高中數(shù)學(xué)教學(xué)課件集合與常用邏輯用語集合的定義與表示方法集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，常用大寫字母表示。集合中的事物稱為元素，用小寫字母表示。集合的表示方法主要有：列舉法：A={a,b,c,d}描述法：B={x|x是偶數(shù)且x<10}常見數(shù)集介紹自然數(shù)集：N={1,2,3,...}整數(shù)集：Z={...,-2,-1,0,1,2,...}有理數(shù)集：Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}實數(shù)集：R集合間的關(guān)系如果集合A中的每個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。包含關(guān)系：若A?B且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A?B相等關(guān)系：若A?B且B?A，則A=B集合的基本運(yùn)算1并集由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，記作A∪B。數(shù)學(xué)表達(dá)式：A∪B={x|x∈A或x∈B}性質(zhì)：A∪B=B∪A（交換律）A∪(B∪C)=(A∪B)∪C（結(jié)合律）A∪?=A（單位元）2交集由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合，記作A∩B。數(shù)學(xué)表達(dá)式：A∩B={x|x∈A且x∈B}性質(zhì)：A∩B=B∩A（交換律）A∩(B∩C)=(A∩B)∩C（結(jié)合律）A∩?=?（零元）3補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，記作A'或CUA。數(shù)學(xué)表達(dá)式：A'={x|x∈U且x?A}性質(zhì)：(A')'=A（雙重否定律）?'=U，U'=?(A∪B)'=A'∩B'（德·摩根律）(A∩B)'=A'∪B'（德·摩根律）典型例題解析例：設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求：(1)A∪B(2)A∩B(3)A'(4)A∩B'解：(1)A∪B={1,2,3,5,7,9}(2)A∩B={3,5,7}(3)A'={2,4,6,8}命題與邏輯命題的概念與分類命題是能判斷真假的陳述句。根據(jù)真假性可分為：真命題：表述為真的命題假命題：表述為假的命題根據(jù)結(jié)構(gòu)可分為：簡單命題：不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題復(fù)合命題：由簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題邏輯聯(lián)結(jié)詞合?。ㄇ遥簆∧q，當(dāng)且僅當(dāng)p和q都為真時，p∧q為真析?。ɑ颍簆∨q，當(dāng)且僅當(dāng)p和q至少有一個為真時，p∨q為真否定（非）：?p，當(dāng)且僅當(dāng)p為假時，?p為真蘊(yùn)含（如果...那么...）：p→q，當(dāng)且僅當(dāng)p為真且q為假時，p→q為假等價（當(dāng)且僅當(dāng)）：p?q，當(dāng)且僅當(dāng)p和q同為真或同為假時，p?q為真逆否命題與等價命題對于命題p→q：否命題：?p→?q逆命題：q→p逆否命題：?q→?p（與原命題等價）等價命題的關(guān)系：p?q等價于(p→q)∧(q→p)常用的邏輯等價式雙重否定律：?(?p)?p德·摩根律：?(p∧q)??p∨?q，?(p∨q)??p∧?q蘊(yùn)含等價式：p→q??p∨q等價等價式：p?q?(p→q)∧(q→p)例題：判斷下列命題的真假命題：若n2是奇數(shù)，則n是奇數(shù)。分析：設(shè)p為"n2是奇數(shù)"，q為"n是奇數(shù)"，則原命題為p→q。當(dāng)n為偶數(shù)時，n2為偶數(shù)，p為假，此時無論q真假，p→q為真。當(dāng)n為奇數(shù)時，n2為奇數(shù)，p為真，q為真，p→q為真。函數(shù)的概念1函數(shù)定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。自變量x的取值范圍A稱為函數(shù)的定義域函數(shù)值y的取值范圍稱為函數(shù)的值域?qū)?yīng)關(guān)系f稱為函數(shù)的映射法則2函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有以下幾種：解析法：用表達(dá)式直接表示，如y=2x+1列表法：用表格形式列出自變量和因變量的對應(yīng)值圖像法：用坐標(biāo)系中的圖形表示函數(shù)關(guān)系語言描述：用自然語言描述函數(shù)關(guān)系3變量關(guān)系函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)是變量之間的依賴關(guān)系：自變量：可以任意取值的變量因變量：依賴于自變量變化的變量參數(shù)：在特定問題中保持不變的量函數(shù)關(guān)系的核心特征是確定性和唯一性，即自變量的每一個值對應(yīng)因變量的唯一一個值。典型函數(shù)舉例一次函數(shù)一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，其中k、b為常數(shù)，k≠0。圖像特點：圖像是一條直線k表示直線的斜率，b表示直線在y軸上的截距當(dāng)k>0時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時，函數(shù)單調(diào)遞減二次函數(shù)二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)，a≠0。圖像特點：圖像是一條拋物線當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下拋物線的對稱軸為x=-b/(2a)函數(shù)的性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，則：若對任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)若對任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。例如：f(x)=x2是偶函數(shù)，g(x)=x3是奇函數(shù)。周期性如果存在一個正數(shù)T，使得對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。例如：三角函數(shù)sinx,cosx的周期為2π。單調(diào)性與最大最小值設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義：若對區(qū)間I上的任意x?若對區(qū)間I上的任意x?f(x?)，則稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值可通過求導(dǎo)分析或直接比較端點值確定。復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)：若y=f(u)，u=g(x)，則y=f(g(x))是由f和g復(fù)合而成的函數(shù)，記作f°g。反函數(shù)：若函數(shù)y=f(x)在定義域D上是單射，則存在反函數(shù)x=f?1(y)，使得f?1(f(x))=x且f(f?1(y))=y。例題：判斷函數(shù)f(x)=x2-2x+3的單調(diào)區(qū)間解：f'(x)=2x-2=2(x-1)當(dāng)x<1時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)x>1時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增所以，函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)形如y=a^x（a>0且a≠1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。性質(zhì)：定義域：R，值域：(0,+∞)當(dāng)01時，函數(shù)單調(diào)遞增圖像都過點(0,1)在定義域內(nèi)連續(xù)，無跳躍和間斷特殊的指數(shù)函數(shù)：y=e^x（e≈2.718，自然對數(shù)的底數(shù)）y=10^x（常用對數(shù)的底數(shù)）對數(shù)函數(shù)形如y=logax（a>0且a≠1）的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。性質(zhì)：定義域：(0,+∞)，值域：R當(dāng)01時，函數(shù)單調(diào)遞增圖像都過點(1,0)在定義域內(nèi)連續(xù)，無跳躍和間斷特殊的對數(shù)函數(shù)：y=lnx（自然對數(shù)，底數(shù)為e）y=lgx（常用對數(shù)，底數(shù)為10）指數(shù)對數(shù)運(yùn)算規(guī)律指數(shù)運(yùn)算a^m·a^n=a^(m+n)a^m÷a^n=a^(m-n)(a^m)^n=a^(m·n)(ab)^n=a^n·b^n(a/b)^n=a^n/b^n對數(shù)運(yùn)算loga(MN)=logaM+logaNloga(M/N)=logaM-logaNlogaM^n=n·logaMlogaa=1，loga1=0導(dǎo)數(shù)的初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)表示函數(shù)圖像在點(x?,f(x?))處的切線斜率。切線方程：y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)法線方程：若f'(x?)≠0，則法線方程為y-f(x?)=-1/f'(x?)(x-x?)導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在該點變化的快慢程度：f'(x?)>0表示函數(shù)在x?處單調(diào)遞增f'(x?)<0表示函數(shù)在x?處單調(diào)遞減|f'(x?)|越大，函數(shù)在x?處變化越快導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)表示瞬時變化率。物理中常見的瞬時變化率：速度是位移對時間的導(dǎo)數(shù)：v(t)=s'(t)加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)：a(t)=v'(t)=s''(t)電流是電荷對時間的導(dǎo)數(shù)：i(t)=q'(t)簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算基本導(dǎo)數(shù)公式(C)'=0（常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零）(x^n)'=n·x^(n-1)（冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(e^x)'=e^x(lnx)'=1/x導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(u±v)'=u'±v'（和差的導(dǎo)數(shù)）(u·v)'=u'·v+u·v'（乘積的導(dǎo)數(shù)）(u/v)'=(u'·v-u·v')/v2（商的導(dǎo)數(shù)）(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)（復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，鏈?zhǔn)椒▌t）例題求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x-1的導(dǎo)數(shù)。解：f'(x)=(x3)'-(3x2)'+(2x)'-(1)'=3x2-6x+2-0=3x2-6x+2因此，f'(x)=3x2-6x+2三角函數(shù)基礎(chǔ)角的度量與弧度制弧度是角的度量單位，定義為角所對應(yīng)的弧長與半徑的比值?；《扰c角度的換算關(guān)系：1弧度=(180/π)°≈57.3°1°=(π/180)弧度≈0.01745弧度π弧度=180°2π弧度=360°常用角的弧度值：30°=π/6弧度45°=π/4弧度60°=π/3弧度90°=π/2弧度正弦、余弦、正切定義在單位圓上，設(shè)點P(x,y)是角θ對應(yīng)的點，則：sinθ=y（點P的縱坐標(biāo)）cosθ=x（點P的橫坐標(biāo)）tanθ=y/x=sinθ/cosθ（當(dāng)cosθ≠0時）其他三角函數(shù)：cotθ=1/tanθ=cosθ/sinθ（當(dāng)sinθ≠0時）secθ=1/cosθ（當(dāng)cosθ≠0時）cscθ=1/sinθ（當(dāng)sinθ≠0時）三角函數(shù)圖像及性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx定義域：R，值域：[-1,1]周期：2π奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞減零點：x=kπ（k為整數(shù)）余弦函數(shù)y=cosx定義域：R，值域：[-1,1]周期：2π偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[π,2π]上單調(diào)遞增零點：x=(2k+1)π/2（k為整數(shù)）正切函數(shù)y=tanx定義域：{x|x≠(2k+1)π/2,k∈Z}，值域：R周期：π奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱在定義域內(nèi)單調(diào)遞增零點：x=kπ（k為整數(shù)）漸近線：x=(2k+1)π/2（k為整數(shù)）三角函數(shù)的基本公式同角三角函數(shù)關(guān)系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2αtanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα誘導(dǎo)公式奇偶性：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα周期性：sin(α+2π)=sinαcos(α+2π)=cosαtan(α+π)=tanα特殊角公式：sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα和差角公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=2tanα/(1-tan2α)半角公式sin2(α/2)=(1-cosα)/2cos2(α/2)=(1+cosα)/2tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)萬能公式設(shè)t=tan(α/2)，則：sinα=2t/(1+t2)cosα=(1-t2)/(1+t2)tanα=2t/(1-t2)這組公式稱為三角函數(shù)的萬能代換公式，可用于求解含有三角函數(shù)的積分和方程。解三角形正弦定理與余弦定理正弦定理：在任意三角形ABC中，各邊與其對角的正弦之比相等，且等于外接圓直徑的倒數(shù)。\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)其中R為三角形的外接圓半徑。余弦定理：在任意三角形ABC中，任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)正弦定理主要用于已知一邊和兩角（AAS或ASA）或兩邊和一銳角（SSA）的情況。余弦定理主要用于已知三邊（SSS）或兩邊和它們的夾角（SAS）的情況。三角形面積公式S=\(\frac{1}{2}ah\)，其中a為底邊長，h為高S=\(\frac{1}{2}ab\sinC\)，其中C為a、b兩邊的夾角S=\(\frac{1}{2}bc\sinA\)=\(\frac{1}{2}ac\sinB\)S=\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)，其中s=(a+b+c)/2（海倫公式）三角形的五心重心：三條中線的交點內(nèi)心：三條角平分線的交點外心：三條垂直平分線的交點垂心：三條高線的交點旁心：三個旁切圓的圓心典型應(yīng)用題解析例題：已知三角形的兩邊長分別為a=5cm，b=8cm，它們的夾角為C=60°，求這個三角形的面積和第三邊的長度。解：①利用面積公式：S=\(\frac{1}{2}ab\sinC\)=\(\frac{1}{2}\times5\times8\times\sin60°=\frac{1}{2}\times5\times8\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\)cm2②利用余弦定理求第三邊c：c2=a2+b2-2ab·cosC=52+82-2×5×8×cos60°=25+64-2×5×8×0.5=89-40=49所以c=7cm數(shù)列的概念數(shù)列定義與通項數(shù)列是按照一定順序排列的數(shù)的序列，通常表示為a?,a?,a?,...,a?,...，其中a?是首項，a?是第n項，也稱為通項。數(shù)列的表示方法：列舉法：直接寫出數(shù)列的前幾項通項公式法：給出表示第n項的公式a?遞推公式法：給出首項和相鄰項之間的關(guān)系例如：數(shù)列1,3,5,7,9,...的通項公式為a?=2n-1。等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)d，那么這個數(shù)列就是等差數(shù)列，d稱為公差。等差數(shù)列的性質(zhì)：通項公式：a?=a?+(n-1)d前n項和：S?=na?+\(\frac{n(n-1)}{2}\)d=\(\frac{n(a?+a?)}{2}\)等差中項：如果x是a和b的等差中項，則x=(a+b)/2等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)q，那么這個數(shù)列就是等比數(shù)列，q稱為公比。等比數(shù)列的性質(zhì)：通項公式：a?=a?q^(n-1)前n項和：當(dāng)q≠1時，S?=\(\frac{a?(1-q^n)}{1-q}\)；當(dāng)q=1時，S?=na?等比中項：如果x是a和b的等比中項，則x=±√(ab)常見數(shù)列求和公式1+2+3+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2}\)12+22+32+...+n2=\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)13+23+33+...+n3=\(\frac{n2(n+1)2}{4}\)=(\(\frac{n(n+1)}{2}\))2數(shù)列求和例題1等差數(shù)列求和求等差數(shù)列{a?}的前50項和，已知a?=3，a??=199。解：由等差數(shù)列通項公式，a??=a?+49d=199得到：3+49d=199，解得d=4所以，S??=\(\frac{50(a?+a??)}{2}\)=\(\frac{50(3+199)}{2}\)=25×202=50502等比數(shù)列求和求等比數(shù)列{a?}的前8項和，已知a?=3，q=2。解：由等比數(shù)列前n項和公式，S?=\(\frac{a?(1-q^8)}{1-q}\)=\(\frac{3(1-2^8)}{1-2}\)=\(\frac{3(1-256)}{-1}\)=\(\frac{3×(-255)}{-1}\)=3×255=765數(shù)列的應(yīng)用遞推數(shù)列遞推數(shù)列是通過前幾項來確定后續(xù)項的數(shù)列。常見的遞推關(guān)系：一階線性遞推：a???=αa?+β二階線性遞推：a???=αa???+βa?非線性遞推：如a???=a2?遞推數(shù)列的求解方法：找規(guī)律，猜測通項公式數(shù)學(xué)歸納法驗證特征方程法（適用于線性遞推）斐波那契數(shù)列簡介斐波那契數(shù)列是最著名的遞推數(shù)列之一，定義為：F?=1，F(xiàn)?=1F???=F???+F?（n≥1）前幾項：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...斐波那契數(shù)列的通項公式：F?=\(\frac{1}{\sqrt{5}}[((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)]\)數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用數(shù)列在現(xiàn)實生活中有廣泛應(yīng)用：復(fù)利計算：等比數(shù)列用于計算復(fù)利增長的資金人口增長模型：等比數(shù)列可以模擬人口指數(shù)增長攤銷計算：等差數(shù)列用于計算分期付款中的本金減少自然現(xiàn)象：斐波那契數(shù)列在植物生長、動物繁殖等自然現(xiàn)象中廣泛存在藝術(shù)設(shè)計：黃金比例（相鄰斐波那契數(shù)的比值趨近于1.618）在藝術(shù)和建筑設(shè)計中應(yīng)用廣泛算法設(shè)計：遞推關(guān)系在計算機(jī)算法中用于解決動態(tài)規(guī)劃問題實際應(yīng)用案例例題：復(fù)利存款問題小明在銀行存入10000元，年利率為5%，按復(fù)利計算，每年末將利息加入本金繼續(xù)存款。問10年后小明的存款總額是多少？解：設(shè)第n年末的存款總額為a?，則a?=10000由復(fù)利計算公式可知，a???=a?×(1+5%)=a?×1.05這是一個首項為10000，公比為1.05的等比數(shù)列所以a??=a?×q^(10-1)=10000×1.05^9=10000×1.05^9≈10000×1.551=15510元平面向量的基本概念向量的定義與表示向量是既有大小又有方向的量。平面向量可以用有向線段表示，通常記作：\(\vec{a}\)、\(\vec{AB}\)等。向量的表示方法：幾何表示：用有向線段表示代數(shù)表示：用坐標(biāo)表示，如\(\vec{a}=(x,y)\)向量的模長：|\(\vec{a}\)|=\(\sqrt{x^2+y^2}\)單位向量：模長為1的向量，\(\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)零向量：模長為0的向量，記作\(\vec{0}\)向量的加法與減法向量加法：三角形法則：\(\vec{a}+\vec\)為從\(\vec{a}\)起點到\(\vec\)終點的向量平行四邊形法則：\(\vec{a}\)和\(\vec\)為鄰邊，對角線表示和坐標(biāo)表示：\((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)向量減法：\(\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)\)向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘定義：實數(shù)λ與向量\(\vec{a}\)的數(shù)乘表示為λ\(\vec{a}\)，其中：方向：當(dāng)λ>0時，λ\(\vec{a}\)與\(\vec{a}\)同向；當(dāng)λ<0時，λ\(\vec{a}\)與\(\vec{a}\)反向；當(dāng)λ=0時，λ\(\vec{a}\)=\(\vec{0}\)長度：|λ\(\vec{a}\)|=|λ|·|\(\vec{a}\)|坐標(biāo)表示：λ(x,y)=(λx,λy)數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)：(λ+μ)\(\vec{a}\)=λ\(\vec{a}\)+μ\(\vec{a}\)λ(\(\vec{a}\)+\(\vec\))=λ\(\vec{a}\)+λ\(\vec\)(λμ)\(\vec{a}\)=λ(μ\(\vec{a}\))1·\(\vec{a}\)=\(\vec{a}\)向量的線性表示1基本概念若存在一組實數(shù)λ?,λ?,...,λ?，使得向量\(\vec\)=λ?\(\vec{a_1}\)+λ?\(\vec{a_2}\)+...+λ?\(\vec{a_n}\)，則稱\(\vec\)能由\(\vec{a_1}\),\(\vec{a_2}\),...,\(\vec{a_n}\)線性表示。特別地，平面內(nèi)任意向量都可以由兩個不共線的向量線性表示。2坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，任意向量都可以用基向量\(\vec{i}\)=(1,0)和\(\vec{j}\)=(0,1)線性表示：\(\vec{a}\)=(x,y)=x\(\vec{i}\)+y\(\vec{j}\)這種表示方法稱為向量的坐標(biāo)表示。3應(yīng)用舉例例：已知\(\vec{a}\)=(3,1)，\(\vec\)=(2,4)，求向量\(\vec{c}\)=2\(\vec{a}\)-\(\vec\)的坐標(biāo)。解：\(\vec{c}\)=2\(\vec{a}\)-\(\vec\)=2(3,1)-(2,4)=(6,2)-(2,4)=(4,-2)向量的運(yùn)算性質(zhì)向量的平行與垂直兩個非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)平行，當(dāng)且僅當(dāng)存在非零實數(shù)λ，使得\(\vec{a}\)=λ\(\vec\)。記作\(\vec{a}\)∥\(\vec\)。若\(\vec{a}\)=(x?,y?)，\(\vec\)=(x?,y?)，則\(\vec{a}\)∥\(\vec\)當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)（x?≠0，y?≠0）。兩個非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)垂直，當(dāng)且僅當(dāng)它們的數(shù)量積為0，即\(\vec{a}\)·\(\vec\)=0。記作\(\vec{a}\)⊥\(\vec\)。若\(\vec{a}\)=(x?,y?)，\(\vec\)=(x?,y?)，則\(\vec{a}\)⊥\(\vec\)當(dāng)且僅當(dāng)x?x?+y?y?=0。向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，向量\(\vec{AB}\)的坐標(biāo)表示為：\(\vec{AB}\)=(xB-xA,yB-yA)其中(xA,yA)和(xB,yB)分別是點A和點B的坐標(biāo)。向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：\(\vec{a}\)+\(\vec\)=(x?+x?,y?+y?)\(\vec{a}\)-\(\vec\)=(x?-x?,y?-y?)λ\(\vec{a}\)=(λx?,λy?)向量的數(shù)量積與應(yīng)用向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）定義為：\(\vec{a}\)·\(\vec\)=|\(\vec{a}\)|·|\(\vec\)|·cosθ其中θ是\(\vec{a}\)和\(\vec\)的夾角（0≤θ≤π）。坐標(biāo)表示：若\(\vec{a}\)=(x?,y?)，\(\vec\)=(x?,y?)，則\(\vec{a}\)·\(\vec\)=x?x?+y?y?數(shù)量積的性質(zhì)：\(\vec{a}\)·\(\vec\)=\(\vec\)·\(\vec{a}\)（交換律）\(\vec{a}\)·(\(\vec\)+\(\vec{c}\))=\(\vec{a}\)·\(\vec\)+\(\vec{a}\)·\(\vec{c}\)（分配律）(λ\(\vec{a}\))·\(\vec\)=λ(\(\vec{a}\)·\(\vec\))\(\vec{a}\)·\(\vec{a}\)=|\(\vec{a}\)|2數(shù)量積的應(yīng)用：計算向量的夾角：cosθ=\(\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\)判斷兩向量垂直：\(\vec{a}\)·\(\vec\)=0計算向量的投影：\(proj_{\vec}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}\)計算功：W=\(\vec{F}\)·\(\vec{s}\)向量應(yīng)用實例例題：利用向量解三角形問題已知三角形ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(4,3)，C(2,5)，求：(1)三角形的面積；(2)判斷角B是否為直角。解：(1)三角形面積可用向量叉積計算：S=\(\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}|(3,1)\times(1,3)|=\frac{1}{2}|3\cdot3-1\cdot1|=\frac{1}{2}\cdot8=4\)(2)判斷角B是否為直角，即判斷\(\vec{BA}\)與\(\vec{BC}\)是否垂直：\(\vec{BA}\)=(1-4,2-3)=(-3,-1)，\(\vec{BC}\)=(2-4,5-3)=(-2,2)\(\vec{BA}\)·\(\vec{BC}\)=(-3)·(-2)+(-1)·2=6-2=4≠0所以\(\vec{BA}\)與\(\vec{BC}\)不垂直，角B不是直角。立體幾何基礎(chǔ)空間直線與平面空間中的點、直線和平面是立體幾何的基本元素?？臻g中兩條直線的位置關(guān)系：相交：兩直線有且僅有一個公共點平行：兩直線無公共點，且在同一平面內(nèi)異面：兩直線無公共點，且不在同一平面內(nèi)直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)直線與平面平行但不在平面內(nèi)直線與平面相交兩個平面的位置關(guān)系：兩平面重合兩平面平行但不重合兩平面相交成一條直線線面位置關(guān)系平行關(guān)系判定：兩直線平行：若兩直線所在的向量平行直線與平面平行：若直線所在向量與平面法向量垂直兩平面平行：若兩平面的法向量平行垂直關(guān)系判定：兩直線垂直：若兩直線所在的向量垂直直線與平面垂直：若直線所在向量與平面法向量平行兩平面垂直：若兩平面的法向量垂直多面體的基本性質(zhì)棱柱棱柱是由兩個全等、平行的多邊形（底面）和若干個平行四邊形（側(cè)面）所圍成的幾何體。特性：體積：V=Sh（S為底面積，h為高）側(cè)面積：A側(cè)=ph（p為底面周長，h為高）表面積：A=2S+A側(cè)特殊棱柱：長方體：V=abc（a,b,c為三棱長）正方體：V=a3（a為棱長）棱錐棱錐是由一個多邊形（底面）和若干個三角形（側(cè)面）所圍成的幾何體，三角形有一個公共頂點。特性：體積：V=\(\frac{1}{3}\)Sh（S為底面積，h為高）側(cè)面積：各三角形側(cè)面積之和表面積：A=S+A側(cè)特殊棱錐：正四面體：由四個全等的正三角形圍成正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面中心的垂線上歐拉公式對于任何簡單的多面體，頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F之間滿足關(guān)系：V-E+F=2例如：正方體：V=8,E=12,F=6，有8-12+6=2正四面體：V=4,E=6,F=4，有4-6+4=2這一公式是拓?fù)鋵W(xué)中的重要結(jié)論，表明了多面體中頂點、棱和面之間的基本關(guān)系?？臻g向量與立體幾何空間向量的定義與運(yùn)算空間向量是既有大小又有方向的量，可以用有向線段表示?？臻g向量通常表示為\(\vec{a}\)=(x,y,z)?？臻g向量的基本運(yùn)算：加法：\(\vec{a}\)+\(\vec\)=(x?+x?,y?+y?,z?+z?)減法：\(\vec{a}\)-\(\vec\)=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)數(shù)乘：λ\(\vec{a}\)=(λx?,λy?,λz?)模長：|\(\vec{a}\)|=\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)空間向量的數(shù)量積（點積）：\(\vec{a}\)·\(\vec\)=x?x?+y?y?+z?z?=|\(\vec{a}\)|·|\(\vec\)|·cosθ空間向量的叉積（向量積）：\(\vec{a}\)×\(\vec\)=(y?z?-z?y?,z?x?-x?z?,x?y?-y?x?)|\(\vec{a}\)×\(\vec\)|=|\(\vec{a}\)|·|\(\vec\)|·sinθ空間直線與平面方程直線方程：參數(shù)方程：\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\vec{s}\)=(a,b,c)為方向向量兩點式：\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)平面方程：點法式：A(x-x?)+B(y-y?)+C(z-z?)=0，其中\(zhòng)(\vec{n}\)=(A,B,C)為法向量一般式：Ax+By+Cz+D=0三點式：通過三點確定的平面方程立體幾何問題的向量解法例題：利用向量求空間兩直線的夾角已知空間兩直線L?和L?的方向向量分別為\(\vec{s_1}\)=(1,2,2)和\(\vec{s_2}\)=(2,1,-1)，求這兩條直線的夾角。解：兩直線的夾角等于它們的方向向量的夾角，可以用數(shù)量積計算：cosθ=\(\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}=\frac{1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{2+2-2}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{6}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}\)所以，兩直線的夾角θ=arccos\(\frac{2}{3\sqrt{6}}\)≈74.2°例題：求平面方程求過點P(1,2,3)且垂直于向量\(\vec{n}\)=(2,0,-1)的平面方程。解：利用點法式平面方程：2(x-1)+0(y-2)+(-1)(z-3)=0化簡得：2x-z-2+3=0即：2x-z+1=0直線與圓直線方程點斜式：y-y?=k(x-x?)其中(x?,y?)是直線上一點，k是斜率。斜截式：y=kx+b其中k是斜率，b是y軸截距。截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1\)其中a是x軸截距，b是y軸截距。一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)其中斜率k=-A/B（B≠0）。兩點式：\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)其中(x?,y?)和(x?,y?)是直線上的兩點。兩直線的位置關(guān)系設(shè)兩直線方程為A?x+B?y+C?=0和A?x+B?y+C?=0，則：平行：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)重合：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\)相交：\(\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}\)兩直線的夾角：tanθ=|\(\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\)|，其中k?,k?是兩直線的斜率。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2其中(a,b)是圓心坐標(biāo)，r是半徑。一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)，半徑為\(\sqrt{D2/4+E2/4-F}\)。點與圓的位置關(guān)系設(shè)點P(x?,y?)，圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2，則：點在圓內(nèi)：(x?-a)2+(y?-b)2<r2點在圓上：(x?-a)2+(y?-b)2=r2點在圓外：(x?-a)2+(y?-b)2>r2直線與圓的位置關(guān)系1相離設(shè)直線L：Ax+By+C=0，圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2，則直線到圓心的距離為：d=\(\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A2+B2}}\)當(dāng)d>r時，直線與圓相離。2相切當(dāng)d=r時，直線與圓相切于一點。切點坐標(biāo)為：(\(a-\frac{A(Aa+Bb+C)}{A2+B2},b-\frac{B(Aa+Bb+C)}{A2+B2}\))過圓外一點P(x?,y?)作圓的切線的方法：若切點為T(x?,y?)，則向量\(\vec{OT}\)⊥\(\vec{PT}\)，即(x?-a)(x?-x?)+(y?-b)(y?-y?)=03相交當(dāng)d<r時，直線與圓相交于兩點。求交點可將直線方程代入圓方程，得到一個關(guān)于x或y的二次方程，解得兩個交點坐標(biāo)。例如，直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相交，代入得：x2+(kx+b)2=r2(1+k2)x2+2kbx+b2-r2=0解此方程得到兩個交點的x坐標(biāo)，再代回直線方程求y坐標(biāo)。圓錐曲線概述橢圓、雙曲線、拋物線定義橢圓：平面上到兩個定點（焦點）的距離之和為常數(shù)的點的軌跡。雙曲線：平面上到兩個定點（焦點）的距離之差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡。拋物線：平面上到一個定點（焦點）和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離相等的點的軌跡。這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線，因為它們可以通過一個圓錐面與一個平面相交得到。當(dāng)平面與母線平行時，得到拋物線當(dāng)平面與圓錐軸的夾角大于母線與軸的夾角時，得到橢圓當(dāng)平面與圓錐軸的夾角小于母線與軸的夾角時，得到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>b>0)焦點：F?(-c,0),F?(c,0)，其中c2=a2-b2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>0,b>0)焦點：F?(-c,0),F?(c,0)，其中c2=a2+b2漸近線：y=±\(\frac{a}\)x拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px(p>0)焦點：F(p/2,0)準(zhǔn)線：x=-p/2圓錐曲線的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)長軸：2a，短軸：2b離心率：e=c/a，表示橢圓偏離圓的程度，0準(zhǔn)線：x=±a/e到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比等于離心率反射性質(zhì)：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，一定通過另一個焦點雙曲線的幾何性質(zhì)實軸：2a，虛軸：2b離心率：e=c/a，表示雙曲線的"扁平度"，e>1準(zhǔn)線：x=±a/e到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比等于離心率漸近線是雙曲線的無限接近線拋物線的幾何性質(zhì)對稱軸：y=0頂點：原點O(0,0)焦距：p/2，表示焦點到頂點的距離準(zhǔn)線與頂點的距離也為p/2反射性質(zhì)：平行于對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后，匯聚于焦點橢圓的性質(zhì)與應(yīng)用焦點與離心率橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>b>0)焦點：F?(-c,0),F?(c,0)，其中c2=a2-b2離心率：e=c/a=\(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，其中0離心率表示橢圓偏離圓的程度：當(dāng)e接近0時，橢圓接近圓形當(dāng)e接近1時，橢圓變得非常扁平當(dāng)e=0時，橢圓變成圓準(zhǔn)線：x=±a/e橢圓上任意點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比等于離心率。當(dāng)橢圓的長軸在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)椋篭(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)此時焦點為F?(0,-c),F?(0,c)，其中c2=a2-b2橢圓的對稱性橢圓關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。橢圓關(guān)于x軸對稱。橢圓關(guān)于y軸對稱。這意味著如果點P(x?,y?)在橢圓上，則點P?(-x?,y?)、P?(x?,-y?)和P?(-x?,-y?)也在橢圓上。典型例題講解1求橢圓方程求過點P(3,2)且離心率為\(\frac{1}{2}\)，焦點在x軸上的橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)已知e=c/a=1/2，則c=a/2，又c2=a2-b2，所以：a2/4=a2-b2，整理得b2=3a2/4由點P(3,2)在橢圓上，有：\(\frac{3^2}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1\)代入b2=3a2/4，得：\(\frac{9}{a^2}+\frac{4}{3a^2/4}=1\)化簡：\(\frac{9}{a^2}+\frac{16}{3a^2}=1\)\(\frac{27+16}{3a^2}=1\)\(\frac{43}{3a^2}=1\)a2=43/3，所以b2=3a2/4=3·43/(4·3)=43/4因此橢圓方程為：\(\frac{x^2}{43/3}+\frac{y^2}{43/4}=1\)即：\(\frac{3x^2}{43}+\frac{4y^2}{43}=1\)2求焦點和離心率求橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點坐標(biāo)和離心率。解：比較標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，得a2=16，b2=9所以a=4，b=3c2=a2-b2=16-9=7，所以c=√7焦點坐標(biāo)：F?(-√7,0)，F(xiàn)?(√7,0)離心率：e=c/a=√7/4≈0.6613橢圓的應(yīng)用橢圓在實際中有許多應(yīng)用：行星軌道：開普勒第一定律指出，行星繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上橢圓形拱橋：具有很好的承重性能醫(yī)學(xué)應(yīng)用：體外震波碎石技術(shù)利用橢圓的反射性質(zhì)，將震波聚焦在腎結(jié)石上建筑聲學(xué)：橢圓形的耳語廊利用聲音反射性質(zhì)，一個焦點處的聲音可以在另一個焦點處清晰聽到雙曲線的性質(zhì)雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線是平面上到兩個定點（焦點）的距離之差的絕對值為常數(shù)的點的軌跡。這個常數(shù)等于雙曲線的實軸長2a。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在x軸上）：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>0,b>0)參數(shù)關(guān)系：焦點：F?(-c,0),F?(c,0)，其中c2=a2+b2實軸：x軸上長度為2a的線段虛軸：y軸上長度為2b的線段頂點：A?(-a,0),A?(a,0)當(dāng)焦點在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)椋篭(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)(a>0,b>0)此時焦點為F?(0,-c),F?(0,c)，其中c2=a2+b2頂點為B?(0,-a),B?(0,a)漸近線與離心率漸近線：雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線是兩條相交直線：y=±\(\frac{a}\)x漸近線是雙曲線的無限接近線，當(dāng)x趨于無窮大時，雙曲線上的點到漸近線的距離趨近于零。離心率：e=c/a=\(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)離心率表示雙曲線的"扁平度"，e恒大于1。準(zhǔn)線：x=±a/e雙曲線上任意點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離之比等于離心率。應(yīng)用實例分析方程求解求雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程。解：比較標(biāo)準(zhǔn)方程，得a2=9，b2=4，所以a=3，b=2c2=a2+b2=9+4=13，所以c=√13焦點坐標(biāo)：F?(-√13,0)，F(xiàn)?(√13,0)離心率：e=c/a=√13/3≈1.202漸近線方程：y=±\(\frac{a}\)x=±\(\frac{2}{3}\)x雙曲線的應(yīng)用雙曲線在現(xiàn)實生活中有許多應(yīng)用：天體運(yùn)動：彗星繞太陽的軌道通常是雙曲線，太陽位于雙曲線的一個焦點上導(dǎo)航系統(tǒng)：利用雙曲線定位原理的LORAN（遠(yuǎn)程導(dǎo)航系統(tǒng)）冷卻塔：許多核電站的冷卻塔是由雙曲面設(shè)計的，這種結(jié)構(gòu)具有很好的穩(wěn)定性反射鏡：雙曲面反射鏡用于天文望遠(yuǎn)鏡中，能有效收集和聚焦光線雙曲線與橢圓的關(guān)系雙曲線和橢圓有很多相似之處，也有重要區(qū)別：兩者都是二次曲線，標(biāo)準(zhǔn)方程形式相似橢圓是封閉曲線，而雙曲線是開放曲線橢圓的離心率01雙曲線有漸近線，橢圓沒有兩者都具有反射性質(zhì)，可用于設(shè)計特殊聲學(xué)或光學(xué)系統(tǒng)拋物線的性質(zhì)拋物線的定義與焦點拋物線是平面上到一個定點（焦點）和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離相等的點的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程（開口向右）：y2=2px(p>0)其中，p表示焦點到頂點的距離，也是準(zhǔn)線到頂點的距離。幾何參數(shù)：焦點：F(p/2,0)準(zhǔn)線：x=-p/2頂點：原點O(0,0)對稱軸：x軸根據(jù)開口方向不同，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式：開口向右：y2=2px(p>0)開口向左：y2=-2px(p>0)開口向上：x2=2py(p>0)開口向下：x2=-2py(p>0)對稱軸與準(zhǔn)線對稱軸是通過焦點垂直于準(zhǔn)線的直線。拋物線關(guān)于對稱軸對稱。拋物線上任意點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離。這是拋物線的定義性質(zhì)。焦半徑：對于拋物線y2=2px上的點P(x?,y?)，其到焦點的距離為：|PF|=x?+p/2拋物線的實際應(yīng)用光學(xué)應(yīng)用拋物線的反射性質(zhì)：平行于拋物線軸的光線經(jīng)拋物線反射后，匯聚于焦點；從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，與軸平行。應(yīng)用：拋物面天線：接收從遠(yuǎn)處平行到來的電磁波信號，聚集到焦點處的接收器上反射鏡：手電筒、汽車前燈、天文望遠(yuǎn)鏡中的拋物面反射鏡太陽能聚焦系統(tǒng)：將太陽光聚焦于焦點處的接收器，提高能量利用效率物理應(yīng)用拋物線在物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用：拋體運(yùn)動：在忽略空氣阻力的情況下，拋體的運(yùn)動軌跡是拋物線水流噴泉：水平噴出的水流在重力作用下形成拋物線懸索橋：均勻載荷下的懸索呈拋物線形狀電場中帶電粒子的運(yùn)動軌跡往往是拋物線工程應(yīng)用拋物線在工程領(lǐng)域的應(yīng)用：建筑結(jié)構(gòu)：拱橋、拱頂設(shè)計中采用拋物線形狀，具有優(yōu)良的力學(xué)特性運(yùn)動場跑道：部分田徑場跑道的彎道設(shè)計成拋物線形狀防洪堤壩：部分堤壩的橫截面設(shè)計成拋物線形狀，能有效抵抗水壓道路設(shè)計：高速公路的立交橋設(shè)計中常用拋物線來確保平滑過渡等式與不等式基本不等式算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)不等式（AM-GM不等式）：對于任意n個正實數(shù)a?,a?,...,a?，有：\(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1\cdota_2\cdot...\cdota_n}\)當(dāng)且僅當(dāng)a?=a?=...=a?時等號成立。對于n=2的特殊情況：\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)柯西-施瓦茨不等式：對于任意實數(shù)a?,a?,...,a?和b?,b?,...,b?，有：\((a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)λ，使得a?:a?:...:a?=b?:b?:...:b?時等號成立。絕對值不等式三角不等式：對于任意實數(shù)a和b，有：|a+b|≤|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時等號成立。絕對值基本不等式：對于任意實數(shù)a和b，有：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|不等式證明技巧放縮法：用已知不等式代替原不等式中的部分表達(dá)式。分類討論法：根據(jù)變量的不同情況分別討論。數(shù)學(xué)歸納法：適用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式。反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，推導(dǎo)出矛盾。構(gòu)造法：構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)或表達(dá)式。變量替換：通過適當(dāng)替換簡化不等式。不等式應(yīng)用舉例1最值問題例：求函數(shù)f(x)=x+\(\frac{4}{x}\)(x>0)的最小值。解：利用AM-GM不等式，有：x+\(\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=2\sqrt{4}=4\)當(dāng)且僅當(dāng)x=\(\frac{4}{x}\)，即x=2時等號成立。所以f(x)的最小值為4，當(dāng)x=2時取到。2不等式證明例：證明對于任意正實數(shù)a、b、c，有：\(\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}\)解：對于每一項，應(yīng)用AM-GM不等式：\(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\cdot\frac{a+c}{a+c}=\frac{a(a+c)}{(b+c)(a+c)}=\frac{a^2+ac}{(b+c)(a+c)}\)由于\(\frac{b+c}{2}\geq\sqrt{bc}\)，所以\(b+c\geq2\sqrt{bc}\)因此\(\frac{a}{b+c}\geq\frac{a}{2\sqrt{bc}}=\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)同理可得\(\frac{a+c}\geq\frac{2\sqrt{ac}}\)，\(\frac{c}{a+b}\geq\frac{c}{2\sqrt{ab}}\)所以\(\frac{a}{b+c}+\frac{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{a}{2\sqrt{bc}}+\frac{2\sqrt{ac}}+\frac{c}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}(\frac{a}{\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}+\frac{c}{\sqrt{ab}})\)應(yīng)用柯西不等式可證明\(\frac{a}{\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}+\frac{c}{\sqrt{ab}}\geq3\)因此原不等式成立，且當(dāng)a=b=c時等號成立。3實際應(yīng)用例：一個矩形的周長為100厘米，求矩形的最大面積。解：設(shè)矩形的長為a，寬為b，則2a+2b=100，即a+b=50。矩形的面積S=ab。根據(jù)AM-GM不等式，\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，即\(25\geq\sqrt{ab}\)所以\(ab\leq625\)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=25時等號成立。因此，當(dāng)矩形為正方形時，面積最大，最大面積為625平方厘米。計數(shù)原理與概率基礎(chǔ)加法與乘法原理加法原理：若完成一件事可以有n種不同的方法，完成另一件事可以有m種不同的方法，并且這兩件事不能同時完成，則完成其中一件事的方法數(shù)為n+m。加法原理推廣：若完成一件事可分為k個互斥的情況，第i種情況有ni種不同的方法，則完成這件事的方法數(shù)為n?+n?+...+nk。乘法原理：若完成一件事需要分步進(jìn)行，第一步有n種不同的方法，第二步有m種不同的方法，則完成這件事的方法數(shù)為n×m。乘法原理推廣：若完成一件事需要分k步進(jìn)行，第i步有ni種不同的方法，則完成這件事的方法數(shù)為n?×n?×...×nk。排列與組合基礎(chǔ)排列：從n個不同元素中取出m個元素，按照一定順序排成一列，稱為從n個元素中取m個元素的排列，記作P(n,m)或Pnm。P(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\(\frac{n!}{(n-m)!}\)特別地，P(n,n)=n!，表示n個不同元素的全排列。組合：從n個不同元素中取出m個元素，不考慮元素的順序，稱為從n個元素中取m個元素的組合，記作C(n,m)或Cnm。C(n,m)=\(\frac{P(n,m)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)簡單概率計算古典概型：在一個隨機(jī)試驗中，如果所有可能的基本結(jié)果有有限個，且這些基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，則該隨機(jī)試驗屬于古典概型。事件A的概率計算公式：P(A)=\(\frac{n(A)}{n(S)}\)其中n(A)表示事件A包含的基本結(jié)果數(shù)，n(S)表示樣本空間S中基本結(jié)果總數(shù)。條件概率：已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)（當(dāng)P(B)>0時）乘法公式：P(A∩B)=P(B)·P(A|B)=P(A)·P(B|A)全概率公式：若B?,B?,...,Bn是一組互斥且完備的事件，則對任意事件A有：P(A)=P(B?)·P(A|B?)+P(B?)·P(A|B?)+...+P(Bn)·P(A|Bn)貝葉斯公式：在全概率公式的條件下，有：P(Bi|A)=\(\frac{P(B_i)·P(A|B_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)·P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)·P(A|B_j)}\)實例分析排列組合問題例：從10名學(xué)生中選出3名學(xué)生參加比賽，問有多少種不同的選法？如果還要在這3人中指定一人為隊長，又有多少種不同的方法？解：(1)選出3名學(xué)生，不考慮順序，是組合問題：C(10,3)=\(\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10·9·8}{3·2·1}=120\)(2)先選出3人，再從3人中選1人為隊長：C(10,3)×C(3,1)=120×3=360或者看作從10人中先選1人為隊長，再從剩下9人中選2人：C(10,1)×C(9,2)=10×36=360概率問題例：一個盒子中有3個紅球，2個白球，隨機(jī)取出2個球，求取出的兩球都是紅球的概率。解：樣本空間S是從5個球中取出2個球的所有可能結(jié)果，|S|=C(5,2)=10事件A"取出的兩球都是紅球"對應(yīng)的基本結(jié)果數(shù)為從3個紅球中取出2個球的方法數(shù)，|A|=C(3,2)=3所以P(A)=|A|/|S|=3/10=0.3貝葉斯問題例：某種疾病的發(fā)病率為0.1%。某種檢測方法對該病的準(zhǔn)確率為：患病者呈陽性的概率為99%，未患病者呈陰性的概率為98%。若某人檢測呈陽性，求他真正患病的概率。解：設(shè)A為"患病"事件，B為"檢測呈陽性"事件，則：P(A)=0.001，P(B|A)=0.99，P(B|A')=1-0.98=0.02根據(jù)貝葉斯公式：P(A|B)=\(\frac{P(A)·P(B|A)}{P(A)·P(B|A)+P(A')·P(B|A')}\)=\(\frac{0.001×0.99}{0.001×0.99+0.999×0.02}\)=\(\frac{0.00099}{0.00099+0.01998}\)≈0.0472所以該人真正患病的概率約為4.72%推理與證明直接證明法直接證明法是從已知條件出發(fā)，通過邏輯推理直接得出結(jié)論的方法。這是最常用的證明方法之一。直接證明的基本步驟：明確已知條件和需要證明的結(jié)論從已知條件出發(fā)，應(yīng)用定理、公式、性質(zhì)等通過一系列邏輯推理，最終得到需要證明的結(jié)論直接證明適用于大多數(shù)數(shù)學(xué)命題，特別是"若P，則Q"形式的命題。例如，證明"若n是奇數(shù)，則n2也是奇數(shù)"：設(shè)n是奇數(shù)，則n=2k+1（k為整數(shù)）n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1令m=2k2+2k，則m是整數(shù)，且n2=2m+1所以n2是奇數(shù)。證畢。反證法與數(shù)學(xué)歸納法反證法（歸謬法）：假設(shè)結(jié)論的否定為真，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論成立。反證法的基本步驟：假設(shè)結(jié)論不成立（即假設(shè)結(jié)論的否定為真）從這個假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理推導(dǎo)出矛盾（與已知條件或公理矛盾）由此得出假設(shè)不成立，即原結(jié)論成立數(shù)學(xué)歸納法：用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題。數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟：驗證命題對n=1（或其他初始值）成立假設(shè)命題對n=k成立，證明它對n=k+1也成立由1和2，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納原理，命題對所有適用的正整數(shù)n成立典型證明題示范1直接證明示例證明：在三角形中，三條邊的長度分別為a、b、c，三個內(nèi)角分別為A、B、C，則a/sinA=b/sinB=c/sinC。證明：在三角形ABC中，設(shè)R為外接圓半徑。由正弦定理知，sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)所以a/sinA=2R，b/sinB=2R，c/sinC=2R因此，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。證畢。2反證法示例證明：√2是無理數(shù)。證明：假設(shè)√2是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的正整數(shù)p和q，使得√2=p/q。平方得：2=p2/q2，即p2=2q2由此可知p2是偶數(shù)，所以p是偶數(shù)。設(shè)p=2k，則p2=4k2代入得：4k2=2q2，即q2=2k2由此可知q2是偶數(shù)，所以q也是偶數(shù)。這與p和q互質(zhì)矛盾。因此，假設(shè)不成立，√2是無理數(shù)。證畢。3數(shù)學(xué)歸納法示例證明：對于任意正整數(shù)n，有12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6。證明：(1)當(dāng)n=1時，左邊=12=1，右邊=1×2×3/6=1，等式成立。(2)假設(shè)等式對n=k成立，即12+22+...+k2=k(k+1)(2k+1)/6。(3)當(dāng)n=k+1時，左邊=(12+22+...+k2)+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[k(2k+1)/6+6(k+1)/6]=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6=(k+1)[2k2+k+6k+6]/6=(k+1)[2k2+7k+6]/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6這與n=k+1時的右邊相同，因此等式對n=k+1也成立。由數(shù)學(xué)歸納法，原命題對所有正整數(shù)n成立。證畢。復(fù)數(shù)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)的定義與表示復(fù)數(shù)是形如a+bi的數(shù)，其中a、b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，滿足i2=-1。對于復(fù)數(shù)z=a+bi：a稱為復(fù)數(shù)z的實部，記作Re(z)b稱為復(fù)數(shù)z的虛部，記作Im(z)當(dāng)b=0時，z是實數(shù)；當(dāng)a=0時，z是純虛數(shù)復(fù)數(shù)的表示方法：代數(shù)形式：z=a+bi三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r是模長，θ是輻角指數(shù)形式：z=re^(iθ)，基于歐拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ復(fù)數(shù)的模：|z|=√(a2+b2)=r復(fù)數(shù)的輻角：θ=arg(z)=arctan(b/a)（需考慮象限）復(fù)數(shù)的加減乘除加法與減法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i三角形式的乘法：[r?(cosθ?+isinθ?)][r?(cosθ?+isinθ?)]=r?r?[cos(θ?+θ?)+isin(θ?+θ?)]除法：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)三角形式的除法：\(\frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面復(fù)數(shù)可以在復(fù)平面上表示，橫軸表示實部，縱軸表示虛部。復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)平面上的點(a,b)或從原點到點(a,b)的向量。復(fù)數(shù)的模|z|表示該點到原點的距離，輻角arg(z)表示該點與正實軸的夾角。復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義加減法：對應(yīng)向量的加減乘法：模長相乘，輻角相加除法：模長相除，輻角相減共軛復(fù)數(shù)：z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)是z?=a-bi，在復(fù)平面上關(guān)于實軸對稱取負(fù)：-z對應(yīng)向量反向，在復(fù)平面上關(guān)于原點對稱復(fù)數(shù)的冪與根復(fù)數(shù)的冪：[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]（德莫佛爾定理）復(fù)數(shù)的n次方根：z=r(cosθ+isinθ)的n次方根有n個：z_k=\(r^{1/n}[\cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta+2k\pi}{n})]\)，k=0,1,2,...,n-1這n個n次方根在復(fù)平面上均勻分布在一個圓上。復(fù)數(shù)的應(yīng)用例題：求復(fù)數(shù)z=(1+i)^8的代數(shù)形式解：先將1+i轉(zhuǎn)化為三角形式|1+i|=√(12+12)=√2arg(1+i)=arctan(1/1)=π/4所以1+i=√2(cos(π/4)+isin(π/4))根據(jù)德莫佛爾定理：(1+i)^8=[√2(cos(π/4)+isin(π/4))]^8=(√2)^8[cos(8π/4)+isin(8π/4)]=16[cos(2π)+isin(2π)]=16[1+0i]=16矩陣與變換矩陣的基本運(yùn)算矩陣是由m×n個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表，記作A=(aij)m×n。矩陣加法：只有同型矩陣（行數(shù)和列數(shù)都相同）才能相加。(A+B)ij=Aij+Bij矩陣數(shù)乘：數(shù)k與矩陣A的乘積是將A中的每個元素都乘以k。(kA)ij=k·Aij矩陣乘法：矩陣A與B可以相乘的條件是A的列數(shù)等于B的行數(shù)。設(shè)A是m×s矩陣，B是s×n矩陣，則C=AB是m×n矩陣，其中：Cij=Σk=1sAik·Bkj矩陣乘法滿足結(jié)合律：(AB)C=A(BC)，但一般不滿足交換律：AB≠BA矩陣轉(zhuǎn)置：將矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。(AT)ij=Aji行列式與逆矩陣行列式：方陣A的行列式記作detA或|A|，是一個標(biāo)量。二階行列式：\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)三階行列式可用拉普拉斯展開或薩呂法則計算。逆矩陣：若方陣A存在矩陣B，使得AB=BA=I（I為單位矩陣），則稱B為A的逆矩陣，記作A-1。矩陣A可逆的充要條件是detA≠0。計算逆矩陣的方法：伴隨矩陣法：A-1=(1/detA)·A*，其中A*是A的伴隨矩陣初等變換法：將[A|I]通過初等行變換變?yōu)閇I|A-1]矩陣在幾何變換中的應(yīng)用平移變換在平面上，點(x,y)沿向量(tx,ty)平移后的坐標(biāo)為(x+tx,y+ty)。用齊次坐標(biāo)表示平移變換：\(\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\)旋轉(zhuǎn)變換在平面上，點(x,y)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角后的坐標(biāo)為(x·cosθ-y·sinθ,x·sinθ+y·cosθ)。旋轉(zhuǎn)矩陣：\(R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：保持距離不變，保持角度不變?？s放變換在平面上，點(x,y)按系數(shù)kx和ky分別在x方向和y方向縮放后的坐標(biāo)為(kx·x,ky·y)?？s放矩陣：\(S(k_x,k_y)=\begin{pmatrix}k_x&0\\0&k_y\end{pmatrix}\)當(dāng)kx=ky時，稱為等比縮放，圖形形狀不變；否則稱為非等比縮放，圖形形狀發(fā)生變化。復(fù)合變換多個變換的組合稱為復(fù)合變換，通過矩陣乘法實現(xiàn)。若先進(jìn)行變換A，再進(jìn)行變換B，則復(fù)合變換的矩陣為BA（注意順序）。例如，先繞原點旋轉(zhuǎn)θ角，再平移(tx,ty)的復(fù)合變換矩陣為：\(T=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&t_x\\\sin\theta&\cos\theta&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\)數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用生活中的數(shù)學(xué)建模案例數(shù)學(xué)建模是將實際問題抽