.磁場的邊界條件-法向分量：$B_{2n}=B_{1n}$，即磁感應(yīng)強度的法向分量在分界面上是連續(xù)的。-切向分量：$H_{2t}-H_{1t}=K$，其中$K$是分界面上的傳導(dǎo)電流面密度。當(dāng)分界面上沒有傳導(dǎo)電流時，$H_{2t}=H_{1t}$。七、電動力學(xué)中的多極矩展開在處理電荷分布產(chǎn)生的電場時，當(dāng)電荷分布局限在一個小區(qū)域內(nèi)，而場點離電荷分布區(qū)域較遠(yuǎn)時，可以采用多極矩展開的方法。1.單極矩單極矩就是總電荷量$Q=\int\rho(r')dV'$，單極矩產(chǎn)生的電勢$V^{(0)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}$，它描述了電荷分布整體作為一個點電荷產(chǎn)生的電勢。2.偶極矩偶極矩$p=\intr'\rho(r')dV'$，偶極矩產(chǎn)生的電勢$V^{(1)}=\frac{1}{4\