第1頁|共2頁2000年江西、天津、高考文科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1．（4分）設(shè)集合且，，且，則中的元素個(gè)數(shù)是A．11 B．10 C．16 D．152．（4分）設(shè)、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則①；②；③不與垂直；④．其中的真命題是A．②④ B．③④ C．②③ D．①②3．（4分）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，，，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是A． B． C．6 D．4．（4分）已知，那么下列命題成立的是A．若、是第一象限角，則 B．若、是第二象限角，則 C．若、是第三象限角，則 D．若、是第四象限角，則5．（4分）函數(shù)的部分圖象是A． B． C． D．6．（4分）《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過500元的部分超過500元至2000元的部分超過2000元至5000元的部分某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于A．元 B．元 C．元 D．元7．（4分）若，，，，則A． B． C． D．8．（4分）已知兩條直線，，其中為實(shí)數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，的取值范圍是A． B．， C．，， D．9．（4分）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是A． B． C． D．10．（4分）過原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是A． B． C． D．11．（4分）過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是、，則等于A． B． C． D．12．（4分）二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有A．6項(xiàng) B．7項(xiàng) C．8項(xiàng) D．9項(xiàng)二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）從含有500個(gè)個(gè)體的總體中一次性抽取25個(gè)個(gè)體，假定其中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，那么總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是．14．（5分）橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．15．（5分）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，2，3，，則它的通項(xiàng)公式是．16．（5分）如圖，、分別是正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是．（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）三、解答題（共7小題，滿分82分）17．（10分）甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)．甲、乙二人依次各抽一題．（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？18．（12分）如圖，直三棱柱，底面中，，，棱，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值；（3）求證．19．（12分）如圖，已知平行六面體的底面上菱形，且，（1）證明：；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明．20．（12分）設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，（1）解不等式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)．22．（12分）用總長(zhǎng)的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．23．（12分）如圖，已知梯形中，點(diǎn)分有向線段所成的比為，雙曲線過、、三點(diǎn)，且以、為焦點(diǎn)．求雙曲線的離心率．

2000年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1．（4分）設(shè)集合且，，且，則中的元素個(gè)數(shù)是A．11 B．10 C．16 D．15【解答】解：由集合中的條件可得中的元素有：，，，，共10個(gè)；集合中的不等式解得且，所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共11個(gè)所以中的元素有：，，，，，0，1，2，3，4，5共16個(gè)故選：．2．（4分）設(shè)、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則①；②；③不與垂直；④．其中的真命題是A．②④ B．③④ C．②③ D．①②【解答】解：由于是不共線的向量，因此不一定等于，故①錯(cuò)誤；由于不共線，故構(gòu)成三角形，因此②正確；由于，故③中兩向量垂直，故③錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可以得出④是正確的．故選．3．（4分）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，，，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是A． B． C．6 D．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方體三度為，，，則．三式相乘得．故選：．4．（4分）已知，那么下列命題成立的是A．若、是第一象限角，則 B．若、是第二象限角，則 C．若、是第三象限角，則 D．若、是第四象限角，則【解答】解：若、同屬于第一象限，則，；故錯(cuò)．第二象限，則，；故錯(cuò)．第三象限，則，；故錯(cuò)．第四象限，則，．（均假定，．故正確．故選：．5．（4分）函數(shù)的部分圖象是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則，為奇函數(shù)；又時(shí)，此時(shí)圖象應(yīng)在軸的下方故選：．6．（4分）《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過500元的部分超過500元至2000元的部分超過2000元至5000元的部分某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于A．元 B．元 C．元 D．元【解答】解：設(shè)收入為元，稅款為元，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．題設(shè)，故．故選：．7．（4分）若，，，，則A． B． C． D．【解答】解：由平均不等式知．同理．故選：．8．（4分）已知兩條直線，，其中為實(shí)數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，的取值范圍是A． B．， C．，， D．【解答】解：直線的傾斜角為，令直線的傾斜角為，則有過原點(diǎn)的直線，的夾角在內(nèi)變動(dòng)時(shí)，可得直線的傾斜角的范圍是，，．的斜率的取值范圍是，，，即，，，故選：．9．（4分）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)圓柱底面積半徑為，則高為，全面積：側(cè)面積．故選：．10．（4分）過原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是A． B． C． D．【解答】解：如圖，圓方程為，圓心為，半徑為1，．故選：．11．（4分）過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是、，則等于A． B． C． D．【解答】解：如圖：設(shè)直線方程是，則，是方程的兩根，，其中．同理．從而．故選：．12．（4分）二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有A．6項(xiàng) B．7項(xiàng) C．8項(xiàng) D．9項(xiàng)【解答】解：展開式的通項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)為要使系數(shù)為有理數(shù)，需是6的倍數(shù)所以，6，12，18，24，30，36，42，48，故展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有9項(xiàng)故選：．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）從含有500個(gè)個(gè)體的總體中一次性抽取25個(gè)個(gè)體，假定其中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，那么總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是．【解答】解：含有500個(gè)個(gè)體的總體中一次性抽取25個(gè)個(gè)體，其中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，故答案為：．14．（5分）橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是為：．【解答】解：如圖，設(shè)，則，且是鈍角．故答案為：．15．（5分）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，2，3，，則它的通項(xiàng)公式是．【解答】解：（另解不合題意舍去），，即，故答案為：．16．（5分）如圖，、分別是正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是②③．（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）【解答】解：因?yàn)檎襟w是對(duì)稱的幾何體，所以四邊形在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個(gè)方向的射影，也就是在面、面、面上的射影．四邊形在面和面上的射影相同，如圖②所示；四邊形在該正方體對(duì)角面的內(nèi)，它在面上的射影顯然是一條線段，如圖③所示．故②③正確故答案為②③三、解答題（共7小題，滿分82分）17．（10分）甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)．甲、乙二人依次各抽一題．（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【解答】解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為．（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的對(duì)立事件是甲、乙二人依次都抽到判斷題，甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為．18．（12分）如圖，直三棱柱，底面中，，，棱，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值；（3）求證．【解答】解：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．（1）依題意得，1，，，0，，（2分）（2）依題意得，0，，，1，，，0，，，1，．，，，，（5分）（9分）（3）證明：依題意得，0，，，1，，，，（12分）19．（12分）如圖，已知平行六面體的底面上菱形，且，（1）證明：；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？請(qǐng)給出證明．【解答】（1）證明：如圖，連接、和交于，連接．四邊形是菱形，，．又，，△△，，，（3分）又，，平面，又平面，．（6分）（2）當(dāng)時(shí)，能使平面．，，又，由此可推得．三棱錐是正三棱錐．（9分）設(shè)與相交于．，且，．又是正三角形的邊上的高和中線，點(diǎn)是正三角形的中心，平面，即平面．（12分）20．（12分）設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．，，即解得，．，，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，．21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，（1）解不等式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)．【解答】（1）解：不等式即，由此得，即，其中常數(shù)．所以，原不等式等價(jià)于即（3分）所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為．（6分）（2）證明：在區(qū)間，上任取，使得，，又，，即．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)遞減函數(shù)．（12分）22．（12分）用總長(zhǎng)的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．【解答】解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為，則另一邊長(zhǎng)為，高為由和，得，設(shè)容器的容積為，則有整理，得，（4分）（6分）令，有，即，解得，（不合題意，舍去）．（8分）從而，在定義域內(nèi)只有在處使．由題意，若過?。ń咏蜻^大（接近時(shí)，值很小（接近，因此，當(dāng)時(shí)取得最大值，，這時(shí)，高為．答：容器的高為時(shí)容