開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活 積累基本活動(dòng)經(jīng)摘要：關(guān)鍵詞：引 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)（2017年版2020年修訂）（以下簡(jiǎn)《標(biāo)準(zhǔn)》“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)作為貫穿高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一.《標(biāo)準(zhǔn)在“課程內(nèi)容”中指出：“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)[1].為此數(shù)學(xué)教材在必修課程中安排了6課時(shí)，在選擇性必修課程中安排了4課時(shí)，共計(jì)10課時(shí)的“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”.在必修課程和選擇性必修課程中還都要求學(xué)生完成一個(gè)課題的數(shù)學(xué)探究活（或數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)）凸顯出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的重要性.那么如何在課堂教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)？如何在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中生成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？筆者在一次市級(jí)示范課中以北師大（2019選擇性必修第二冊(cè)第二章中的§8數(shù)學(xué)探究活（二“用導(dǎo)數(shù)探究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)為題進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐下面以本節(jié)課為例談?wù)劮e累學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)思路和啟示.（2019個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng).教材開(kāi)始通過(guò)一個(gè)“實(shí)例分析”的設(shè)計(jì)，呈現(xiàn)出用導(dǎo)數(shù)研究二次函數(shù)探究其他類型的函數(shù)性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、由特殊到一般的探究方式，體驗(yàn)f(x)=ax2+bx+c(a10)習(xí)二次函數(shù)時(shí)所用的方法是什么？（幻燈片呈現(xiàn)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1：利用二次函數(shù)的圖象研究它的性質(zhì)，先考慮a的正負(fù)（不妨設(shè)a>0，再根據(jù)根的判別式，得出函數(shù)有沒(méi)有零點(diǎn)，在哪個(gè)區(qū)間函數(shù)值大于0，哪個(gè)區(qū)間函數(shù)值小于0；再通過(guò)配方，確定函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)以及師生共同活動(dòng)1不妨設(shè)二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(a>0)，它的導(dǎo)數(shù)是f(x)f￠(x)=2ax+b(a>0)f(x)1x

bf￠(x)=0f(x)x

bf￠(x)<0f(x)x

bf￠(x)>0f(x)（1（2

b時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，也是最小值，即4ac- é4ac- f(x)min ，函數(shù)f(x)的值域?yàn)? 4ac-④若f(x)min <0，則函數(shù)f(x)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，如圖2；f(x)min

4ac-

=0f(x)3；f(x)min

4ac-

>0f(x)OOO圖 圖 圖2：我認(rèn)為可以，我的思路是利用三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先分析三次函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a10)3f￠(x)=3ax2+2bx+c(a10)，是一個(gè)二次函數(shù)，判別式是D=4(b2-4：可以先嘗試畫(huà)出具有代表性的的三次函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較，歸納出一般5：f￠(x)=3ax2+2bx+c(a10)是一個(gè)二次函數(shù)，它的圖象與a的符號(hào)以及判別式D=4(b2-3ac)f￠(x)=3ax2+2bx+c(a10)ìa>0ìa>0ìa<0ìa<0.（幻燈片呈現(xiàn)四類情況íD>0íD￡0íD>0íD￡ 2：將學(xué)生分成四組從上述四類情況中分別選擇一類，畫(huà)出一個(gè)特殊數(shù)abcdf(x)=ax3+bx2+cx+d(a10)的系數(shù)abcd師生共同活動(dòng)3：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a10)（西沃大屏呈現(xiàn)圖象，系數(shù)abcd5，結(jié)論：系數(shù)d當(dāng)系數(shù)a當(dāng)a>0時(shí)，三次函數(shù)圖象從左下彎到右上；當(dāng)a<0時(shí)，三次函數(shù)圖象從左上彎到右下.當(dāng)系數(shù)a>0，系數(shù)bca0判別式D0時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間和兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間、一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且當(dāng)增大時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離增大，當(dāng)間的距離減?。划?dāng)系數(shù)a0，判別式D￡0時(shí)，函數(shù)不存在遞減區(qū)間，在定義域上是增函數(shù).當(dāng)系數(shù)a<0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們類比a>0（學(xué)生類比a>0進(jìn)行猜想，再讓學(xué)生操作幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證當(dāng)系數(shù)a<0，判別式D>0時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間和兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間、一個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)，且當(dāng)D增大時(shí)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離增大，當(dāng)D減小a<0，判別式D￡0時(shí)，函數(shù)不存在遞增區(qū)間，根據(jù)系數(shù)a和導(dǎo)函數(shù)的判別式D （1D=4(b2-3ac)x

f￠(x)=0的兩個(gè)根aaaD￡D￡ O x1O R上無(wú)最值，在閉區(qū)間[mn]在(-￥,x1),(x2+￥)(x1x2上,是減R在(-￥,x1),(x2+￥)Rx2Rx2R當(dāng)b=d=0結(jié)合對(duì)三次函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)，可以知道當(dāng)b=d=0y=ax3+cx(a10)為奇函數(shù)，有對(duì)稱中心(00)，其他情況還不清楚.y=ax3+bx2+cx+d(a10)y=ax3+cx(a10)式？（少許幾個(gè)學(xué)生在交流彼此的想法，多數(shù)學(xué)生面露難色，于是我繼續(xù)啟發(fā)y=ax3+cx(a10)7：y=a(x-m)3+c(x-m)+n(a10)y=a(x-m)3+c(x-m)+n(a10)的對(duì)稱中心是點(diǎn)(mn).（搶答8：師生共同活動(dòng)4：y=ax3+bx2+cx+d=a(x-m)3+t(x-m)+n(a1下面請(qǐng)同學(xué)們嘗試計(jì)算參數(shù)mnt的值.（同學(xué)進(jìn)行指導(dǎo)y=ax3+bx2+cx+d=a(xm)3+t(xm)+n(a1=ax3-3amx2+(3am2+t)x-am3-tm+nìb=-

?m 得íc=3am ，所以ít=c- ?d=-am3-tm

?b

?b

?b ?b÷b- b

b2

b ?b

÷+?c

?x

÷+f

b2

3a

3a

3a

3ay

+?c ÷x是奇函數(shù)，它的對(duì)稱中心是(00) y=ax3+bx2+cx+d的圖象的對(duì)稱中心是?b,f

b?-

?3a÷÷（回答

5：同學(xué)們，有沒(méi)有注意到三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)-bf￠(x)=3ax2+2bx+c(a10)的極值點(diǎn)（也是最值點(diǎn)線的斜率相等，所以三次函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)就是其導(dǎo)函數(shù)的最值點(diǎn)-